ｔｈ ａｔ
ｆ（ ｚ ） ＜ｆ （ ｔ ： ） ． Ｓｉ ｎ ｃ ｅ ｆ（ｘ ）ｉｓ
ｃｏｎｔｉ ｎｕｏｕｓ
Ｌｅ ｔ
ｏｎ［口，６］，ｔｈｅｒｅ ｉｓ艿 （工 ）＞ ｏ， ｓｕｃｈ
厂（ｙ）＜， （屯 ）
ｔｈ ａｔ ｆｏｒ ａｌｌ
ｙ∈ （ ｘ－ － ８（ ｘ） ， ｘ ＋艿 （ｚ ）） ｎ
ａ，６］．
（１ ）
ｔｈｅｎ爿ｆｃｏｖｅｒｓ［口，６］ａｎｄ
ｓｕ ｃ ｈ
Ｈｅ ｉ ｎ ｅ Ｂｏ ｒｅ ｌ
Ｔｈ ｅｏ ｒｅ ｍ
．纷｛（ｚ一艿（ｚ），ｚ＋艿（ｚ）），ｚ∈ａ，６］），
Ｃｏ ｖ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
ａ
ｉｍ ｐｌ ｉｅ ｓ
ｆｉｎｉｔｅ
ｉｓ粥 ＝｛（ ｚｉ－－８（ ｚｆ）， ｚ ｉ＋艿 （ｚ。 ））
Ｉｉ＝１，２，…，ｎ｝Ｃｇ
ｔｈａｔ 粥 ｉｓ
ｃｏ ｖ ｅ ｒｉ ｎ ｇ
ｏｆ［ｎ，６］．Ｌｅｔ
ｗｈ ｅｒ ｅ
ｔ：“ｉｎ
ａ，６］．Ｉｔ
ｆｏ ｌ ｌ ｏ ｗ ｓ ｔｈ ａｔ ｔｈ ｅ ｒ ｅ ｅｘ ｉｓ ｔｓ
ｔｈ ａｔ
Ｍ＝ｍａｘ｛ｆ（ｔ‘）Ｉｉ一１，２，…，，２）一，（￡，ｉ），１≤ｉｏ≤，２，
ｔ‘ ∈ （ ｚ ， 一 ８ （ ｘ 』 ） ， ｚ Ｊ＋ ｄ （ ｚ ， ） ） ， ａｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔｏ（ １） ｗｅ ｈａ ｖ ｅ
ｆ（ｔ‘ ）＜， （Ｌ． ）≤ Ｍ—ｆ （ｔ‘ ）．
Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎ ｔｒ ａｄ ｉｃ ｔｉ ｏｎ ． Ｔ ｏ ｔｅｓ ｔｉ ｆｙ Ｒｏ ｌｌ ｅ’ ｓ
ａｓ
ｆｏｌｌ ｏｗｓ ：
Ｔｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ
ｂｙ
ｔｈ ｅ Ｌ ｅ ｍ ｍ ａ
２ ｆｒｏｍ
ａｎｏｔｈｅｒ
ａｎｇｌｅ． ｗｅ
ｓｈａ ｌｌ ｆｉｒｓｔ ｓ ｈ ｏ ｗ
ａ
ｐｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｐｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏｎ
ｍｏ ｎｏ ｔ ｏｎ ｅ
Ｌｅｔ ， （ｚ） ｉｓ
ａ
ｆｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄｉ ｆｆ ｅ ｒｅ ｎ ｔｉ ａ ｂｌ ｅ
ｏｎ（口， ６）ａｎｄ／（ｚ）≠ｏ， ｔｈｅｎ，（ｚ）ｉｓ
ｓｔｒ ｉｃｔ ｌｙ
Ｐｒｏｏｆ
Ｌｅ ｔ ｏｎ （ｎ ， ６ ）．
ｔ１
ｈａｖｅ
ｔ２
ｂｅ
ａｎｙ
ｔｗｏ
ｐｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｉｎ ｔｈ ｅ
ｏｐ ｅｎ
ｉｎｔｅｒｖａｌ（口 ， ６）ｗｉｔｈ
ｔｌ ＜ｔ ２， ｔ ｈｅ ｎ
ｆｏｒ
ｅｖｅｒｙ
