数学史话
稀奇古怪的三角形
林
革
江苏
(扬州教育学院高邮校区
225600)
相信大家都同意, 无论怎样画出一个三角形, 这个三角形的3个内角和总等于180°. 这一点除了可以用量角器去验证外, 还可以用平面几何中的知识加以证明, 这是几何中的一个定理. 所以如果有人很肯定地说:事实上也能找到一种三角形, 它的内角和不等于180°, 你一定会对此不屑一顾甚至是嗤之以鼻, 这不是天方夜谭么?
且慢, 请大家耐心听我介绍一段数学史. 大家都知道, 定理是指经过逻辑推理证明是正确的数学结论. 而推理则需要强有力的依据, 因此定理证明的依据就是定理正确性的保证. 熟悉几何学的人都清楚, 现有的大部分几何定理都来源于欧几里得的《几何原本》, 而从这本经典著作中不难发现, 几何定理的推导依据均来自基本定义、公设、公理. 这些都是一些最基本的数学结论, 它们的正确性是一目了然无需证明的. 以此为基础, 可以逐步推导出许多的几何定理, 从而形成几何学的定理体系. 比如《几何原本》中的全部定理, 就都建立在5条公理以及5条公设的基础上.
对三角形的3个内角和等于180°追本溯源的话, 此定理的依据就是其中的第五公设. 如果有人质疑三角形的内角和等于180°, 也就等于质疑第五公设有问题. 事实上, 第五公设也就是今天的平行公理, 它的意思是:在平面内, 过已知直线外的一个点, 可以作而且只能作一条直线与已知直线相平行. 对此叙述, 几乎无人会有异议. 不过, 数学家们却不这么看, 甚至还有点苛刻和较真. 他们习惯于用怀疑的眼光去打量这些真理, 而且对其中的第五公设即平行公设, 更是疑虑重重, 因为由于其内容过于复杂, 它的真理性不像其他的公设那样明显, 所以缺乏绝对的说服力, 必须证明. 因此数学家们开始试图用其他的公理和公设把它证明出来. 欧几里得本人对这条公设也心存疑虑, 只到卷I 的命题才不得不利用它.
但事情并没有人们想像的那样顺利, 《几何原本》问世后的两千多年里, 许多著名的数学家都加入了证明第五公设的大军, 呕心沥血试图证明它但都徒劳无功. 其中有不少数学家兴高采烈地宣布自己已经证明了第五公设, 但是没过多久就有人指出证明中的错误, 结论不能成
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立. 以至于1759年法国数学家达朗贝尔(公元1717年～1783年) 把平行公设问题称为“几何原理中的家丑”.
19世纪初, 有个匈牙利少年波约伊, 决定献身于第五公设的研究. 他的父亲老波约伊是德国著名数学家、被誉为“数学王子”的高斯的同窗好友, 他也是试图证明出平行公设的大军中的一员, 而且他为此耗费了一辈子的时间和精力, 但除了找出等价命题外, 毫无收获. 所以当老波约伊发现自己的儿子出于好奇而加入到证明平行公设的队伍时, 非常担心和紧张. 他害怕自己的儿子也和自己一样, 一辈子泡在这个毫无希望的过程中. 他赶紧写信给在维也纳读书的小波约伊, 试图劝告他放弃这个可怕的念头. 但父亲的劝告并没有阻止小波约伊对平行公设的钻研, 他义无反顾地闯进了这个“毫无希望的黑夜”. 而且他很快就发现, 只要改变第五公设, 就可以创造出一种新的几何学来, 于是提出了一个新的平行公设:过已知直线外的一个点, 至少可以作两条直线与已知直线相平行. 这个新公设否定了平行线的惟一性. 以它为基础, 再加上剩下的公设及公理, 就组成了一门新的几何学, 叫双曲几何学. 凡是与旧的平行公设有关的定理, 在双曲几何学中统统变得面目全非, 甚至产生了许多闻所未闻、让人费解的新结论. 例如, 在双曲几何学中, 不存在矩形, 也不存在相似三角形. 最有趣的是, 不同的三角形就有不同的内角和, 而它们的内角和又都比180°小.
能够作出一种三角形, 使它的内角和小于180°? 对于习惯在传统几何的框框里生活的人来说, 这简直是个荒诞无稽的奇谈. 连老波约伊也无法理解儿子的创造, 不过他还是在自己1832年出版的一本几何著作中, 以附录的形式发表了小波约伊的一篇题为《关于一个与欧几里得的平行公设无关的空间的绝对真实性的学说》(亦称《绝对空间科学》)
2006年9月号