钢-混凝土组合箱梁临界弯矩实用计算方法
刘环辉
摘要：利用有限元分析软件ANSYS ，通过计算控制要素、有限元计算分析，对理论推导所得公式进行简化以满足实用计算的要求。在不同设计参数条件下，分别建立了24组组合箱梁的截面有限元分析模型，并且利用ANSYS 有限元分析软件分别计算出弹性受力阶段时的临界弯矩，再通过比较法筛选出理论推导公式中的主要影响因素，最后对获得的数据进行对比、分析并拟合，得出化简后的实用计算公式。拟合结果表明，精简公式在误差允许范围内具有很好的代表性和实用价值[1]。
关键词：组合箱梁；临界弯矩；ANSYS 程序；有限元；控制要素；拟合 中图分类号 GB 50017-2003 文献标识码 钢结构设计规范[S].
杨成 常洪昌 周旺保（指导老师）
武汉理工大学 土木工程与建筑学院，湖北 武汉 430070
The Applied Method of Calculating the Critical Moment of the
Steel-concrete Composite Box-beam
LIU Huanhui,YANG Cheng,CHANG Hongchang ZHOU Wangbao
Department of Civil Engineering and Architecture,Wuhan University of Technology,Wuhan,Hubei 430070,China
Abstract: Using finite element analysis software ANSYS, by calculating the control element and the finite element calculation and analysis, the formula from theoretical deduction are simplified to meet the requirements of practical calculation.Under the condition of different design parameters, respectively, setting up 24 groups of the finite element analysis model of composite box girder cross section, and using the ANSYS finite element analysis software to calculate the critical moment during the elastic stress stage respectively.Then through comparison screening out the main influential factors of the theoretically derived formula.Finally after comparing, analyzing and fitting the acquired data,practical simplified calculation formula are obtained.Fitting results show that in the range of allowable error the final simplified formula has satisfying representativeness and remarkable physical value.
Key word:composite box girder,critical moment,ANSYS program,finite element,controlling element,parameter fitting
0 引言
近年来，随着各类大跨空间结构的广泛应用，结
构的稳定性问题变得尤为突出。1963年罗马尼亚布加勒斯特的一个跨度为93.5m 的网壳屋盖在一场大雪后
被压垮，其原因是网壳整体失稳。结构的稳定性分析又称屈曲分析，目前已经成为各类结构设计中必须考虑的关键性问题[2]。
ANSYS 是一个大型通用有限元程序，在结构静力分析中，可用来求解外部荷载所引起的位移、应力等。ANSYS 程序中的静力分析不仅可以进行线性分析，而且也可以进行非线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析[3]。此外，对于结构的失稳性问题，ANSYS 程序还提供了两种屈曲分析的方法，即特征值屈曲分析和非线性屈曲分析。
