动力气象学第三章课后题答案
1. 什么是运动的尺度? 什么是尺度分析方法？
大气任何一类运动系统中，表征大气运动状态和热力状态的各物理场变量，其空间分布是不均匀的，也存在时间变化，这种时空变化都存在一定的范围。为此可以用各物理场变量具有代表意义的量值来表示该系统的基本特征，称之为物理场变量的特征值，这也就是物理场变量的尺度。物理场变量的尺度，只是从量级大小这个意义上来表征系统物理属性特征的。
尺度分析法是依据表征某类运动系统的运动状态和热力状态各物理量的特征值，估计大气运动方程中各项量级大小的一种方法。根据尺度分析的结果，结合物理上的考虑，略去方程中量级较小的项，便可得到简化方程，并可分析运动系统的某些基本性质。
2. 为什么常根据运动的水平尺度对大气运动进行分类？
基于以下三方面的原因常根据运动的水平尺度对大气运动进行分类：（1）地球大气垂直厚度远小于水平长度；（2）具有气象意义的运动系统的场变量的在水平方向上的变动尺度差别很大，可达几个数量级，并且大气运动的特征与水平尺度有密切关系；（3）大气某些变量在垂直方向的尺度依赖于变量的水平尺度，比如速度的垂直尺度。
3. 根据尺度分析的结果，说明中纬度大尺度运动有哪些基本特征？ 中纬度大尺度运动的基本特征有：
（1） 在水平方向上，气压梯度力与科氏力基本是相平衡的，即运动的准地转
性。
（2） 在垂直方向上，满足静力平衡近似。 （3） 运动准水平无辐散。
（4） 温度的局地变化主要是由温度平流和铅直运动决定的。 （5） 运动系统是缓慢变化的。
4. 如何将运动方程组进行无量纲化？
利用尺度分析中物理量的特征尺度，引进无量纲变量，将运动学方程组进行无量纲化。
5. 地转近似的充分条件是什么？试从物理上对这些条件给予说明。
根据水平运动方程的无量纲化方程（3.54）可知，地转近似的充分条件如下，
ε 1, R 0 1, R i ε 1, R 0 1, R i
1
它表明准地转平衡运动应是缓慢变化的大尺度运动，1
同时大气层结应是高度稳定的。
6. 什么是中纬度β平面近似？取β平面近似的条件是什么？取β平面近似有什么好处？
（1） 在中纬度地区，将f 展开成泰勒级数，则有f ＝f 0＋βy+(高次项)
①当f 处于系数地位不被微商时，取f ≈ f 0; ②当f 处于对求微商地位时，取df/dy=β=常数。 这种对f 的近似处理称为中纬度β平面近似。
（2）取β平面近似的条件是运动的径向尺度L 能够满足科氏力参数f 在径向
作Taylor 级数展开。
7. 估计在大尺度运动系统中fv 和f̃w 在哪个纬度带有相同的量级（可取二者之比在0.5～5之间作为同一量级的表征）。
fv 2Ωsin φU 10sin φ
~==103tan φ解：在大尺度运动中，U~10m/s , W~10m/s ,则f w 2Ωcos φW 10cos φ，
-2
3
由题意可知，0. 5≤10t a φn ≤5，所以
0. 5⨯10-3≤tan φ≤5⨯10-3
，由此可得，
5.0⨯10-4≤φ≤5.0⨯10-3，1.72'≤φ≤17.2'
8. g, f 0 ,H 可视为表征大气运动的环境参数，由此可以确定三个特征尺度： 特征时间尺度
-1=(2Ωsin φ) -f 00
(即惯性运动的时间尺度)
特征速度尺度c 0=gH （与声速相当）
-1
特征水平尺度L 0=c 0f 0（称罗斯贝变形半径）。
这三个特征尺度与运动无关，完全由环境参数决定，试计算30°N ，45°N ，60°N ，90°N 处的L 0, 并计算c 0 。 解: 30°N 处，
-1=(2⨯7. 29⨯10-5⨯sin 30 ) -1=1. 37⨯104, f 0
c 0=⨯104=3. 15⨯102,
L 0=3. 15⨯102⨯1. 37⨯104=4. 31⨯106
45°N 处,
-1=(2⨯7. 29⨯10-5⨯sin 45 ) -1=9. 71⨯104f 0 ,
c 0=⨯104=3. 15⨯102,
L 0=3. 15⨯102⨯9. 71⨯104=3. 07⨯107
60°N 处,
-1=(2⨯7. 29⨯10-5⨯sin 60 ) -1=7. 96⨯103f 0
,
c 0=⨯104=3. 15⨯102,
L 0=3. 15⨯102⨯7. 96⨯103=2. 61⨯106
90°N 处,
-1=(2⨯7. 29⨯10-5⨯sin 90 ) -1=6. 85⨯104f 0
,
c 0=⨯104=3. 15⨯102,
L 0=3. 15⨯102⨯6. 85⨯104=2. 16⨯107
9. 对于中纬度大尺度运动，证明W =证明：Ri ≡
N 2D 2
U 2
UD 1L RiRo
, Ro ≡
U f 0L
对于中纬度绝热方程分析得到大尺度运动有，
f 0U W =2
N H
2
