自动控制理论论文2222

《自动控制原理与系统结业论文》

闭环零点对二阶系统暂态

的影响

学生学号：100101440 学生姓名：牛庆辉 指导老师：张 琦 职 称 ：讲 师 日期 ：2012/5/20

焦作大学

摘 要

二阶系统的单位阶跃响应是典型的二阶系统。因此分析二阶系统的单位阶跃响应，对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。在实际工作中，在一定的条件下，常常需要把一个高阶系统降为二阶系统来处理，这样的近似处理可以大大简化分析方法，减少计算量，而且任然不失其运动过程的基本性质。二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但阻尼比ξ取值恰当，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因此在控制过程中常把二阶系统设计为欠阻尼的情况。大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表达。

本论文是通过直接求解系统在单位阶跃信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通过对设零点系统与未设零点系统上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间等暂态特性各个方面的对比，以及零点位置的变化对各动态性能变化趋势最终找到闭环零点对实际二阶系统的作用效果。

关键字：

单位阶跃 二阶系统 欠阻尼 闭环零点

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目 录

1、二阶系统描述

1.1二阶系统结构图及传递函数

1.2二阶系统单位阶跃响应

1.3二阶系统极点分布图

1.4二阶系统动态特性

2、具有零点的二阶系统的动态分析

2.1具有零点的二阶系统结构图及传递函数

2.2具有零点的二阶系统的单位阶跃响应

3、具有零点的二阶系统的动态性能指标

3.1上升时间

3.2最大超调量%

3.3调节时间Ts

3.4振荡次数u

4、闭环零点的不同对二阶系统暂态响应的影响

5、总结

6、参考文献

7、致谢

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引 言

由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。欠阻尼振荡的二阶系统在实际中可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。二阶系统的单位阶跃响应是反映二阶系统本质的重要表现形式。我们在实际生产过程中，二阶系统总是需要满足工程最佳参数的要求，但是通过改变开环放大系数的方法可能会增大系统稳态误差。因此需要通过设置零点的方法从而达到既满足工程所需的阻尼比，又保证系统稳态精度的目的。正是由于闭环零点对二阶系统如此重要，所以此文主要分析闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。

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1 二阶系统的描述

一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S的最高次项的幂决定的。而二阶系统就是以2为S的最高次幂的闭环传递函数所对应的系统典型。简单来说，由二阶微分方程所描述的系统就叫做二阶系统。

1.1 二阶系统结构图及传递函数 1.2

图1.1-1 二阶系统标准形式的结构图

由图可知：

二阶系统的开环传递函数为：

2

n

WKs

ss2n二阶系统的闭环传递函数为：

2n

WBs2

2

s2nsn

1.3 二阶系统单位阶跃响应 1.4

当输入单位阶跃信号时 Xrs

1

，可得该二阶系统的单位阶跃响应 s

2ω为： XsXr(s)WB(s)

css2ξωnsωn





求其拉氏反变换有

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entXct1



2

sindt （t0）

其中阻尼振荡角频率：2

2

dn ，阻尼角：

1.3 二阶系统极点分布图

σ

图1.3-1 01时的

1.4 二阶系统动态特性

1.4.1 上升时间 tr（系统输出量第一次达到稳态值时所用的时间）

令①中ttr 时 Xct1 ntr得

e

2

sindtr0

在系统没有达到最后的稳定以前，为满足上式，使sin(dtr)0 得

t

r



 d2 n

1.4.2 峰值时间 tm(系统输出量第一次达到最大值时所用的时间)

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①

②

令①中

dxct

0 则第一个峰值对应的时间 dt

tm

1.4.3 最大超调量

由于%



③ 

2dn

%（发生在第一个周期的峰值时间处）

XcmXc

100% 且在单位阶跃输入下，稳定值Xc1

Xc因此得

%e

100% ④

1.4.4 调节时间 ts（xc(t)与稳态值xc()之间的偏差达到允许范围而不再超出的动态过程时间）

ts5%ts2%

3

n

4

（00.9）

n

（00.9） ⑤

2 具有零点的二阶系统的动态分析

2.1 具有零点的二阶系统结构图及传递函数

图2.1-1 带零点的二阶系统结构图

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具有零点的二阶系统的闭环传递函数为：

WB(s)

w(τs1)Xc(s)