本文采用的是特征值屈曲分析方法，将以钢-混凝土组合箱梁为对象进行结构稳定性分析[4]，在前人的理论基础上对经验公式进行化简，进一步得到适用于实际计算的公式。
钢-混凝土组合箱梁是在钢结构、混凝土结构和薄壁箱梁基础上发展起来的一种新型结构形式，它由结构上部的混凝土板和下部的钢箱梁组成，二者之间通过剪力连接件进行连接。这种结构具有承载能力高、塑性和韧性好、增加有效使用空间、施工方便、经济效果显著的优势，在大跨度桥梁和高层建筑中得到广泛应用[5]。
1 组合箱梁临界弯矩理论公式的推导
1.1 基本假定
图1 纯弯组合梁的受力与坐标系统
图1中：
t w 为钢梁腹板厚度；h 0为钢梁腹板高度；b 为钢底板宽度；t f 为钢梁底板厚度。
如图1所示，单轴对称钢-混凝土组合箱梁，在其刚度大的yz 平面内承受着均匀负弯矩M x ，采用固定的右手坐标系，坐标原点为钢梁下翼缘的形心。
为了计算方便作如下假定：
①不考虑初始缺陷、残余应力，材料是各向同性的完全弹性体，构件为等截面梁，构件的侧向弯曲变形是微笑的；
②由于梁在弯曲平面内的抗弯刚度很大，平面内在屈曲前的弯曲变形对侧向弯曲的影响不考虑；
③钢梁上医院不发生侧向变形和扭转变形； ④忽略混凝土的抗弯作用，只考虑混凝土翼版中钢筋的抗弯作用。
1.2 失稳模型
图2 钢梁下翼缘侧向失稳模型和变形特性 根据1.1中的假定，可以采用如图2所示的失稳模型。
1.3 等端弯矩作用下的侧向屈曲 对基于能量表达式的变轴力压杆稳定问题进行求
解，得到等端弯矩作用下箱梁下翼缘侧向弯扭失稳的弹性解为：
2
M x =EI yb ⎛ n π⎫
⎝l ⎪⎭
⋅
⎡2⎢2
(l /n π)⎡R 1R 3GJ b ⎛R 2l ⎫2⎤⎤⎢β-β-⎣β1β3-β22⎢-⎢ ⎪⎥⎥⎣EI yb ⎝n πI yb ⎭⎥⎦⎥⎦
(1)
式中：
n 为自然数，
E 为钢梁的弹性模量，E =2. 06e 5，
μ为钢梁的主泊松比，μ=0. 3，
I 1yb 为钢梁下翼缘对y 轴的惯性矩，I yb =3
12
b t f
，
J b 为钢梁底板的转动惯量，J b =1
3
t f 3b
R 1=η1+(9-6μ)t w 3⎛l ⎫
2
201-μ2
h 0I yb ⎝n π⎪⎭
+
GJ b ⎛l ⎫25t w 34
，
4Eh 02I ⎪+⎛l ⎫
yb ⎝n π⎭41-μ2h 03
I ⎪yb ⎝n π⎭h 02t w 3⎛n 2
R 2=1681-μ2
π⎫⎝l ⎪⎭
+(，
15μ+1)t w 332
1201-μ2
+t w ⎛21-μ2
h l ⎫
⎪
02⎝n π⎭
2
R 3=Eh 03t w 3⎛n π⎫
10081-μ2
GJ ⎪+η2+b ⎝l ⎭5Et w 3⎛l 2
，
121-μ2h GJ ⎫
⎪
0b ⎝n π⎭
β=
β3R 1
2β+
1β3-β22
⎡2。
⎢β1R 3GJ b β2R ⎤⎛l ⎫⎣2β2EI -2
1β3-β2yb β1β3-β22I ⎦ yb ⎥⎝
n π⎪
⎭I 为整个界面对坐标轴x 的惯性矩， A b 为钢梁底板的截面积， 1=1+
274h 0t w 3
η3360
1-μ2I yb ， 1Eh 0t w 3
η2=4+
361-μ2GJ ， b
h 02(1120y c A b +664y c h 0t w -139h 02t w )+24b 2β1=
A b
1120Ih 02
，
(16y c -5h 0)h 02
t w -4b 2β2=
A b
224Ih 0
，
2b 2A b (8y c -3h 0)h 03β3=t w
105I +
672I
2 基于ANSYS 的特征值屈曲分析
将有限元算法解作为该组合箱梁侧向屈曲的真实解，有限元分析利用ANSYS 实现，由于研究对象是负弯矩区，因此组合箱梁中上部的混凝土受拉部分忽
略不计。根据假定，可以将组合箱梁简化为钢梁。 2.1建模过程
首先定义工程选项、单元类型、材料参数和实常数。本文分析的单元类型采用塑形大应变壳单元
SHELL43，分析的材料类型为杨氏弹性模量为2.06e5，主泊松比为0.3的钢板。
接下来，通过关键点的定义建立模型 , 划分网格。模型共建立了16个关键点，关键点的位置定义如图3。
模型的网格划分，首先，用命令流定义上翼缘宽度方向分成10等份，长度方向分为400等份完成对上翼缘的划分；腹板定义为高度方向分为30等份，长度方向分为400等份完成对腹板的划分；底板定义为宽度方
