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数学符号的美学价值及其应用
□ 王红梅 陈 涛
数学的世界是一个符号的世界，数学语言是由一些符号和记号组成的语言，数学的符号语言“就像一座灯塔，照亮了自然的未被揭示的秘密”。因此“数学符号是交流与传播数学思想的媒介”。几百年前，代数与算术是没差别的，那时解一道数学题全靠文字表述，十分繁琐。例如“+”，“-”这两种运算，必须写成plus 与minus 。“=”则写成equals ，未知数则写成radix 。这样的表述只能解决具体的个别的问题，很难将问题抽象到一般形式加以研究。因此数学家们开始采用文字系数并设计了各种代数符号。探索数学符号的美学价值并将其应用到数学教学中去是当前数学教学改革的一个重要课题。
一、数学符号的美
（一）数学符号的简洁美
爱因斯坦说：“美的本质是简单化。”简洁给人以美感，数学符号以其简洁的外形表现了丰富的内涵。例如：符号na 表示n 个a 相加（n 是正整数）；a n 表示n 个a 相乘（n 是正整数）。同样，函数符号f （x ），绝对值符号|a |等都以简洁的外形表现了复杂的内容，无不显示出数学符号的简洁美。数学符号的简洁形式是数学家追求的主要目标。著名数学家傅立叶在创立“傅立叶级数”时，也进行了相关简单性的考虑，正如他自己所说：“每一个数学函数，无论多复杂，总可表示为某些简单的基本函数之和。”也正是数学的符号简化了复杂的数学理论，把表面上远离的数学理论巧妙地联系起来。例如哈密顿算子——一种重要的微分算子，由它作为工具，可导出一系列美妙的结论；当它作用于数量场函数u （x ，y ，z ）时，产生梯度，这是一个代表函数u 在空间中最大变化率的大小和方向的符号；当它作用于向量场函数v （x ，y ，z ）时，这是一个“四元数”，其数量部分称为v 的散度，向量部分称为v 的旋度；若用哈密顿算子，v 的散度、旋度又分别可表示为麦克思韦的电磁学方程组，其微分形式
就是用哈密顿算子表示的，其简洁与美妙自不待言。数学符号的简洁美使数学简单明了，数学符号的简洁美对于数学本身和科学领域的其它学科是多么的重要。
（二）数学符号的方便美
数学符号的另一特点就是它的方便美，正是数学符号的方便美决定了它持久的生命力。数学符号一直不断地在方便性上逐步改进，不断完善它美的魅力。二进制的得宠就在于它便于电子计算机的使用。首先二进制只需0和1两个数码就可表示一切数目，这对于计算机来说是最为有利的，大大简化了计算机的“运算器”。其原理是：每一数位上的数字1和0表示为电路中电信信号的存在和消失。如“l”表示电压脉搏冲的存在，“0”表示脉冲的消失。这样，二进制的任何数就可以用排成一定顺序的脉冲表示。因此，只要找到一种具有两种稳定状态的元体就可以使用二进制表示数了，而这种元体是很多的。而用十进制就要找到具有十种稳定状态的元体，这在技术上是困难的。二进制的运算比较简单，大大提高了运算速度，推进了计算机科技的发展。由此可看出，数学符号的方便性不仅给数学本身带来便捷，而且长期促进了其它科学的发展。
（三）数学符号的和谐美
数学中许多数学概念的意义是随数学的发展而逐步丰富的，而一系列符号的相互和谐就使概念的适用范围更广。“0！”是如何得来的？n 是自然数时，“n! ”表示从1开始的n 个自然数的乘积，即n !=1×2×3×……×n 。按这一规定n =0时，“0! ”没意义，为了使公式仍成立，必须规定0!=1。这种处理方法可以说在数学中比比皆是，体现了数学符号的和谐美。
（四）数学符号体现出几何图形的对称美
中学数学中的点对称和轴对称，如平行四边形的点对称，等腰三角形的轴对称，圆形和球形既是点对称图又是轴
解决。对共性的问题则在下一节课集体讲解，真正做到教学一步一个脚印，收到实效。
三、学案运用要处理好的关系
（一）处理好“学”和“导”的关系，“学案导学”是为了引导学生自主学习，在学生学习的同时加以及时的正确引导，而不是放任自学。要处理好学生的学和老师导的关系，做到在学生学习时有引导。学生的学是在教师引导下的学习。教师的引导，是学案导学的关键。
（二）处理好“学”和“教”的关系
学生的学不能代替教师的教，在学案导学的过程中，教师要获取尽可能多的直接信息，为课堂的精讲做好充分的准备。要合理安排“学”“教”“练”的环节，教师讲授的时间要适度，以确保学生有足够的时间进行自主学习，合作探究。
（三）处理好“点”和“面”的关系
点和面的关系也就是个体与集体的关系。不可否认，在同一个班集体中，学生的学习也呈现出差异性。因而在运用导学案开展教学时，要根据学生的具体情况，合理组建学习小组，将不同层次的学生平均分到各小组，充分调动所有学生的学习积极性。在完成整体教学任务的前提下，让每一位学生的潜能都能得到有效发挥。
