第三章 导数与微分
习题解析
(A )
1. 根据导数的定义求下列函数的导数:
3
(1) y =1-2x (2) y =2 (3) y =x 2
x 解 根据导数定义y ′=Δlim 来求.
x →0Δx
(1) Δy =1-2(x +Δx) 2-1+2x 2=-4x Δx -2(Δx ) 2
2
=-4x -2Δx Δx
=lim (-4x -2Δx ) =-4x Δx Δx →0
2
(2) Δy =2-2=22
(x +Δx ) x x (x +Δx ) =--222
Δx x(x +Δx) x (x +Δx )
-y ′=Δlim =lim =-3
x →0Δx Δx →0x(x +Δx) 2x
y ′=Δlim x →0
(3) Δy =
=
3
(x +Δx ) -(x +Δx) +
4
2
3
x
2
2
223
2
3
3
3
=Δx Δx 3(x +Δx) 4+
(x +Δx ) x +
2
3
x
4
(x +Δx)
2
3
x +
2
3
x
4
第三章 导数与微分
・65・
Δy -3y ′=Δlim ==x 3
x →0Δx 33x 4
要
用极限求导的两种形式 (1) 计算任意一点x 的导数
y ′=Δlim
x →0
Δx
点3－1
(2) 计算具体点x 0的导数
0y ′(x 0) =x lim
→x x -x 0
2. 给定函数f (x) =ax 2+bx +c, 其中a , b, c 为常量, 求:
f ′(x) , f ′(0) , f ′
2
, f ′-2a
解 首先求任意点x 的导数f ′(x ) , 然后代入x 的具体值. f ′(x ) =Δlim
x →0
Δx
2
2
=Δlim x →0Δx =Δlim x →0Δx =2ax +b
于是 f ′(0) =b , f ′=a +b, f ′-=0.
22a 3
3. 一物体的运动方程为s =t +10, 求该物体在t =3时的瞬时速度.
解 v(3) =s ′(3) =lim
t →3
t -3
2
3322
=lim =lim (t +3t +3) =27t →3t →3t -3
故所求瞬时速度为v(3) =27.
・66・
2
经济数学———微积分题解
4. 求在抛物线y =x 上点x =3处的切线方程.
解 k =y ′(3) =lim
x →3x -322=lim =lim (x +3) =6t →3x →3x -3
故所求切线斜率k =6, 切点为(3, 9) , 从而切线方程为
y -9=6(x -3) 或 6x -y -9=0
5. 自变量x 取哪些值时, 抛物线y =x 与y =x 的切线平行?
解 由导数的几何意义(k =f ′(x ) 是曲线y =f (x ) 在点(x , y) 的斜率) 知, 要判断的是这两个函数在哪些点有相同的导数. 为此令
(x ) ′=(x ) ′ 即 2x =3x 解出x =0, x =即为所求.
3
2
x +1, 0≤x ≤1
6. 函数f (x ) =在点x =1处是否可导?
3x -1, 1≤x
为什么?
解 分段点处的导数必须依据导数的定义来计算, 当该点的左、右导数相等时方可说函数在该点可导. 由左、右导数定义得
f ′=lim =3+(1) =lim ++x -1x -1x →1x →1
f ′=lim =2-(1) =lim --x -1x -1x →1x →1
由于f ′+(1) ≠f ′-(1) , 故f (x ) 在x =1不可导. 7. 讨论函数y =x |x |在点x =0处的可导性.
解 y ′(0) =lim =lim =lim |x |=0
x →0x →0x →0x -0x
故所论函数于x =0可导.
x , x
8. 用导数定义求f (x) =在点x =0处的
ln (1+x ) , x ≥0
2
2
3
2
2
3
第三章 导数与微分
・67・
导数.
解 f ′+(1) =lim +
x →0
=lim =1
+x -0x x →0=lim -=1
x -0x x →0
-1
f ′-(1) =lim -x →0
因此, y ′(0) =1.
1+x -1-x ,
在x =0处的连续性与可导性.
解 f (0) =lim +f (x) =lim (
+
x →0
x →0
9. 设f (x ) =
ln (1+x ) ,
, 讨论f (x )
+
1+x -1-x ) =1-1=0
f (0) =lim -f (x) =lim -ln (1+x) =ln1=0
x →0
x →0
-
于是f (0) =f (0) =f (0) =0, 故f (x) 在x =0连续. 又
f ′=lim =1+(0) =lim ++x -0x x →0x →0
f ′-(0) =lim -x →0
+-
=lim -x -0x →0
x
=1
x →0x (1+x +1-x )
可见f ′+(0) =f ′-(0) , 这说明f (x ) 在x =0可导.
=lim -10. 函数f (x ) =是否可导?
=lim x sin =0 (sin 有界) x →0x -0x x
故f (x) 于x =0可导, 由于可导点必是连续点, 故f (x ) 于x =0
解 f ′(0) =lim
x →0
连续.
x sin 0,
2
, x
x ≠0x =0
在点x =0处是否连续?
・68・
1,
11. 讨论f (x ) =
2x +1, x +2, x ,
处的连续性与可导性.
2
经济数学———微积分题解
x ≤00
在x =0, x =1, x =2
解 由直接检验左、右极限的相等与否可知, f (x ) 仅在x =2
处不连续. 又
f ′+(0) =lim +
x →0
=lim =2
+x -0x x →0
=lim -=0
x -0x x →0x →0
可见f (x) 在x =0不可导. 最后, 由于
f ′-(0) =lim - f ′+(1) =lim =lim =2
++x -1x -1x →1x →1
f ′-(1) =lim -x →1
2
=lim -=2
x -1x -1x →1
故f (x) 在x =1可导.