向分成40等份，长度方向分为400等份完成对底板的划分，整个模型的建立以及网格划分，如图4。
图3 模型上的关键点分布
图4 模型的网格划分
2.2 施加约束与荷载
利用在模型截面两段施加梯度压力来等效纯弯矩。在结构端部所有的结点x 方向与y 方向上施加约束以限制端部截面扭转，再在左端结点z 方向施加约束以满足简支梁的静定要求，最后指定面载荷梯度，如图5。
在获得静力解后，再约束上部翼缘x 和y 方向的平动自由度以限制其侧向和扭转变形[6]。利用LANB （分块兰索斯法）提取6个特征值，定义模态扩展数目为6，获得特征值屈曲解后，记录屈曲荷载系数
F REQ 。由屈曲荷载系数计算临界弯矩的公式如下：
M cr =F REQ ⋅I （2）
图5 截面等效荷载分布
2.3 结果显示
建模过程的变量为模型尺寸与横截面载荷的梯度，运行命令流得到一阶屈曲模态如图6。
图6 一阶屈曲模态（不同角度）
3 数据拟合
3.1 筛选影响因素
对于1.3部分的各个影响因素，先将其视为一个整体的多项式，分别讨论各项的影响程度。
采用比较法：已知A =a +b +c ，改变截面的控制参数（如钢梁腹板高度h 0），a , b , c 的值会跟着变化，若a /b ≤10%，则可以排除次要影响项a ，保留主要影响项b 。类似地，排除了每一个多项式里的次级影响因素后，再将理论推导公式视为一个整体，排除影响较小的多项式，保留主要影响因素多项式，从而得到最终的简化公式。
3.2 含有参数的简化公式
由上一步的推算结果最终可以得到如下的公式：
2
⎡ M x =EI yb ⎛ n π⎫
⎢⎢β-β2
-l /n π2R 1R 3GJ b ⎤⎝l ⎪
⎭
⎣β⋅
⎥ 1β3EI yb ⎥⎦
（3）
式中：
η1=1，
1Eh 0t w 3
η2=4+
361-μ2GJ ， b
1120y c A b +664y c h 0t w -139h 02β1=t w
β=(1120I
，
16y c -5h 0)h 02t w
2224I
，
β=2b 2A b (8y c -3h 0)h 03t w
3105I +672I
，
4
=1+5t w 3R 1⎛l ⎫41-μ2h 03
I ⎪， yb ⎝n π⎭2
R 2=t w 3⎛l ⎫
21-μ2h ⎪
02⎝n π⎭，
R 3=5Et l ⎫
2w 3⎛121-μ2
h ⎪⎭
， 0GJ b ⎝n π2
β=β1R 3GJ b ⎛l ⎫
2ββ ⎪。
1β3-22
EI yb ⎝n π⎭
3.3 拟合求解参数
化简后的等弯矩作用下箱梁下翼缘侧向弯扭失稳弹性解见（3）式， 令：
z =
M x 2
，
EI yb ⎛ n π⎫⎝l ⎪
⎭
x =β， 2
y =
(l /n π)
β⋅
R 1R 3GJ b
。
1β3
EI yb
可得z 关于x , y 的二元方程组：
z =x -x 2-y
。
由24组数据计算出的组合梁失稳的临界荷载的
有限元算法解、能量法推导所得理论公式和本文简化公式解列于表1中，各坐标要素x , y , z 也列于表1。为了得到钢-混凝土组合箱梁临界荷载的简便计算公式，由有限元计算结果结合matlab 软件可以拟合出
x , y , z 与各个影响因素的函数变化关系[7]
。经大量实
验，得出该函数关系为：
z =a 1+a 1x +a 2y +a 3
（4）
式中：a 1, a 2, a 3为待定系数。
表1：算例几何参数
截面编号
1 2 3 4 h 0
400 410 420 430 b f 500 510 520 530 b t
100 100 100 100 16 16 16 16 F REQ 99.582 93.763 88.377 83.393
1567.7
1482.6
1403.2
1329.2
48934.4 45948.0 43283.2 40904.1 6527387 5460141 4591928 3881909 截面编号
5 6 7 8 h 0
440 450 460 470 b f 540 550 560 570 b t
100 100 100 100 16 16 16 16 F REQ 78.789 74.53 70.551 66.852
1260.5
4786.0
4545.5
4320.8
38779.6 575662.3 548713.9 524723.9 y
3298329 699572339 599434918
2 516054313