22

1Xr(s)s22ξwnswn

(s22ξwnswn)τ

2n

12

wn(s)

其中τ为时间常数。

1

令=z，则上式可写为如下形式： τ

2wn(sz)Xc(s)

22

Xr(s)z(s2ξwnswn)

⑥

由式⑥可得，该系统的闭环传递函数具有零点sz，将式⑥分解， 由

Xc1(s)得 Xc(s)Xc1

2

wnXr(s)

2

s2ξwnswn

s

Xc1(s) z

2

2.2 具有零点的二阶系统的单位阶跃响应

1

为求其阶跃响应，设Xr(s)，取初始条件为零，则Xc1(s)和Xc(s)的拉氏

s

反变换为

2wn

xc1(t)[2] 2

s(s2ξwnswn)

1

s1dxc1(t)

xc(t)1[Xc1(s)]1[Xc1(s)]xc1(t)

zzdt

⑦

求出⑦中两项然后相加即得输出量，经过运算得

xc(t)1

eξ

wnt2

ξ

lzζwnξsin(ξ2wntθ)

zll

2



wnξwntθ)⑧



2

上述式子中的“l”为极点与零点间的距离，在复平面上画出其位置（假设零点在极点左侧）

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图2.2-1 复平面上的零点与极点分布

由上图可知：

lzp1(zξwn)(wnξ)故式子⑧可以写成：

222

zξwn

l

wξcosυn

l

2

sinυ

xc(t)1

式子中：

eξ

wnt2

ξ

l

sinξ2wntυθ z



⑨

ξ

θξ

2

wnξ2

υarctan

zξwn

lz

2

z22zξwnwn

z2

令r

ξwnl

，则上式中的可以写为 zzl122rξ2r2 zξ

r代表闭环传递函数的复数极点的实部与零点实部之比。 因此式子⑨可以写为：

2

xc(t)1

2rξ2r2

2

ξξ

eξ

wnt

sin(ξ2wntθυ) （t0） ⑩

由此计算得到了典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式，即为公式⑩。

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2 具有零点的二阶系统的动态性能指标

由公式⑩得到了具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式：

xc(t)1

22rξ2r2

ξξ

2

eξ

wnt

sin(ξ2wntθυ) t0

3.1上升时间tr

在动态过程中，系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间tr。根据定义在公式⑩中令ttr时，xc(t)1，得

2

2rξ2r2

2

ξξ

eξ

wnt

sin(ξ2wntθυ)=0

2

但在t期间，即没有达到最终稳定之前，

2rξ2r2

2

ξξ

eξ

wnt

>0，所以使

上式为零的原因是sin(ξ2wntθυ)=0，因此讨论sin(ξ2wntθυ)=0所出现的情况。

由sin(ξ2wntθυ)=0得：

ξ2wntθυ=π

tr

πθυξwn

2

11 ○

由上式可以看出上升时间tr受到wn，ξ，υ，θ的影响，当wn，ξ，θ一定的时候，上升时间tr只与υ有关。

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图 3.1-1零点实部小于极点实部

图3.1-2零点实部等于极点实部 图3.1-3零点实部大于极点实部

由图2，图3，图4可以看出随着z值的减小，零点越来越靠近虚轴，υ值逐11可得tr逐渐减小。 渐增大，由○3.2 最大超调量%

最大超调量发生在第一周期中ttm时刻，即导数为0的时刻。

dxc(t)