12. 求下列各函数的导数(其中a, b 为常量) :
2a +b
(1) y =3x -x +5 (2) y =x (3) y =2x -+43x (5) y =
x (7) y =((9) y =
3
(4) y =+2
2x (6) y =x (2x -1)
2
2
x +1)
x
-1
(8) y =(x +1) 2x
(10) y =(x -a) (x -b)
a +b
b a
(11) y =(1+ax ) (1+bx )
解 运用求导公式与求导规则计算. (1) y ′=(3x ) ′-(x) ′+(5) ′=6x -1
a +b -1
(2) y ′=(a +b) x
2
第三章 导数与微分
12
-1
-12
-2
・69・
) ′+(43) ′=x
+x
(3) y ′=2(x ) ′-(x (4) y ′=
2-2-3
(x ) ′+2(x ) ′=x -4x 2
--(5) y ′=(x 2-x 2) ′=-x 2-x 222
(6) y ′=(2x 3-x 2) ′=6x 2-2x =2x (3x -1) (7) y ′=(
=
2
x +1) ′
x -1+(
x +1) -2
x
3
x
-1
′
x x
=-1+
x 2x
2
2
-1+(
x +1)
(8) y ′=2(x +x ) ′=2
=
-x 2+x
22
2
(3x +1) 2x (9) y ′=(ax +b) ′=
a +b a +b
(10) y ′=(x -a) ′(x -b) +(x -a) (x -b) ′
=x -b +x -a =2x -a -b
(11) y ′=(1+ax b ) ′(1+bx a ) +(1+ax b ) (1+bx a ) ′
=abx
b -1
(1+bx ) +abx
a a -1
(1+ax )
b -1
b
=ab[x a -1+x b -1+(a +b) x a +
要
优先使用和规则
]点
3－2
在导数运算法则中, 和的求导规则较简便. 因此在遇到积、商时应尽可能化作和式后再行求导, 如上题中(5) , (8) 的求解.
13. 求下列各函数的导数(其中a, b, c, n 为常量) :
(1) y =(x +1) (x +2) (x +3) (2) y =x ln x
・70・(3) y =x ln x (5) y =
x -1
n
经济数学———微积分题解
(4) y =log a (6) y =
x
2
1+x
(7) y =3x -(8) y =n
2-x b +cx
2
(9) y =(10) y =2
1+ln x 1-x +x
322
解 (1) y ′=(x +6x +11x +6) ′=3x +12x +11(2) y ′=x (ln x ) ′+(x ) ′ln x =1+ln x
n -1
=x (n ln x +1) x
′(4) y ′=log a x =log a e =
22x 2x ln a
′′(5) y ′=1+=2=2
x -1x -1(x -1)
2
(6) y ′=2+5x 22=22
1+x (1+x ) (1+x )
(7) y ′=3-(2-x +x) =3-(2-x ) 2(2-x) 2
n -1
n -1
(8) y ′=) =x n 2(-cnx n 2
(b +c ) (b +cx )
(9) y ′=(1+ln x ) -(1-ln x ) 2
x x (1+ln x )
=-2
x(1+ln x )
22
(10) y ′=[(1-x +x ) (1-2x ) -(1+x -x ) 2
(1-x +x )
・(-1+2x) ]=22
(1-x +x )
14. 求下列各函数的导数:(3) y ′=nx
n -1
ln x +x n
(1) y =x sin x +cos x (2) y =
1-cos x
第三章 导数与微分
・71・
(4) y =
1+cos x
(3) y =tan x -x tan x (5) y =
+(6) y =x sin x ・1n x x sin x
解 (1) y ′=sin x +x cos x -sin x =x cos x ′(2) y ′=x =+x 2
1-cos x 1-cos x (1-cos x ) 注:本题是将商看做积v 来进行求导, 计算量小一些.
u u
2
(3) y ′=[(1-x) tan x ]′=-tan x +(1-x)/cos x +5sin x =2
1+cos x (1+cos x ) 1+cos x ′′(5) y ′=+=+22
x sin x x sin x
(6) y ′=sin x ・ln x +x cos x ・ln x +sin x (4) y ′=
15. 求曲线y =sin x 在点x =π处的切线方程. 解 切点为(π, sin π) , 即 (π, 0) , 切点处切线斜率
k =y ′(π) =cos π=-1
故切线
y -0=-1(x -π) 或 y =-x +π
16. 在曲线y =2上求一点, 使通过该点的切线平行于x 轴.
1+x
解 与x 轴平行的切线斜率k =0, 由于y ′=22, 从y ′
(1+x )
=0中解出x =0, 故所求点为(0, 1) .
17. 求曲线y =(x +1) 各点处的切线方程.
解 y ′=
3
3
3-x 在A(-1, 0) , B(2, 3) , C(3, 0)
-2
3
3-x -(x +1) (3-x) 3
3
3
切点斜率 k A =y ′(-1) =4, k B =y ′(2) =0, k C =∞切线方程 y -0=4(x +1) 即 y =4x +4 y -3=0(x -2) 即 y =3
3
3
・72・
经济数学———微积分题解
k C =∞说明切线垂直于x 轴, 故切线方程为x =3. 18. a 为何值时y =ax 与y =ln x 相切?
解 问题等价于求一个点, 使得两个函数在该点不仅导数值相等并且函数值也相等.
2(ax ) ′=(ln x ) ′2ax =
x 令 即 2
ax =ln x 2
ax =ln x
得x =e , 故a =即为所求.