截面编号
9 10 11 12 h 0
480 490 500 510 b f
580 590 600 610 b t
100 100 100 100
16 16 16 16 F REQ
63.618 60.226 57.234 54.425
4124.1
3915.3
3731.0
3557.0
503437.4 484642.2 468164.8 453868.3
446332198 387795154 338459266 296726043
截面编号 13 14 15 16
h 0
520 530 540 600
b f 620 630 640 680 b t
100 100 100 100
16 16 16 16 F REQ
51.804 49.358 47.072 37.573
3394.0
3241.4
3098.2
2702.1
441650.5 431443.9 423217.1 329904.0
261301970 231136044 205371018 102011990
截面编号
17 18 19 20 h 0
500 450 400 500 b f 600 500 500 500 b t
100 100 100 100 10 10 10 10 F REQ 14.1 19.0 24.7 19.0
916 1557.5 2208.7 1994.3 188628 211056 306579 148560 52831899 133870757 252872121 74785564
截面编号
21 22 23 24 h 0
550 550 600 400 b f 500 600 600 500 b t
100 100 100 100 10 10 10 20 F REQ 16.959 12.595 11.339 192
2235 1022.5 1132.4 3038.8
107918
124141
85500
75368.1
44152569 28511860 16403630 15778570
由表1所列数据按照（4）式进行拟合后可求得：
a 1=0. 0037 a 2=0. 0036 a 3=801 代回（4）式，可得：
z =0.0037x +0. 0037x +0. 0036y +801
再代回到式z =
M x ，可得：
⎛n 2
EI yb π⎫
⎝l ⎪
⎭
2
M x =EI yb ⎛ n π⎫
⎝l ⎪⎭
⋅
⎡⎢l /n π2R 1R 3GJ b ⎢0.0037β+0.0037β+⎤
⎣β⋅
⎥+8011β3EI yb ⎥⎦
（5）
同时，拟合的三维图像如图7（下页）所示[8]
，
由matlab 软件分析结果表明，拟合的精度很高，说明
该表达式及拟合的参数a 1
, a 2, a 3能很好地满足要求。
图7 用matlab 对含有参数的公式进行曲线拟合的结
果
4 验证
为验证拟合公式的准确性，一方面利用相对误差作为指标进行对比分析。利用表1的数据计算得到24组不同的M x 和M 值，分别计算其与M cr 之间的相对误差，再求得平均值，对比如下：
表2 计算结果的比较
名称 M x M
平均相对误差
61.85%
1.28%
另一方面利用同一坐标系下三项弯矩值的数据散点图进行直观说明。 见下方图8。
m
m . N /果结算计法
方算计种各算例编号
图8 三种不同计算方法得到的弯矩值对比图 由图8可以看出，M x 与M cr 之间的吻合程度较低，较多点的纵坐标之间差距较大；而M 与M cr 之间的吻合程度则明显高出许多，能很好地反映M cr 的变化情况。
5 结论
本文基于钢-混凝土组合箱梁的模型对组合梁侧
向屈曲的问题进行了大量数值计算，获得结论： ● 在满足等端弯矩、材料参数以及误差允许范围的前提条件下，本文的所提出的计算方法形式更加简便， 计算结果表明本文提出的简化计算式具有较高计算精度。
● 本文实用计算方法适用对组合箱梁等端负弯矩畸变屈曲临界荷载的计算，为变轴力作用下畸变屈曲临界荷载计算奠定了基础。 ●
参考文献
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[3] 张毅刚, 王成, 谭争光, 王磊. 基于ANSYS 程序的大跨度张弦立体桁架参数分析[C]//第十三届全国工程建设计算机应用学术会议论文集. 广东佛山,2006:167-171.
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