ｌｉｍ￡Ｑ掣一ｆ７（ｚ） ≠ｏ，ｓｏ
ｔｈ ｅ ｒ ｅ
ｚ∈［ｚｌ，￡２］，ｗｅ
ｅｘ ｉｓ ｔｓ 占 （ｚ ）＞ ｏ ｓｕ ｃ ｈ
ｔｈ ａ ｔ
ｙ∈ ｕ 。 （ ｚ ； 艿 （ ｚ ） ）
万方数据
第 ４期
ｎ［口，６］ｉｍｐｌｉｅｓ
Ｙ Ａ Ｏ
Ｊ ｉｎ ｇ — ｓ ｕ ｎ ： Ｓ ｏ ｍ ｅ
Ｎｅ ｗ
Ｗａ ｙ ｓ
ｔｏ
Ｐｒｏｖｅ Ｒｏ ｌｌ ｅ’ ｓ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ １３ ３
Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔ ｈ ａ ｔ 艿 （ ｚ ） ｉ ｓ
ａ
』！羔！二』！兰２＞ｏ。
』型二』！型＜ｏ。
Ｙ一．ｚ
＇一 正 ｆｕ ｎｃ ｔｉ ｏｎ
ｏ ｎ
ｉｆ厂 （ｚ ）＞ｏ ，
ｉｆ ｆ７（ｚ ）＜Ｏ 。 Ｌｅｍｍａ ２
ｔｈａｔ
ｔｈ ｅｒ ｅ
ｉｓ ａ ＆ ｆ ｉ ｎ ｅ （２ ）
（３ ）
Ｉｔｌ，ｔ２］．Ｔｈｅ
ｉｍ ｐｌ ｉｅ ｓ ｔａ ｇ ｇ ｅ ｄ
ｐｏｓｉｔ ｉｖｅ
ｅａ ｃ ｈ ｍｕ ｓｔ
ａ
ａｓ
ｗｅ ｌｌ
ｗｅ ｆｏｒ ａｌｌ ｚ ｒ ｅａ ｃ ｈ ａｌ ｓｏ
ｔｈ ａｔ ｆｏｒ ｌｏ ｓｓ ｏｆ ｔｈ ａｔ ｉ ｔｈ ｅｒ
ｏ ｎ
ａｓ ｗｅ ｔｈ ｅ ｓ ａ ｍ ｅ ｎｏ ｔ ， ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｗｅ ａ ｓ ｓ ｕ ｍ ｅ ｔｈ ａｔ ｆｏ
ｈａ ｖ ｅ ｔｈ ｅ ｃｏ ｎ ｄ ｉｔ ｉ ｏ ｎ
ｅ
ｍｅａｎ
ｖａｌｕ ｅ
ｃｏｎｔｉ ｎｕｏｕｓ ｔｈ ａ ｔ Ｒｏ ｌｌ ｅ’ ｓ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｈｏｌｄｓ．
Ｍ
ｐａｒｔｉｔｉｏｎ｛（ｃｉ，［ｚ卜１，ｚｉ］），ｉ—ｌ，２，…，ｎ）ｔｈａｔ ｉｓ，ｔ１一ｚｏ ＜ｚ１ ＜…＜ｚ。 ＝ｔ２，ｃｆ∈ ［ｚ卜１，ｚ ｉ］ａｎｄ［ｚ， 一１，ｚ，］
ｍｉ ｇ ｈ ｔ
ｓｕ ｐ ｐ ｏ ｓ ｅ
ｃ１＜ｃ ｚ＜… ＜ｃ。 ．
（４ ）
Ｊ： １≤ ｊ≤ 押一 １ ｃＪ≤ｚＪ≤ｃＪ＋１，
ｃｊ — ｃ ｊ＋ １ ． Ｉ ｔ
ｃ， 一 刁 一 ｃ ｊ＋ １ ｂ ｙ
ｔ ａ ｇ ｇ ｅ ｄ ｐａ ｒｔ ｉｔ ｉｏ ｎ ｏｆ［￡ｌ，ｔ２］ｓａ ｔｉｓｆｙｉｎｇ（４）ｓｏ ｌｏ ｎｇ ｍｅｒｇ ｅ［≈ 一 １，ｘ ｊ］ｗ ｉｔｈ
［乃，ｚＪ＋１ ］）．Ｔｈｅｎ
ｍ ｕ ｓ ｔ ｂｅ ｉ ｓａ ｔｉ ｓ ｆｙ ｉｎ ｇ ｌ≤ ｉ≤ 行一 １ ｓｕ ｃ ｈ ｇ ｈ ｔ ａ ｓ ｗｅ ｌｌ ｓ ｕ ｐ ｐ ｏ ｓ ｅ ｔｈａｔ／（ｆ．）＞ｏ ｔｈ ａｔ
ｆ’（ｆ ，）・ ｆ’（ ｃｍ）＜ｏ ．Ｗｅ
ｍｉ
ａｎｄ／ （ｏ＋１）＜ｏ． Ｂｙ（２）ａｎｄ（３）， ｗｅ
（ｙ ） ＞ 厂 （Ｇ ＋ １ ） ｉｆ Ｙ∈ （ ｆ ｊ ， ｃ， ＋ ３ （ ｃ ｉ ） ）