2e
19. 求下列各函数的导数(其中a, n 为常量) :
(1) y =(1+x ) (1+x 2) 2 (2) y =(1-x) (1-2x)
2
(3) y =(3x +5) 3(5x +4) 51+5x
2
2
(4) y =(2+3x 2)
(5) y =
x +3(7) y =2
1-x
2
(6) y =
x 2-a 2
(8) y =log a (1+x 2)
2
(9) y =ln (a -x ) 1-n
(13) y =sin x (11) y =ln
n
(10) y =ln x +ln x
x
(12) y =sin nx (14) y =sin x (16) y =cos
3n
(15) y =sin x ・cos nx -22(19) y =x 2sin
x (17) y =tan (21) y =ln (x +(23) y =
x 2-a 2)
22
(18) y =lntan (20) y =lnln x
cos x +x sin x
cos n x
(24) y =sec 2+csc 2
a a (22) y =
第三章 导数与微分
・73・
解 利用导数的四则运算法则和复合函数求导规则来计算导数. (1) y ′=(1+x ) +(1+x) ・2(1+x ) ・2x
22
=(1+x ) (1+4x +5x )
(2) y ′=(2x -1) +2(x -1) =4x -3
2534
(3) y ′=3(3x +5) ・3(5x +4) +(3x +5) ・5(5x +4) ・5
=(3x +5) 2(5x +4) 4(120x +161) (4) y ′=6x 1+5x +(2+3x ) (5) y ′=
2
2
2
2
2
1+5x
2
=
1+5x 2
3
2
((x +3) ・2(x +4) -(x +4) ) 2
(x +3)
=2
(x +3)
22-2(6) y ′=(x -a ) 2x =2x 2-a 2
221-x +(7) y ′==223/22
1-x (1-x ) 1-x (8) y ′=2
1+x ln a (9) y ′=2(-2x) =222
a -x x -a 1+(10) y ′=+ln x =
2x 2x 2x ln x
(11) y ′=[ln (1+x ) -ln (1-x ) ]′-=1+x 2x 1-x 2x
(12) y ′=cos nx ・(nx ) ′=n cos nx
=
n -1
n -1
x (1-x )
(13) y ′=n sin x ・(sin x ) ′=n sin x cos x
n n n -1n
(14) y ′=cos x ・(x ) ′=nx cos x (15) y ′=(sin n x ) ′cos nx +sin n x ・(cos nx) ′
=n sin x cos x cos nx -n sin x sin nx
n -1
=n sin x ・cos (n +1) x
n -1
n
・74・(16) y ′=3cos (17) (18)
2
经济数学———微积分题解
(19) (20) (21)
2-sin =-cos sin 222222222y ′=sec -=sec -1=tan
22222222y ′=sec ==
22sin x tan 2sin cos
2222y ′=2x sin -x cos 2=2x sin -cos
x x x x x y ′==
ln x x x ln x
1+y ′==222222x -a x +x -a x -a
-(n +1)
(22) y ′=-n cos (23) 直接计算知
x ・(-sin x) =n sin x/cos
n +1
x
(sin x -x cos x ) ′=x sin x , (cos x +x sin x) ′=x cos x , 故有
y ′=2[x sin x (cos x +x sin x)
(cos x +x sin x )
-x cos x (sin x -x cos x) ]=
cos x +x sin x
(24) y =+=122
cos (x /a) sin (x /a)
-2
=4sin x
a
-3
y ′=-8sin x ・cos x a a a
3
=-cos x/sin x a a a
20. 求下列各函数的导数:(1) y =arcsin
2
sin cos
a a
2
(2) y =arccot 2x
第三章 导数与微分
・75・
(4) y =
1-x 2
1-x 2+arcsin x
(3) y =arctan
2
1-x
2
(5) y =arcsin
2
(7) y =arcsin x +arccos x
1-(2) y ′=
2
=2
(6) y =x
解 使用反三角函数的求导公式. (1) y ′=
2
4-x
2
=2x 21+x 2
1+
x
2
(3) y ′==2222
(1-x ) 1+x
1+2
1-x
21-x -arccos x (4) y ′=222
1-x 1-x 1-x =2+
x -1(1-x 2) 1-x 2(5) y ′=2arcsin
2
1-2
2
2+
2
=24-x 2
=2
1-x
2
(6) y ′=(7) y ′=
1-x -2
2
1-x
2
1-x 1-x
21. 求下列隐函数的导数(其中a, b 为常数) :
2
2
2
-
1-x 2
=0 (事实上y =
) 2
(1) x +y -x y =1 (2) y -2axy +b =0(3) y =x +ln y
(4) y =1+x e
y
解 方程两边同时对x 求导, 然后解出y ′. (1) 求导得: 2x +2yy ′-y -xy ′=0
・76・
经济数学———微积分题解
解出 y ′=(y -2x )/(2y -x ) (2) 求导得: 2yy ′-2ay -2ax y ′=0解出 y ′=ay /(y -ax ) (3) 求导得: y ′=1+y ′/y 解出 y ′=y /(y -1) (4) 求导得: y ′=e y +x e y
y ′解出 y ′=e y /(1-x e y
)
22. 求下列各函数的导数(其中a 为常数) :
(1) y =e 4x (2) y =a x ・e x
(3) y =e
-x 2
(4) y =e
e -x
(5) y =x a
+a x
+a a
(6) y =e
-
x
(7) y =e
-x
cos3x (8) y =sine
x 2
+x -2
-x
(9) y =e t an 1
x
(10) y =x
e x
+e -x
(11) y =e x ln x (12) y =x 2e -2x
sin3x
解 (1) y ′=e 4x ・(4x) ′=4e
4x
(2) y ′=[(a e ) x ]′=(a e ) x
ln (a e )
(3) y ′=e
-x
2
・(-2x) =-2x e
-x
2
(4) y ′=e e
-x
・(e -x
) ′=-e -x e
e
-x
(5) y ′=ax a -1+a x
ln a
(6) y ′=e -x -′x =-x
2e x
(7) y ′=e -x (-sin3x ) ・3-e -x cos3x
=-e -x
(3sin3x +cos3x) (8)
y ′=cose x 2
+x -2
・(e
x 2
+x -2
) ′=(2x +cose
x 2
+x -2
(9) y ′=e
t an
x
sec
2
x x 2
) e
x 2
+x -2
1
第三章 导数与微分
2x
・77・
(10) y =2x =1-2x
e +1e +1
2x
2x y ′=2x (e +1) ′==22x 2x -x 2
(e +1) (e +1) (e +e )
(11) y ′=e x ln x ・(x ln x ) ′=e x ln x (1+ln x)
-2x 2-2x 2-2x
(12) y ′=2x e sin3x -2x e sin3x +3x e cos3x
-2x
=x e (2sin3x -2x sin3x +3x cos3点x ) 要3－3对数求导法
, 故有对数求导公式:y
y ′=y(ln y) ′
对连乘函数y =a(x) b(x ) c(x ) 或幂指函数y =u (x ) v (x ) 可采用此公式求y ′. 由于(ln y) ′=
23. 利用取对数求导法求下列函数的导数:
(1) y =x ・(3) y =(x +
(2) y =2
1+x 1-x (3+x) 1+x )
a
2
n
a
a
n
2
3
(4) y =(x -a 1) 1(x -a 2) 2…(x -a n ) 解 (1) y ′=y(ln y) ′
[ln (1-x ) -ln (1+x ) ]′2=y --x 2(1-x) 2(1+x)
-=y x -=x 2
1+x x 1-x 21-x
(2) y ′=y 2ln x -ln (1-x ) +[ln (3-x) -2ln (3+x ) ]′
3
=y ++-x 1-x 3x -3x +3
(为使形式简单, y 没有代入, 下同)
=y ln x +
・78・
(3) y ′=y[n ln (x +
=ny
2
经济数学———微积分题解
2
1+x ) ]′
1+
=
22
1+x x +1+x 1+x
(4) y ′=y[a 1ln (x -a 1) +…+a n ln (x -a n ) ]′
a 1a n
+…+
x -a 1x -a n
24. 求下列各函数的导数:
=y
(1) y =cosln (1+2x) , 求y ′.
x
(2) y =(ln x ) , 求y ′. (3) y =x (4)
x +
x
2
+e
x
x
2
+x +e , 求y ′. , 求y ′x .
e
x
e
x
y -a =0确定y 是x 的函数, 求y ′.
f (x )
(5) y =f (e ) e
) , 求y ′x . x x e
(7) y =f (e +x ) , 求y ′x . (6) y =f (arcsin
2
(8) y =f (sin x) +f (cos x) , 求y ′x .
