高一数学抽象函数的周期与对称轴人教版

三. 具体内容

1. 若f (x ) =f (x +T ) 则f (x ) 的周期为T 。

2. 若f (x +a ) =f (b +x ) 则f (x ) 的周期为T =b -a

证：令x =x -a ∴ f (x ) =f (x +b -a )

3. f (x +a ) =-f (x +b ) 则f (x ) 的周期T =2b -a

证：令x =x -a ∴ f (x ) =-f (x +b -a ) ①

令x =x -b ∴ f (x +a -b ) =-f (x ) ②

由①②得：-f [x +(a -b )]=-f [x +(b -a )]

∴ f [x +(a -b )]=f [x +(b -a )] ∴ T =2b -a

a +b 2

a +b a +b 证：要证原结论成立，只需证f (+x ) =f (-x ) 22

b -a 令x =+x 代入f (a +x ) =f (b -x ) 2

a +b a +b 则f (+x ) =f (-x ) 22

a +b 5. 若f (a +x ) =-f (b -x ) 则f (x ) 的图象，以(, 0) 为对称中心。 24. 若f (a +x ) =f (b -x ) 则f (x ) 图象的对称轴为x =

证：方法一：要证原结论成立只需证f (

令x =x +a +b 2+x ) =-f (a +b 2-x ) b -a 代入f (a +x ) =-f (b -x ) 2

a +b a +b +x ) =-f (-x ) 则f (22

方法二：设y =f (x ) 它的图象为C

∀P (x 0, y 0) ∈C 则P 关于点(a +b , 0) 的对称点P '(a +b -x 0, -y 0) 2

f (a +b -x 0) =f [a +(b -x 0)]=-f [b -(b -x 0)]=-f (x 0) ∵ f (x 0) =y 0 ∴ f (a +b -x 0) =-y 0 ∴ P '∈C

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