ｈａ ｖ ｅ ｔｈ ａ ｔ 厂 （ ｙ ） ＞ ｆ（ ｃ ｊ ） ａｎ ｄ ，
ｎ（ｃｉ＋１－－８（ｃｉ＋１），ｃ卜｝１）Ｎ ａ，６］．Ｆｏｒ
Ｙｏ
ｔｈｉｓ ｒｅ ａ ｓ ｏ ｎ ， ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ
ｅｘ ｉ ｓｔ ｓ
ｉｎ（ｆｉ， ｃｆ＋１ ）ｓｕｃｈ ｖａ ｌ ｕ ｅ ｏｆ ｆ
ｔｈａ ｔ厂 （Ｙ ｏ） ｉｓ
ｏ ｎ
ｔｈ ｅ ｂｅ ｚ ｅ
ｍａｘｉ ｍｕｍ ｒｏ， ｗｈｉｃｈ
ｃ，，ｃｍ］，ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ厂，（帅）ｍｕｓｔ
ｃｏ ｎ ｔ ｒ ａｄ ｉ ｃ ｔ ｓ ｔｈ ｅ ｃｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔｈ ａｔ
／ （ｚ ）４ ＝０ ｚ一 ＜ ｚ。 ｂ ｙ （２ ） ｗ ｅ ｆ （ ｘ Ｈ ） ＜ 厂 （ ｏ ） ≤ ｆ （ ｘ ｉ ） ｏ ｒ ｆ（ｘ卜 １ ）≤ ｆ（ｃ ｊ）＜厂 （ｚ， ）， ｔｈｅｎ ｆ （ ｘ Ｈ ） ＜ ， （
ｚｉ） ｆｏｒ
ｆ（ｔ１）＜厂（￡２）．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｆ
ｉｓ ｓｔｒ ｉｃｔ ｌｙ ｍ ｏ ｎ ｏ ｔ ｏ ｎ ｅ ｏｎ（口 ，６ ）． ｏｎ （ ａ
Ｉｆ Ｒｏ ｌｌ ｅ’ ｓ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｉｓ ｆａｕｌｔｙ， ， （ｚ）ｉｓ ｓｔｒ ｉｃｔ ｌｙ ｍ ｏ ｎ ｏ ｔ ｏ ｎ ｅ ， ６ ） ｂ ｙ ｐｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｂ ｏ ｖ ｅ ． Ｔ ｈ ｕ ｓ
， （ｚ）ｉｓ
ｓｔｒ ｉｃｔ ｌｙ
ａ， ６］ ｂ ｙ
ｆ（ａ）一 厂 （６ ）． Ｔｈ ｉｓ
ｔｈ ａ ｔ 厂 （ ｚ ） ｉｓ
［Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ］
［１ ］ Ｔｕ ｃ ｋ ｅｒ Ｔ Ｗ． Ｒ ｅｔ ｈ ｉ ｎｋ ｉ ｎ ｇ ｎｉｇｏ ｒ ｉｎ ｃａｌｃｕ ｌｕｓ： ｔｈｅ ｅｏｒｅｍ［Ｊ］．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｔｈｌｙ， １９９７，
１０４ （３ ）： ２ ３１— ２ ４０ ． Ｒｏ ｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍ ｅ ａ ｎ ｖａｌｕ ｅ
ｔｈ
Ｅｚ ］ Ｓ ｗ ａ ｎ ｎ Ｈ ． Ｃ ｏ ｍ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ ｏ ｎ ｒｅｔｈｉ ｎｋｉｎｇ ａ ｎ ｖａｌｕ ｅ ｔｈｅｏｒｅｍ［Ｊ］． Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．