(9) 已知f =, 求f ′(x) .
x 1+x
解 (1) y ′=-sinln (1+2x) ・[ln (1+2x ) ]′sinln (1+2x ) 1+2x
(2) y ′=y(ln y) ′=y(x lnln x) ′
=-=y lnln x +x ln x x
(3) y ′=x (x ln x) ′+2x e
x
2
2
=y lnln x +
e
x
ln x
x e
x
x
2
2x
2
+x (e ln x ) ′+e e
x
2
x
x
x x e
=x (2x ln x +x ) +2x e +x e ln x +e +e e
x
其中幂指函数的导数计算直接使用了对数求导公式y ′=
e
x
x
y(1n y) ′.
(4) 依隐函数求导法, 方程两边同时对x 求导, 得
第三章 导数与微分
・79・
2x
+
2y
y ′=0
解得y ′=-
. x x x f (x ) x f (x )
(5) y ′=f ′(e ) e e +f (e ) e f ′(x) 2
2x x 1-(1/x )
x e x e -1
(7) y ′=f ′(e +x ) ・(e +e x ) (6) y ′=f ′arcsin
(8) y ′=f ′(sin x) ・2sin x cos x +f ′(cos x ) (-2cos x sin x)
22
=[f ′(sin x ) -f ′(cos x ) ]sin2x
2
2
, 故f (x) =.
1+1/x 1+x
于是f ′(x) =2
(1+x)
2
f (x ) 25. 已知ψ(x ) =a 且f ′(x ) =, 证明ψ′(x ) =
f (x) ln a
2ψ(x) .
(9) 因为f
=
证 依照指数函数和复合函数的求导法则及条件, 得
ψ′(x ) =a
26. 证明:
(1) 可导的偶函数的导数是奇函数;
(2) 可导的奇函数的导数是偶函数;
(3) 可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数. 证 (1) 设f (x ) 是偶函数, 则有f (-x ) =f (x ) , 两边求导得
-f ′(-x ) =f ′(x) , 即 f ′(-x) =-f ′(x)
这说明f ′(x) 是奇函数.
(2) 设f (x ) 是奇函数, 则有f (-x ) =-f (x ) , 两边求导得
-f ′(-x ) =-f ′(x ) , 即 f ′(-x ) =f ′(x)
这说明f ′(x) 是偶函数.
f (x )
2
x
・ln a ・2f (x) f ′(x) =2ψ(x )
・80・
经济数学———微积分题解
(3) 设f (x ) 是以T 为周期的函数, 则有f (x +T ) =f (x ) , 两边求导得
f ′(x +T ) =f ′(x )
这说明f ′(x) 也是以T 为周期的函数.
27. 设f (x ) 是可导偶函数且f ′(0) 存在, 求证f ′(0) =0. 证 从上题已知, 当f (x ) 是偶函数时, 其导数f ′(x ) 是奇函数, 即
f ′(-x) =-f ′(x )
令x =0即得 f ′(0) =-f ′(0) , 故 f ′(0) =0
注:一般地, 在原点x =0处有定义的奇函数都满足f (0) =0, 证法同上.
2
28. 设f (x ) 在(-∞, +∞) 内可导, 且F(x ) =f (x -1) +2
f (1-x ) , 证明F ′(1) =F ′(-1) .
证 于方程F(x ) =f (x 2-1) +f (1-x 2) 两边对x 求导得显然
F ′(x ) =2x f ′(x -1) -2x f ′(1-x )
F ′(1) =F ′(-1) =0
2
2
2
2
2=1在点M (x 1, y 1) 的切线方程. b 2=1两边对x 求导得b 2
=02+2
a b
求出函数在点M (x 1, y 1) 的切线斜率
2
x 1k =y ′=-a y 1故所求切线方程为
y -y 1=k(x -x 1) =-2
29. 求椭圆2+
a 2解 于方程2+
a
a
2
2
x 1
(x -x 1) y 1
整理得
1111
+2=2+2=12
a b a b
第三章 导数与微分
・81・
x 1x y 1y
故所求切线方程为 2+2=1
a b
30. 两船同时从一码头出发, 甲船以30公里/小时的速度向北行驶, 乙船以40公里/小时的速度向东行驶, 求两船间的距离增加的速度.
解 如图3－1所示, 出发t 小时后甲与乙的位置分别在(0, 30t ) 与(40t , 0) 上, 两船间距离则为
y =(40t ) +(30t ) =50t
于是所求速度为y ′=50公里/
小时.
2
2
图3
－1图3－2
船在甲船之北16公里处以8公里/小时的速度向南行驶, 求下午1点整两船距离的变化速度.
解 如图3－2所示, 设中午12点时甲在(0, 0) 处, 乙在(0, 16) 处, 经过t 小时后, 两船相距为
(16-8t ) +(6t ) =100t -256t +256
于是y ′(t ) =2
100t -256t +256
故下午1点整两船距离的变化速度为y ′(1) =-2. 8公里/小时. 32. 一长方形两边长分别以x 与y 表示, 若x 边以0. 01米/秒的速度减小, y 边以0. 02米/秒的速度增加, 求在x =20米, y =15米时长方形面积的变化速度及对角线的变化速度.
解 设长方形面积为S , 对角线长为L . 注意到变化速度是指y =
2
2
2
31. 在中午12点整, 甲船以6公里/小时的速度向东行驶, 乙
・82・
关于时间的导数, 则有
经济数学———微积分题解
S =xy , S ′′t =x y t +yx ′t
x +y
代入题给条件 x =20, y =15, x ′t =-0. 01, y ′t =0. 02, 得
S ′t =20×0. 02-15×0. 01=0. 25
20+15
2
故所求长方形面积变化率为0. 25米/秒, 对角线长度变化率为0. 004米/秒.