对于大尺度的运动,D=H，
f 0U 2
W =2
N D
UD U 2f 0L =
L N 2D 2U UD 11=
L N 2D 2U
f 0L U 2
UD 1=
L R i R o
证毕。
10. 估计对于典型的龙卷风运动，水平运动方程和铅直运动方程中各项的量级，取 L=102m D=103m U=102m/s W=10m/s τ=10s ∆P=104Pa
说明此种情况下静力平衡能否成立。 解：
∆P ∆π∆Θ∆T *10000-1
===*==10 P πΘT 100000
以静止的基本状态为背景的铅直运动方程为，
∂w ∂w ∂w ∂w 1∂p 'ρ'
+u +v +w =--g ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z W WU WW ∆P ∆π
g
τL H πH π
W
τ
WU
L WW D ∆P πD
∆π
π
g
100 ≤101 10-1 10-1 100
∂p
由尺度分析结果可得，∂z =-ρg 不成立。故而对于典型龙卷风运动，静力
平衡不成立。
11. 将铅直运动方程无量纲化，试由此方程分析取静力平衡近似的条件为 δ≡解：
以静止的基本状态为背景的铅直运动方程为，
D L
«1 λ≡
D
=1 H
∂w ∂w ∂w ∂w 1∂p 'ρ'+u +v +w =--g ∂t ∂x ∂y ∂z ρ∂z ρ
无量纲化
**
''W ∂w WU *∂w *∂w WW *∂w ∆P 1∂p ∆πg 0ρ*
+(u *+v *) +w *=--g ****
τ∂t L ∂x ∂y D ∂z πD ρ∂z πρ
*
*
*
*
引入,
P g =0
πH
P
*****∆π*
''W ∂w WU *∂w *∂w WW *∂w ∆P 1∂p ρ*+(u *+v *) +w *=--g ****
τ∂t L ∂x ∂y D ∂z πD ρ∂z πρW ∂w *WU *∂w **∂w *WW *∂w *∆P 1∂p '*π∆P ρ'**
+(u *+v *) +w *=--g ****
τ∂t L ∂x ∂y D ∂z πD ρ∂z πH ρ
P
**''W ∂w WU *∂w *∂w WW *∂w ∆P 1∂p ∆P ρ*
+(u *+v *) +w *=--g ****
τ∂t L ∂x ∂y D ∂z πD ρ∂z πH ρ
****
（3.52）
R o ≤1, R 1=1⎧∆P =R 1πf UL 0
⎪⎪⎨ 2
f U ⎪W =R 0
R o 1, R 1=R o 12⎪N H ⎩
*
*
2
*
同除以W ，并将上式代入
R 1f 0U 1*∂w 1∂w U *∂w *∂w +(u *+v *) +2w *
*
τ∂t L ∂x ∂y N H D ∂z R 1πf 0UL 1∂p '*R 1πf 0UL ρ'**=--g 2*2**
R 1f 0U R 1f 0U ∂z ρπ2D π2H ρN H N H
*
R 1f 0U 1*∂w 1∂w U *∂w *∂w +(u +v *) +2w ***τ∂t L ∂x ∂y N H D ∂z LN 2H 1∂p '*LN 2ρ'**=--g ***
UD ρ∂z U ρ
同除以科氏力参数
***2*
U 2
1∂w *U *∂w **∂w *D 2*∂w *
+(u +v *) +R 1w ***2
τf 0∂t L f 0∂x ∂y H N ∂z U H 1N 2D 21∂p '*U 1N 2D 2ρ'**=--g
2*2*2*2
Lf 0D D U ∂z Lf 0D U L 2L 2
定义系数如下：
1
ε≡τf 0D λ≡
H
U R o ≡
L f 0N 2
R i ≡2
U D 2
D δ≡
L
***
∂w *∂w ∂w ∂w **-1*ε*+R o (u +v ) +R 1λR i w **
∂t ∂x ∂y ∂z ***
''1∂p ρ-2*
=-R o λ-1δ-2R i *-R δR g o i **
∂z
∂w *∂w *∂w -1*∂w ε*+R o (u +v ) +R 1λR i w **∂t ∂x ∂y ∂z *
**
''1∂p ρ-2*
=-R o λ-1δ-2R i *-R δR g o i **
ρ∂z ρ
****
依据大尺度运动特征知道，
ε 1, R o 1, R i 1。它将使得左边各项非常小，趋于零。
静力平衡近似还必须满足， （1）
R o λδR i =R o δR i
（2） 静力平衡
-1-2-2
→λ=1
D
→=1
H
R o λδR i =10, →
-1-2
R o R i
δ
2
=10
由于R i 的量值通常很小，所以上面的等式左边分子 1
所以要求,
D
→δ 1, → 1
L
证毕。