高考要求
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程知识点归纳 1数轴上两点间距离公式：=x B -x A 2直角坐标平面内的两点间距离公式：P 1P 2=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2
3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角
当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°
可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k =tanα（α≠90°）
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）5直线的方向向量：设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量F 1F 2=（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量向量y -y 11）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率F 1F 2=（1，2
x 2-x 1x 2-x 1x 轴的直线的一个方向向量为a ＝(0,1) 6求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tanα②公式法：已知直线过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），且x 1≠x 2，则斜率k 21③方向向量法：若a =（m ，n ）为直线的方向向量，则直线的斜率k =n m
对于直线上任意两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），当x 1=x 2时，直线斜率k 不存在，倾斜角α=90°；当x 1≠x 2时，直线斜率存在，是一实数，并且k ≥0时，α=arctank ；k ＜0时，α=π+arctan7直线方程的五种形式 点斜式：y -y 0=k (x -x 0) ， 斜截式：y =kx +b
两点式：y -y 1x -x 1x y ， 截距式：+=1 =a b y 2-y 1x 2-x 1
一般式：Ax +By +C =0
例2 已知两直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1=0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1）、Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答解：∵P （2，3）在已知直线上，
∴ 2a 1+3b 1+1=0，2a 2+3b 2+1=0∴2（a 1－a 2）+3（b 1－b 2）=0，即b 1-b 2=a 1-a 2∴所求直线方程为y －b 1=－2（x －a 1）3
∴2x +3y －（2a 1+3b 1）=0，即2x +3y +1=0点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙例3 一条直线经过点P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x －4y +3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点）分析：（2）将面积看作截距a 、b 解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tan α＝tan θ＝tan2α＝1，48， 15从而方程为8x －15y +6=0（2）设直线方程为y x ＋＝1，a ＞0，b ＞0， a b
623＋＝1≥2，得ab ≥24， ab b a 代入P （3，2），得
1ab ≥12， 223b 此时＝，∴k ＝－b a a 从而S △AOB ＝
∴方程为2x +3y －12=0点评：此题（2）也可以转化成关于a 或b 的一元函数后再求其最小值例4 过点(2,1)作直线l 分别交x,y 轴正并轴于A ，B 两点(1)当ΔAOB面积最小时，求直线l 的方程;
(2)当|PA|⨯|PB|取最小值时，求直线l 的方程解：(1)设所求的直线l 方程为
由已知x y +=1(a >0,b>0), a b 21+=1a b ⎛21⎫+⎪1121
于是⨯≤ ⎪=, ∴S Δ AOB=ab ≥4,
2a b 2⎪4 ⎪⎝⎭2
211==, 即a =4,b=2时取等号, a b 2
x y 此时直线l 的方程为+=1, 即x+2y─4=042当且仅当
(2)解法一:设直线l :y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─1,0), B(0,1─2k ) k
则|PA|⨯|PB|=(4+4k )(1+21122=≥4, 当且仅当k =1,即k=±1时, 取最小) 8+4(k +) 22k k
值,
又k
∴|PA|⨯|PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ≥4,
∴当且仅当sin2θ=─1即θ=3π/4时，|PA|⨯|PB|取最小值4, 此时直线l 的斜率为─1,方程为x+y─3=0 点评：本题分别选用了截距式和点斜式，应根据条件灵活选用直线方程的形式例5 直线l 被两条直线l 1:4x+y+3=0和l 2:3x─5─5=0截得的线段中点为P (─1,2),求直线l 的方程
解：设点(a,b)在l 1上，依题意，(─2─a,4─b)在直线l 2上,
∴⎨⎧4a +b -3=0⎧a =-2 , 解之得：⎨ ⎩3(-2-a ) -5(4-b ) -5=0⎩b =5
由两点式得直线AB 的方程为:3x+y+1=0例6 已知两点A （－1，2）、B （m ，3）（1）求直线AB 的斜率k 与倾斜角α；
（2）求直线AB 的方程；
－1，－1］，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 3
π解：（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在，倾斜角α＝． 2
1当m ≠－1时，k ＝， m +1
1当m ＞－1时，α＝arctan ， m +1
1当m ＜－1时，α＝π＋arctan ． m +1
（2）当m =－1时，AB ：x =－1，
1当m ≠1时，AB ：y －2=（x +1）． m +1
π（3）①当m =－1时，α＝； 2
②当m ≠－1时， （3）已知实数m ∈［－
31∈（－∞，－3］∪［，＋∞）， 3m +1
2ππππ∴α∈［，）∪（，］3622
2ππ故综合①、②得，直线AB 的倾斜角α∈［，］36
例7 求满足下列条件的直线l 的方程
⑴在y 轴上的截距为-3，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6∵k ＝
⑵与直线2x -y +4=0的夹角为45，且焦点在x 轴上0
1x y +=1，由题意得⋅a ⋅-3=6，∴a =±4 2a -3
x y =1即3x -4y -12=0 当a =4时，直线l 的方程为+4-3
x y +=1即3x +4y +12=0 当a =-4时，直线l 的方程为-4-3解：⑴设直线的方程为
⑵直线2x -y +4=0交x 轴于点（-2,0），可设l 的方程为y =k (x +2) 公式有tan 45=012-k ，∴k =31+2k 或k =-
1∴l 的方程为y =(x +2) 或y =-3(x +2) ， 3
即x -3y +2=0或3x +y +6=0点评：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条
件确定方程中的待定系数小结：
1理解；直线方程有五种形式，其中点斜式要熟练掌握，这五种形式的方程表示的直线各有适用范围，解题时应注意不要丢解；含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些3但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解4据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键；克服各类方程局限性的手段是分类讨学生练习 π+y =0的倾斜角是 7
πA 71x tan
解析：k =－tan ππ6π6π=tan（π－）=tan且∈［0，π）7777
答案：D 21，1）和（3，9）的直线在x 轴上的截距是 A 32 B － D 23解析：求出过（－1，1）、（3，9）两点的直线方程，令y =0即得答案：A 3x cos α＋y ＋2＝0的倾斜角范围是 πππ5ππ5π，）∪（，］ B 0，］∪［，π） 622666
5ππ5πC ［0，］ D ，］ 666A 解析：设直线的倾斜角为θ，
则tan θ=－1
cos α又－1≤cos α≤1， π5π≤tan
θθ∈［0，］∪［，π）366
答案：B ∴－4y =1与直线y =3x +3的夹角为___________ 解法一：l 1：y =1与l 2：y =3x +3的斜率分别为k 1=0
，k 2 tan α=｜k 2-k 1｜=，所以两直线的夹角为60°1+k 1k 2
解法二：l 1与l 2表示的图象为y =1与x 轴平行，y =3x +3与x 轴倾斜角为60°，所以y =1与y =3x +3的夹角为60°答案：60°
5P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示；②经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（x 2－x 1）（x －x 1）=（y 2－y 1）（y －y 1）表示；③不经过原点的直线都可以用方程x y +=1表示；④经过定点A （0，a b
b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示其中真命题的个数是
A B D 解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐 答案：B
6．过点(10,─4)且倾角的正弦为5/13(5x─12y─98=0或5x+12y─2=0);注意两种情况
7．过点(1,2)且与圆x 2+y2=1(x=1或3x─4y+5=0);8．若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是
(1/2≤m ≤1); 从直线的斜率或截距去观察9．过点A(2,1),且在x,y (x+y=3或y=x/2)10．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l ( ─1/3解：由于将直线平移不影响其斜率的值, 故可设点O(0,0)在直线上，则依题意O 点经平移后的坐标为P(─3,1), 故直线l 过两点P,O, 求出斜率即可