0

dtttm

ξ

2

得 ξ2wntθυ)ξ

因此

ξ

ξwntθυξ

2

2

nπnπθ

即 ξ2wntmυnπ

因为第一次达到最大值经过时间，因此n取值为1，当n=1时，

ξ2wntmυπ

tm

πυξwn

2

12 ○

12可以看出，tm的值随υ的值增大而减小，结合图3.1-1，图3.1-2，有式子○

图3.1-3得到结论：z值逐渐减小，υ值逐渐增大，tm逐渐减小。

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3.3 调节时间ts

调节时间ts是xc(t)与稳态值xc()之间的偏差达到允许的范围而不再超出的

动态过程时间。在动态过程中的偏差为

xxc()xc(t)

eξ

wnt2

ξ

sin(ξ2wntθυ)

当x0.05或0.02时采用近似计算法得到：

eξ

wnt2

ξ

0.05 （或0.02）

由此求得调节时间为：

ts(5%)

3

， ξwn4

, ξwn

0

ts(2%)

0

由上面的两个式子可以看出，具有零点的二阶系统的调节时间只与ξ和wn有关，与z的大小无关。 3.4 振荡次数μ

振荡次数是指在调节时间ts内，xc(t)波动的次数。根据这一定义可得振荡次数为：

μ

ts

tf

其中tf

2πξwn

2

为阻尼振荡的周期时间。

由上述公式可以看出，振荡次数μ只与与阻尼ξ和振荡角频率wn有关，因此

振荡次数不受零点的位置影响，即与零点的大小无关。

3 闭环零点的不同对二阶系统暂态响应的影响

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具有零点的二阶系统传递函数：

2wn(sz)

2

s2ξwnswn

2

当1.25，wn2，系统无零点的二阶系统的阶跃响应曲线图

当1.25，wn2，z4的二阶系统的阶跃响应曲线图

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当1.25，wn2，z0.25的二阶系统的阶跃响应曲线图

当1.25，wn2，z6的二阶系统的阶跃响应曲线图

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5 总结

通过上述分析可以看出，有具有零点的二阶系统的响应指标与无零点的系统

有很大的差别。

无零点的上升时间ts只与阻尼ξ和振荡角频率wn有关，而在具有零点的二阶系统中，上升时间还与零点的实部有关，反映到图像上，即零点离虚轴越近上升时间越小。由r

ξwn

可知，r值越大，振荡性就越强。 z

最大超调量σ%也与零点的位置有关，z值越小，υ值越大，影响tm的值变小。

调节时间ts(5%)

3

只与阻尼ξ和振荡角频率wn有关，所以不受零点位置ξwn

的影响，同样，振荡次数也不受其影响。

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参考文献：

【1】孔凡才，自动控制原理与系统（第3版）[M]上海.机械工业出版社.2007 【2】王建辉，顾树生． 自动控制原理．[M].北京.清华大学出版社．2007 【3】吴麒, 自动控制原理. [M]北京: 清华大学出版社． 1990 【4】张元林, 积分变换． [M]北京: 高等教育出版社． 2003

【5】高国燊，余文杰等．自动控制原理．[M].华南理工大学出版社．2006 【6】胡寿松．自动控制原理．[M]. 科学出版社．2007

致 谢

自动控制技术结业论文暂告收尾，这也意味着我在焦作大学大二的学习生活将结束。回首既往，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极。在这二年的时间里，我在学习上和思想上都受益非浅。这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。

在此，我们特别要感谢张琦老师。感谢她在这半学期对我的辛勤栽培、孜孜教诲。如果没有张老师的辛勤栽培、孜孜教诲，就没有我论文的顺利完成。您在这半年教会我的不仅仅是书本上的知识‘更重要的还有做人、做事 的原则和道理！

最后我还要感谢电气自动化专业的各任课老师和各位同学，与他们的交流使我受益颇多

本篇论文由于自身专业水平的不足，整篇论文肯定存在尚未发现的缺点和错误。恳请批阅此篇论文的老师、同学，多予指正，不胜感激！

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