Ｍｏ ｎｔ ｈｌ ｙ ， １９ ９７ ， １ ０４ （３ ） ： ２４ １— ２４ ５．
ｒｉｇｏｒ ｉｎ
ｃａｌｃ ｕｌｕｓ ： ｔ ｈｅ
Ｒｏ ｌｅ
ｏｆ ｔｈｅ ｍ ｅ
［３３ Ｔ ｏ ｎ ｇ ｔｈｅｏｒｅｍ［Ｊ］．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｔｈｌｙ。 １９９７， １０４（１２）：９３９—９４２． ［４］ Ｘ ｕ Ｊｉ— ｈｏｎ ｇ． Ａｎ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ａｐ ｐｒ ｏａ ｃｈ ａｂ ｏｕ ｔ ｓｅｖｅｒａｌ ｔｈ ｅｏ ｒｅ ｍｓ ｉｎ ｃａｌｃｕｌｕｓ ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａ ｔｈ ｅｍ ａ ｔｉ ｃａ ｌ Ｒｅ ｓｅ ａｒ ｃｈ ａｎ ｄ
Ｅｘｐ ｏｓ ｉｔ ｉｏ ｎ， ２ ００ ６， ２ ６（１ ）： ６ ３— ６ ６．
［５］
ｙｓｉｓ
Ｙ Ａ Ｏ
Ｊｉｎ ｇ— ｓｕｎ ．Ｔ ｈｅ ａｐｐｌｉｃａ ｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｌｌ
ｃｏ ｖｅ ｒ
ａｎ ｄ
ｔａｇｇ ｅｄ
ｐａｒｔｉｔｉｏｎ
ｉｎ ａｎａｌ
Ｉ－ｊ］．Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｍａｔ ｈｅ ｍａ ｔｉ ｃｓ ， ２０ ０６ ，
２２（ ４） ： １０ ９— １１ ２．
［６３ ａｔｈ． Ｍｏｎｔｈｌｙ， １９８７，
９４（ ５） ： ４５ ０— ４５ ２．
ｅｌ ｅｍ ｅｎ ｔａ ｒｙ
ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ａｍｅｒ．Ｍ
［７３ Ｒｕｓ ｓｅｌ ｌ ａ Ｇ ｏ ｒ ｄ ｏ ｎ ． Ｔ ｈ ｅ ｕ ｓ ｅ ｏｆ ｔａｇｇ ｅｄ ｓｉｓ［Ｊ］．Ａｍｅｒ． Ｍａｔｈ． Ｍｏｎｔｈｌｙ，１ ９９８，
１０５ （２ ）： １ ０７— １ １７ ．
．
ｐａｒｔｉｔｉｏｎｓ
ｉｎ ｅｌ ｅｍ ｅｎ ｔａ ｒｙ
ｒｅａｌ
ａｎａｌｙ
［摘
罗尔中 值定 理的一 些新 证法
姚静荪
（安 徽 师 范 大 学 数 学 计 算 机 科 学 学 院 ， 芜 湖 ２ ４ １ ０ ０ ０ ）
要 ］给 出 了 罗 尔 微 分 中 值 定 理 的 三 种 新 的 证 明 方 法 ， 其 中 第 二 种 很 简 便 的 方 法 仅 依 赖 于 大 家 熟 知 的 Ｈｅｉｎｅ－
Ｂｏ ｒ ｅ ｌ有 限 覆 盖 定 理 ． 由 此 可 见 罗 尔 微 分 中 值 定 理 可 以 是 实 数 的 完 备 性 的 直 接 推 论 ． ［关 键 词 ］ 罗 尔 中 值 定 理 ； 实 数 的 完 备 性 ； 完 全 覆 盖 ； 有 限 覆 盖 定 理 ； 争 精 细 加 标 分 割
万方数据