第3章 直线与方程
3.3 直线的交点坐标与距离公式
教学目标：
1、 掌握求两条直线交点坐标的方法。
2、 会求平面内两点间的距离，并掌握两点间距离公式的应用。
3、 会利用公式求点到直线的距离的方法。
知识点：
1、两直线的交点 求两直线与的交点坐标 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.
①若方程组有无穷多个解，此时两直线重合；反之，亦成立。
②若方程组无解，此时两直线平行；反之，亦成立。
③当有交点时，方程组的解就是交点坐标。 两直线相交的条件是或A 1B 2－A 2B 1≠0
要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.
例1、求下列两条直线的交点：
l 1：x +2y +1=0, l 2：－x +2y +2=0
2、平面上两点间的距离公式 两点间的距离公式为.
要点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决. 另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.
例2、已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求证：△ABC 是等腰三角形。
例3、已知点A （4，12），在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，求点P 的坐标。
3、点到直线的距离公式 点要点诠释： 到直线的距离为.
此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等。点
直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离。 到例4、直线l 经过点P （2，-5），且与点A （3，-2）和点B （-1，6）的距离之比为1：2，求直线l 的方程。
4、两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：
①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离； ②距离公式：直线与直线的距离为.
要点诠释：
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一 般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
(2)利用两条平行直线间的距离公式
线中x ，y 的系数要保持一致. 时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直
例5、直线l 1过点A （0，1），l 2过点B （5，0），如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程。
5、两条直线位置关系的判断方法
（1）平行
（2）垂直
（3）相交
（中难题）例6、已知两直线l 1：x +my +6=0, l 2：(m －2) x +3y +2m =0，当m 为何值时，直线l 1与
（2）重合；（3）相交。 l 2（1）平行；
6、用直线系求直线方程的方法
（1）过两直线的交点的直线系方程：经过两直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线方程为A 1x +B 1y +C 1+λA 2x +B 2y +C 2=0，其中λ是待定系数。在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x +B 2y +C 2=0，因此它不能表示直线l 2。
（2）垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A≠0,B ≠0) 垂直的直线系方程是Bx －Ay +λ=0。 例7、求过两直线x-2y+4=0和x+y-2的交点，且满足下列条件的直线l 的方程。
（1）过点（2，-1）；
（2）和直线2x-y+5=0平行。
()
（中难题）例8、求经过两条直线l 1：x-2y+4=0和l 2：x+y-2=0的交点P 且与直线l 3：3x-4y+5=0垂直的直线l 的方程。
7、解决与距离相关的问题的方法。
求解步骤：
（1）根据条件画图
（2）化直线方程为一般式
（3）运用距离公式建立关系
例9（中难题）
（1）求两平行线l 1：3x+4y=10和l 2：3x+4y=15的距离。
（2）求过点M （-2，1）且与A （-1，2），B （3，0）两点距离相等的直线方程。
8、求关于点对称的对称问题的方法。
（1）求已知点关于点的对称点。
（2）求直线关于点的对称直线。
（3）求点关于直线的对称点。
（4）求直线关于直线的对称直线。
（中难题）例10、已知直线l ：y=3x+3，求：
（1）点P （4，5）关于l 的对称点坐标；
（2）直线y=x-2关于l 的对称直线的方程；
（3）直线l 关于点A （3，2）的对称直线的方程。
9、对称问题的应用。
（1）在直线l 上求一点P ，使P 到两定点的距离之和最小。
（2）在直线l 上求一点P ，使P 到两定点的距离之差最大。
例11：（1）已知两点A （3，-3），B （5，1），直线l ：y=x，在直线l 上求一点P ，使+PB 最小；
（2）已知两点A （-3，3），B （5，1），直线l ：y=x，在直线l 上求一点P ，使PA +PB 最小；
（3）已知两点A （-3，3），B （5，1），直线l ：y=x，在直线l 上求一点P ，使PB 最大；
（4）已知两点A （3，-3），B （5，1），直线l ：y=x，在直线l 上求一点P ，使PB 最大；
10、光线的入射、反射问题的数学处理的创新能力
（中难题）例12、一束平行光线从原点O （0，0）出发，经过直线l ：8x+6y=25反射后通过点P （-4，3），求反射光线所在直线的方程。