33. 求下列各函数的n 阶导数(其中a , m 为常数) :
x
(1) y =a (2) y =ln (1+x) (3) y =cos x
(4) y =(1+x )
m
L =x +y , L ′t =
22
x x ′t +yy ′t
2
2
L ′t =
2
2
=0. 004
解 通过计算一, 二阶等导数来寻找n 阶导数的规律.
x x 2
(1) y ′=a ln a , y ″=a (ln a) , …一般地有 y
(n) -1
=a (ln a)
x n
-2
(2) y ′=(1+x ) , y ″=-(1+x )
(4) -4
y =-3! (1+x ) , …一般地有 y
(n)
, y =2(1+x)
-n
-3
=(-1)
n -1
(n -1) ! (1+x)
=sin x +n , 故
2
(n) (n -1) y =-(sin x) =-sin x +(n -1)
2
=sin -x -(n -1) =cos +x +(n -1)
222
=cos x +n 2m -1m -2
(4) y ′=m (1+x ) , y ″=m(m -1) (1+x) , …(3) y ′=-sin x , 由于(sin x)
(n )
第三章 导数与微分
・83・
m
(1+x) n !
-n
, m >n m =n m
m !, 0,
34. 求下列各函数的二阶导数:
22
一般地有 y
(n)
=
(1) y =ln (1+x ) (2) y =x ln x (3) y =(1+x ) arctan x (5) x +y =a
2
2
2
2
(4) y =x e
x
2
解 (1) y ′=, y ″=222
1+x (1+x )
(2) y ′=ln x +1, y ″=
x (3) y ′=2x arctan x +1, y ″=2arctan x +(4) y ′=e
x
2
2
1+x
+2x e
2x
2
=e (1+2x )
x
2
x
2
2
y ″=2x (1+2x ) e
2
+4x e
x
2
=e (6x +4x 3)
, 再求y
x
2
(5) 方程两边对x 求导, 2x +xyy ′=0, 解得y ′=-导, 得
y ″=-2(y -xy ′) =-2(y +) =-3
y y y y
35. 一质点按规律s =a e
解 速度为s ′=-ka e
″
2
-k t
-k t
2
2
作直线运动, 求它的速度和加速
度, 以及初始速度和初始加速度.
, 初始速度为s ′(0) =-ka; , 初始加速度为s ″(0) =k a .
2
加速度为s =k a e 36. 一质点按规律s =速度a 等于s .
解 s ′=
-k t
t -t
(e -e ) 作直线运动, 试证它的加2
t (e +e -t ) , a =s ″=(e t -e -t ) =s 22
・84・
2经济数学———微积分题解37. 已知xy -sin (πy ) =0, 求y x =0及y y =1x =0y =-1.
解 方程两边对x 求导, 得
y +x y ′-cos (πy ) ・2πyy ′=0 (＊)
22πy cos (πy ) -x
于是x =0, y =1时有 y ′=-2π
在式(＊) 两边对x 再求导得解得y ′=
2y ′+xy ″-2πcos (πy ) [(y ′) +yy ″) ]+(2πyy ′) sin (πy ) =0代入x =0, y =-1, 并注意到此时仍有y ′=-
2-
故此时y ″=-2. 4π
(n -2) 22222, 从而2π-2πcos π2-y ″=02π4π(n ) , 求y 的n 阶导数y . ln x
″′(n) (n -2) 解 y =(y ) ″===23ln x ln x x ln x
239. 设y =f (x +b) , 求y ″x . 38. 设y 的n -2阶导数y =
解 y ′=f ′(x +b) ・2x
y ″=f ″(x +b) ・4x +2f ′(x +b)
=2[f ′(x 2+b) +2x 2f ″(x 2+b) ]
40. 验证:y =e sin x 满足关系式y ″-2y ′+2y =0.
证 y ′=e x cos x +e x sin x =e x (cos x +sin x )
x x x x 2222y ″=e (cos x +sin x ) +e (cos x -sin x) =2e cos x
代入即知 y ″-2y ′+2y =0要点3－4
第三章 导数与微分・85・微分与改变量
改变量 Δy(x) =f (x +Δx ) -f (x )
微分 d y(x) =f ′(x) Δx
相互关系 Δy(x) =d y(x) +o(Δx)
41. 分别求出函数f (x ) =x 2-3x +5当x =1, (1) Δx =1,
(2) Δx =0. 1, (3) Δx =0. 01时的改变量及微分, 并加以比较, 是否能得出结论:当Δx 愈小时, 二者愈近似.
解 Δf (1) =(1+Δx ) -3(1+Δx ) +5-3=-Δx +(Δx)
d f (1) =(2・1-3) Δx =-Δx
(1) Δx =1时, Δf (1) =-1+1=0, d f (1) =-1
(2) Δx =0. 1时, Δf (1) =-0. 1+0. 01=-0. 09
d f (1) =-0. 1
(3) Δx =0. 01时, Δf (1) =-0. 01+0. 0001=-0. 0099
d f (1) =-0. 01
Δf (1) 与d f (1) 的误差是(Δx ) , 可见它是随着Δx 变小而变小的. 即Δx 愈小, Δf (1) 与d f (1) 愈接近. 要点3－52222计算微分的两种方法
方法1:先求导数f ′(x ) , 然后乘以d x 得d y =f ′(x) d x . 方法2:应用微分公式与规则, 直接计算d y =d f (x ) .
42. 求下列各函数的微分:
(1) y =3x (2) y =
(3) y =ln x
(5) y =e -x 221-x 1-x 22(4) y =cos x (6) y =arcsin x
22(8) 2+2=1a b (7) xy =a 2
・86・
(9) y =ln 1-x
(11) y =tan 3经济数学———微积分题解x -x 2(10) y =(e +e ) y (12) y =1+x e 2
解 (1) d y =(3x 2) ′d x =6x d x
(2) d y =(1-x ) ′d x =-
d x x
221-x 2d x (3) d y =(2ln x ) ′d x =22(4) d y =d x =2222d x (1-x ) (1-x )
-x -x (5) d y =-(e cos x +e sin x ) d x
(6) d y =x -x
2(7) x d y +y d x =0, d y =-d x =-2d x x x
2(8) 2d x +2d y =0, d y =-2d x a b a y
2
(9) d y =d x 21-x 3
x -x x -x 2x -(10) d y =2(e +e ) (e -e ) d x =2(e -e
(11) d y =2sec d x 22
y y y d x =1-x 22d x 2x ) d x (12) d y =x e d y +e d x , d y =d x 2-y
43. 正立方体的棱长x =10米, 如果棱长增加0. 1米, 求此正立方体体积增加的精确值与近似值.
