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3.2.2《直线的两点式方程》教案
【教学目标】
1.直线的两点式方程的推导过程;
2.直线的截距式方程的构成,了解直线方程截距式的形式特点及适用范围; 3 截距的含义。掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围。 【导入新课】 问题导入:
利用点斜式解答如下问题:
(1)已知直线l经过两点P1,2),P2(3,5),求直线l的方程。 1((2)已知两点P其中(x1
1(x1,x2),P2(x2,y2)线方程。
新授课阶段
1.直线的两点式方程的推导过程
已知两点的坐标,先判断是否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而可求出直线方程:
x2,y1y2),求通过这两点的直
3
(1)y2(x1)
2
(2)y
y1
y2y1
(xx1)
x2x1
yy1xx1
(x1x2,y1y2)
y2y1x2x1
指出:当y1y2时,方程可以写成
由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的两点式方程,简称两点式。 思考:若点P中有x1
1(x1,x2),P2(x2,y2)程是什么?
当x1
x2,或y1y2,此时这两点的直线方
x2时,直线与x轴垂直,所以直线方程为:xx1;当y1y2时,直线与y
y1。
轴垂直,直线方程为:y
例1 已知直线l:kxy12k0 (1) 证明直线l经过定点;
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(2)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程;
(3) 若直线不经过第三象限,求k的取值范围。 解:(1)(-2,1);(2)由直线l的方程得A(--
12k
,0),B(0,1+2k),由题知:k
12k
<0,且1+2k>0,∴k>0 k
111
∵S= |OA||OB|=(4k4)≥4.
22k
11
当且仅当k>0,4k=,即k= 时,面积取最小值4,此时直线的方程是:x-2y+4=0.
k2(3)由(2)知直线l在坐标轴上的截距,直线不经过第四象限则-
12k
≤0,且1+2k≥0,k
∴k>0。
2.直线的截距式方程
设直线l与x轴的交点为A(a,0),与时直线l的方程为
y轴的交点为B(0,b),其中a0,b0,此
xy
1,称此方程为直线的截距式方程。 ab
例2一条直线经过点M(2,1),且在两坐标轴上的截距和是6,求该直线的方程。
a+b=6,xy
解:设所求直线为=1(ab≠0),由已知得 21
ab =1,ab
a=3,a=4,
解得 或
b =3,b =2.
此时直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。
当a、b中有一个是0时,直线方程分别为x=2或y=1,它们均不满足题设的另一条件“在两坐标轴的的截距和是6 ,因而舍去。故所求的直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。
课堂小结
1.直线的两点式方程的推导与应用; 2.直线的截距式方程的应用。 作业
见同步练习部分 拓展提升
1.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为 ( )
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322
A B.- C. D.2
235
2.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3. 已知两直线:a1xb1y70,a2xb2y70,都经过点(3,5),则经过点(a1,b1),(a2,b2)的直线方程是
4. 直线l上有两点A(2,0)、B(6,4),直线l绕A旋转90°后得l′,同时B点到达C点,求C点的坐标。
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参考答案
1.A【解析】用两点式直线方程。
2.B【解析】用截距式方程,结合基本不等式。
3.3x+5y+7=0【解析】两点(a1,b1),(a2,b2)都适合方程3x+5y+7=0,而过这两点的直线是惟一的。
4.解:数形结合解三角形得:顺时针转90°时,C点的坐标为(6,-4);逆时针转90°时,C点的坐标为(-2,4)。