解 设体积为V , 则V =x , 于是
ΔV =(x +Δx)
2
333-x =10. 1-10=30. 30123333d V =3x Δx =3×10×0. 1=30故精确值为30. 301米, 近似值为30米.
44. 一平面圆环形, 其内半径为10厘米, 宽为0. 1厘米, 求其
第三章 导数与微分・87・面积的精确值与近似值.
解 半径为R 的圆面积为S =πR . 于是
2222ΔS =π(R +ΔR) -πR =π(10. 1-10) =6. 3146
d S =2πR ΔR =2π×10×0. 1=6. 2832
故圆环面积的精确值为6. 3146厘米要, 近似值为6点. 2832厘米3. －6利用微分作近似计算
由于Δy(x) ≈d y(x ) , 故当|Δx |较小时有
y(x +Δx) ≈y(x) +y ′(x) Δx
特别地, 当x =0, Δx =x 时, 有
y(x ) ≈y(0) +y ′(0) x (|x |较小)
45. 证明当|x |很小时, 下列各近似公式成立:
n x (1) e ≈1+x (2) 1+x ≈1+n
(3) sin x ≈x (4) ln (1+x ) ≈x
证 基本公式为 y(x ) ≈y(0) +y ′(0) x (|x |较小)
(1) 令f (x ) =e , 则f (0) =1, f ′(0) =1, 故e ≈1+x .
n n (2) 令f (x ) =1+x , 则f (0) =1, f ′(0) =, 故1+x ≈1n
+. n
(3) 令f (x ) =sin x , 则f (0) =0, f ′(0) =1, 故sin x ≈x .
(4) 令f (x ) =ln (1+x ) , 则f (0) =0, f ′(0) =1, 故ln (1+x) x x 222≈x .
46. 求下列各式的近似值:
(1) 50. 95 (2) 38. 02 (3) ln1. 01
(4) e (5) cos60°20′(6) arctan1. 02
解 依据要点3－6, 得
55(1) 0. 95=1-0. 05≈1-×0. 05=0. 990050. 05
・88・
(2) 3经济数学———微积分题解38. 02=21+0. 02/8≈21+=2. 00173×8
(3) ln1. 01=ln (1+0. 01) ≈0. 01
(4) e 0. 05≈1+0. 05=1. 05
+≈cos +35403-sin 3540(5) cos60°20′=cos π=-=0. 495022540
πΔx (6) 因为 arctan (1+Δx) ≈+, 故42
πarctan1. 02≈+×0. 02=0. 795442
(B )
1. 设f (x) 可导且下列各极限均存在, 则( ) 成立.
=f ′(0) x
(b ) lim =f ′(a ) h →0h
f (x 0) -f (x 0-Δx) (c ) Δlim =f ′(x 0) x →0Δx
f (x 0+Δx) -f (x 0-Δx) (d ) Δlim =f ′(x 0) x →02Δx
解 选(a ) , (c ) , (d ) . 因为当所写导数存在时, 这些极限可以(a ) lim x →0适当变形使之与导数定义的形式一致. 例如
=2f ′(a) 2h
f (x 0-Δx) -f (x 0) (c ) :左边=Δlim =f ′(x 0) x →0-Δx
f (x 0+Δx ) -f (x 0) +f (x 0) -f (x 0-Δx ) (d ) :左边=Δlim x →02Δx
f (x 0+Δx ) -f (x 0) =Δlim 2x →0Δx (b ) :左边=2lim h →0
第三章 导数与微分・89・
f (x 0-Δx ) -f (x 0) +Δlim 2x →0-Δx
=f ′(x 0) +f ′(x 0) =f ′(x 0) 22
2. 若lim =A , A 为常数, 则有( ) . x →a x -a
(a ) f (x ) 在点x =a 处连续
(b ) f (x ) 在点x =a 处可导
(c ) lim f (x ) 存在x →a
(d ) f (x ) -f (a) =A (x -a) +o(x -a)
解 选(a ) , (b ) , (c ) , (d ) . 条件表示的结论是f ′(a) 存在, 因此(b ) 成立; 从而f (x ) 在a 连续, 即(a ) 成立; 进而由连续的定义知(c ) 成立; 最后, 因为函数的可导等价于可微, 结合微分的定义便知(d ) 也成立.
3. 设函数f (x) 在点x 0及其邻域有定义, 且有
f (x 0+Δx ) -f (x 0) =a Δx +b(Δx)
a , b 为常数. 则有( ) .
(a ) f (x ) 在点x =x 0处连续
(b ) f (x ) 在点x =x 0处可导且f ′(x 0) =a
(c ) f (x ) 在点x =x 0处可微且d f (x 0) =a d x
(d ) f (x 0+Δx ) ≈f (x 0) +a Δx (当Δx 充分小时)
解 选(a ) , (b ) , (c ) , (d ) . 条件与选项(c ) 等价, 因此(c ) 成立; 可微与可导等价, 因此(b ) 成立; 可微推出连续, 故(a ) 正确; 最后, 因为b(Δx ) 是较Δx 高阶的无穷小, 略去之后便得到(d ) .
4. 函数f (x) =是( ) . x
(a ) 奇函数 (b ) 非奇非偶函数
(c ) 有界函数(d ) 在有定义的区间内处处可导函数22解 选(a ) , (c ) , (d ) . 该函数仅在x =0处无定义, 在其他地方的导数都为0.
・90・
x ,
x 经济数学———微积分题解5. 函数f (x) =x
(a ) 连续 (b ) 可导 (c ) 可微 (d ) 连续、不可导在x =0处( ) . 解 选(a ) , (b ) , (c ) . 由于(b ) 与(c ) 等价, (a ) 可从(b ) 中推得, 故只用证(b ) . 从左右导数来证明:
x f ′(0) =lim =lim e =1+x →0x →0x
f ′-(0) =lim =1x →0x
故f ′(0) =1存在.
1, x
6. f (x) =1-x 2, 0≤x
x -1, 1≤x
(a ) 在点x =0处可导 (b ) 在点x =0处不可导(c ) 在点x =1处可导(d ) 在点x =1处不可导解 选(a ) , (d ) . 依左右导数计算便得.
7. y =|x -1|在x =1处( ) .
(a ) 连续 (b ) 不连续
(c ) 可导(d
) 不可导
解 选(a ) , (d ) . 从图形3－3上可看出, 该
曲线在x =1处连续, 有一不可导的尖点.
8. 下列函数中( ) 的导数等于(a ) sin x . 2图3－32sin x (b ) cos2x 24
2(c ) -cos x (d ) 1-cos2x 24
解 选(a ) , (c ) , (d ) . 直接计算便得.
(a ) :2′sin x =sin x cos x =sin2x 22
第三章 导数与微分・91・
′(b ) :cos2x =-sin2x 42
′2(c ) :-cos x =sin x cos x =sin2x 22
′(d ) :1-cos2x =sin2x 42
9. 设对于任意的x , 都有f (-x) =-f (x) , f ′(-x 0) =-k ≠0, 则f ′(x 0) =( ) .
(d ) -k k
解 选(b ) . 因为奇函数的导数是偶函数, 故有f ′(x 0) =(a ) k (b ) -k (c ) f ′(-x 0) =-k .
10. 已知y =sin x , 则y (10) =( ) .
(a ) sin x (b ) cos x (c ) -sin x (d ) -cos x
解 选(c ) . 因为 y (10) =sin x +10=-sin x 2
(10) 11. 已知y =x ln x , 则y =( ) .
-99 (b ) 9 (c ) 9 (d ) x x x x
解 选(c ) . 因为y ′=ln x +1, y ″=, …, x
(8) (10) 8y ==(-1) ・9x x (a ) -
12. 已知y =e
(a ) e f (x )
f (x) f (x ) , 则y ″=( ) . (b ) e f (x ) f (x ) f ″(x) 2(c ) e [f ′(x ) +f ″(x ) ](d ) e {[f ′(x) ]+f ″(x) }
解 选(d ) . 直接计算知, y ′=e f (x ) f ′(x ) , y ″=e f (x ) f ″(x) +e f (x) [f ′(x ) ]2
313. 曲线y =x -3x 上切线平行x 轴的点有( ) .
(a ) (0, 0)
(c ) (-1, 2) (b ) (1, 2) (d ) (1, -2)
・92・
2经济数学———微积分题解解 选(c ) , (d ) . 求导得y ′=3x -3, 令y ′=0, 解出x =-1,
1, 对应地y =2, -2.
14. 若f (u ) 可导, 且y =f (e ) , 则有( ) .
(a ) d y =f ′(e ) d x
(c ) d y =[f (e ) ]′de x x x x (b ) d y =f ′(e ) de x x
x x x x (d ) d y =f ′(e ) e d x 解 选(b ) , (d ) . 因为d y =y ′d x =f ′(e ) e d x .
自测试题
1. (1987) 设y =ln 1+x +122, 求y ′.
, 1+处的切线方222. (1989) 求曲线y =x +sin 2x 在点程.
3. (1990) 设F(x) 有连续的导数, f (0) =0且f ′(0) =b, 若函数
F(x) =
在x =0处连续, 求A .
4. (1990) [单选题]设f (x) 满足f (1+x) =af (x ) , 且f ′(0) =b . 则( ) .
(a ) f (x ) 在x =1处不可导
(b ) f (x ) 在x =1处可导, 且f ′(1) =a
(c ) f (x ) 在x =1处可导, 且f ′(1) =b
(d ) f (x ) 在x =1处可导, 且f ′(1) =ab
5. (1991) 设曲线f (x ) =x +ax 与g (x ) =bx +c 都通过点(-1, 0) , 且在点(-1, 0) 有公共切线, 求a, b, c .
6. (1993) 设y =f , f ′(x) =arctan x 2, 求y ′|x =0. 3x +232, x A , x ≠0x =0
第三章 导数与微分・93・
f ′(a ) =-1, 求l =lim x →07. (1994) 已知
. f (a -2x ) -f (a -x )
x y 28. (1994) 设方程e +y =cos x 确定了y 为x 的函数, 求y ′.
(n ) 9. (1995) 设f (x) =, 求f (x) . 1+x
y 10. (1996) 设方程x =y 确定了y 是x 的函数, 求d y .
211. (1996) 设(x 0, y 0) 是抛物线y =ax +bx +c 上的一点,
若在该点的切线过原点, 求系数应满足的关系.
12. (1997) [单选题]设f (x ) 为(-∞, +∞) 上的偶函数, 在(-∞, 0) 内f ′(x) >0, 且f ″(x )
″″(a ) f ′(x) >0, f (x ) 0, f (x ) >0
″″(c ) f ′(x ) 0
f (x ) 13. (1997) 设y =f (ln x ) e , 求d y .
n 14. (1998) 设曲线f (x) =x 在点(1, 1) 处的切线与x 轴的
交点为(ξn , 0) , 求l =lim f (ξn ) . n →∞
15. (1998) 设周期函数f (x ) 在(-∞, +∞) 内可导, 周期为
4, 又lim =-1, 求曲线y =f (x) 在点(5, f (5) ) 处x →02x
的切线斜率k .
16. (2000) [单选题]设f (x ) 在x =a 处可导, 则|f (x ) |在x =a 处不可导的充分条件是( ) .
(a ) f (a) =0且f ′(a) =0
(c ) f (a) >0且f ′(a) >0
17. (2003) 设f (x ) =x λcos 0, , x (b ) f (a) =0且f ′(a) ≠0(d ) f (a)
连续, 则λ的取值范围为.
18. (2003) 已知曲线y =x 3-3a 2x +b 与x 轴相切, 则b 2可通过a 表示为b =2.
・94・经济数学———微积分题解 19. (2003) [单选题]设f (x) 为不恒为零的奇函数, 且f ′(0) 存在, 则函数g(x ) =x 在x =0处( ) .
(a ) 左极限不存在(b ) 有跳跃间断点
(c ) 右极限不存在(d ) 有可去间断点
自测试题解答
1. y ′=[ln (1+x 2-1) -ln (1+x 2+1) ]′
=(1+x 2-1) 1+x 2-(1+x 2+1) 1+x 2
=1+x 2(1+x 2) 2-1=x 1+x 2
2. y ′=1+sin2x , 斜率k =y ′|x =π
2=1
切线方程 y -1+2=x -2, 即 y =x +1.
3. A =lim x →0F(x) =lim x →0x +a x
=lim x →0x -0+a =f ′(0) +a =a +b
4. 选择(d ) , 依据导数定义得
f ′(1) =lim x →0x =lim x →0x
=a lim x →0x -0=ab
5. 由于曲线都通过点(-1, 0) 故有
0=f (-1) =-1-a
0=g(-1) =b +c
又它们在(-1, 0) 处有公共切线, 意味着导数在该点相同, 故
(3x 2+a) |x =-1=2bx |x =-1
即3+a =-2b ①②
第三章 导数与微分・95・联立①、②, 解得 a =-1, b =-1, c =1
6. y ′=f ′23x +2(3x +2)
y ′|x =0=f ′(-1) =3arctan1=44
. 由于 lim (配成导数极限) x →0x
=-2lim x →0-2x
-x 7 +lim x →0 =-2f ′(a) +f ′(a) =-f ′(a) =1
故l =1
8. e (y +x y ′) +2yy ′=-sin x
解得 y ′=-(y e
9. 因为f (x) =
″x y xy +sin x )/y(2+e ) -1x y -1=2(1+x) 1+x -2 f ′(x) =2・(-1) (1+x)
f (n ) n -1, 故-3f (x) =2・(-1) ・(-2) (1+x) (x ) =2(-1) n ! (1+x) -(n +1)
10. 两边取对数得ln x =y ln y , 等式两边再求微分得d x =(ln y +1) d y x
解出d x x (1+ln y)
11.y ′=2ax +b , y ′(x 0) =2ax 0+b d y =
切线方程 y -y 0=(2ax 0+b) (x -x 0)
要使切线过原点, 得使x =0, y =0满足切线方程. 故
y 0=2ax 0+bx 0, 且y 0=ax 0+bx 0+c(点(x 0, y 0) 在抛物线上) 解得c =ax 0, 故得关系为c =ax 0, 而b 任意.
12. 选(c ) . 偶函数图形关于y 轴对称. 所给条件说明曲线y 2222
・96・经济数学———微积分题解=f (x) 在(-∞, 0) 上单调增加, 上凸. 于是在(0,
+∞) 上曲线是单调减, 上凸, 如图3－4所示, 从而
应有
f ′(x) 0 (x >0)
13. d y =y ′d x
x
n 14. 由y ′=nx =f ′(ln x) f (x) +f (ln x ) e -1f (x) f ′(x) d x 图3－4, y ′(1) =n 得出在点(1, 1) 处切线方程为
y -1=n(x -1)
n 令y =0得x =1-, 故ξn =1-, f (ξn ) =1-, 因此n n n
n l =n lim 1-=→∞n e
15. 由于f ′(x ) 也是以4为周期的函数, 故f ′(5) =f ′(1) , 即k =f ′(1) . 又由于所给极限
=lim 2x 2x →0-x
=f ′(1) =-12
f ′(1) =-2, 即 k =-2
16. 法1 选(b ) . 记ψ(x) =|f (x ) |, 依定义分析ψ(x ) 在x lim x →0
x -a 故=a 处可导所需条件:ψ′(a) =lim x →a
(1) 若f (a) >0, 则由连续性知, 当x 足够接近a 时, f (x ) >0, 因为函数在点a 的极限只取决于一点a 附近(可以是很小的范围) 的性质, 故此时ψ(x ) 可导:
=f ′(a) x -a
(2) 若f (a)
第三章 导数与微分・97・
=-f ′(a) x -a ψ′(a) =lim x →a
(3) 当f (a) =0时, 若f ′(a ) =0, 则
ψ′(a) =lim =lim x →a x →a x -a x -a
=lim x →a =λ|f ′(a) |=0x -a
说明ψ′(x ) 在x =a 处可导, 其中λ=±1.
综合以上讨论及排除法知, 只有(b )
正确.
法2 作为一个选择题, 不可能
像上面这样严格分析. 实际上可以根
据图形来判断. 如图3－5所示, 不可
导点发生在“尖点”A 处, A 的特征是
f (a) =0, f ′(a) ≠0. 故选(b ) .
17. 填λ>2. 由条件, f (x ) 处处
可导, 故有
f ′(x) =λx λ-1图3－5cos λ-2+x sin , x x x ≠0
0, x =0
λ-1其中f ′(0) =lim =lim x cos 的存在要求λ-1>x →0x →0x -0x
0(否则极限不存在) . 故f ′(0) =0, 且λ>1.
又由条件知, f ′(x ) 在x =0处连续, 因而应当有
f ′(0) =lim f ′(x ) x →0
λ-2即 0=lim λx cos +lim x sin x →0x x →0x
λ-2=lim x sin (因为λ>1) x →0x
而这只有在λ-2>0, 即λ>2时才能成立.
618. 填4a . 设切点为(x 0, 0) , 则意味着
y(x 0) =0 及 y ′(x 0) =0λ-1
・98・
即32经济数学———微积分题解x 0-3a x 0+b =0 及 3x 0-3a =0
2232622联立求得 a =x 0, b =±2a , 故b =4a
19. 在原点有定义的奇函数都满足f (0) =0. 于是
lim g(x) =lim =f ′(0) x →0x →0x -0
这说明g(x) 在x =0处的极限存在, 结合g (x ) 在x =0处无定义便知, g(x ) 在x =0处有可去间断点. 要点3－7间断点分类
当g(x 0) =x lim g(x) 时, 称g(x) 在x 0连续. 而以下情形, →x 0
称g(x) 在x 0间断, 并分为三类:
(1) x lim g(x 0) =A 存在, 但A ≠g (x 0) 或g (x 0) 无意义; →x 0
此时称x 0为可去间断点.
(2) g(x 0+0) 及g (x 0-0) 都存在, 但不相等; 此时称x 0为跳跃间断点.
(3) g(x 0+0) 或g(x 0-0) 有一个不存在; 此时称x 0为第二类间断点.
可去间断点与跳跃间断点也称为第一类间断点.