（作者单位：海阳市行村镇第二初级中学 265124）
现代教育 2011. 02-03【69】
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对称图。a 与－a 是互为相反数，表示在数轴上也体现了几何中的点对称。在中学数学中，到处都可以找到这种对称美。毕达哥拉斯认为：“一切立体图形最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”。究其原因，主要是基于球形、圆形体现了现实空间的对称性和匀称性，给人以美感。发掘数学中的对称美，就知道学习数学既在享受美也在创造美。
（五）数学符号表现数学知识的统一美
希尔伯特说：“数学科学是一个不可分割的有机整体，……在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念的亲缘关系……数学理论越向前发展，它的结构就变得更加协调和一致。”这就是数学的统一美，它是数学的本质特征。如人们对“数的概念”认识就是一个逐步统一的过程：小学里学习了自然数和分数，可以统一为非负整数；初中学习了负数后又可以统一为有理数，以后随着无理数的引入，又可以统一为实数。函数概念也遵循着逐步统一的过程：初一学了代数式的值，当代数式中字母的值发生变化时，值也随之发生变化；初二引入了“变量函数”的定义：在某个变化过程中有两个变量x ，y ，当x 在取值范围内每取一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，这时把x 叫自变量，y 叫自变量x 的函数；到了高中，又将两个非空数集间的映射叫函数；随着学生学习理论的逐步深入，函数的定义方式就让学生越觉得合理、协调，显示了数学的统一美。
（六）数学符号运算体现出的奇异美
在数学的发展史上，许多新奇的数学思想方法和习惯思维无法接受的概念的提出，都对以往数学的协调、和谐产生重大冲击，显示了数学符号运算的奇异美。例如：给学生介绍负数的发明，虚数的提出等史实，让学生体味数学的奇妙，激发学生的创新意识。
体验数学符号运算奇异美更有效的办法应该是让学生亲自寻求数学问题的巧妙解法。如“已知关于x 的一元二次方程x 2＋（4m ＋1）x ＋（2m －1）＝0，若方程两根为a ，b ，且满足1a +1b =−12
，求m 的值。”在教师的引导下，有位学生
找到下列解法：因为1a ＋b ＝－（4m ＋1），ab ＝2m －1，所以+1=a +b =−4m +1−1=−12，所以m =−1a b ab 2m 2
。这位学生在黑板上演示出来后，全班同学都称他的奇思妙想简直太不可思议了。当学生独立获得一种别出心裁的解法时，更能体味数学的奇异之美。
总之，数学的美是多方面的，正如著名的数学家庞加来所说：“数学的美是各个部分间的和谐、对称、恰到好处的平衡。”数学的本质是美的，学习数学是在享受美，也是在创造美。
二、数学符号美的价值及其在数学教学中的应用（一）数学符号的美推动了数学发展
几百年来，由于某些数学符号、数学表达式具有神奇的诱惑力，成千上万的学者的奋斗不仅促进问题本身逐步解决，还推动了数学思想的发展，促进数学方法的革新。譬如
大家熟知的小小的字母e ，e 是数列⎧⎪⎨⎛⎜1+1⎞n
⎫⎟⎪⎪n ⎠⎬的极限，即
⎭lim ⎛x →∞
⎜⎝1+1⎞
n
⎩⎝⎪n ⎟⎠
=e ，该数列的发现与数的发明有关。1727年欧拉用“e ”表示极限。引入e 后，它的显赫功劳是，帮助人们证明了e 的超越性，1873年，法国数学家埃密特证明了e 是超70】现代教育 2011. 02-03
越数，1882年德国数学家林德曼在埃密特证明e 是超越数的基础上彻底解决了“化圆为方”问题。17世纪中叶在发现了双曲线下的面积与自然对数之间的联系之后，人们逐渐了解到很多重要的函数、重要的极限、微分与积分都与数e 有着极为密切的关系。自然对数的求导运算特别方便，所以在理论研究时宁愿采用自然对数而不用常用对数。也正因此，e 成了一个特别重要的无理数。
（二）数学符号的美成为刺激联想的动力
1．数学符号的美能刺激大脑，由眼前的数学对象沿纵深方向到相关的对象。举世瞩目的哥德巴赫猜想是怎样引起的? 哥德巴赫是从“几个偶数”联想到“一切偶数”猜测：任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和。也许，哥德巴赫自己也未曾意识到，如此简单的猜想竟会发展为“数学皇冠上的明珠”。这同时说明，简单的数学符号与符号之间，符号与图形之间可能存在着某些更深的联系。
2．数学符号的美能刺激大脑，由眼前的数学对象联想到邻近学科的相关对象。“笛卡尔连接”就是源于代数与几何之间的横向联系。狭义的讲，“笛卡尔连接”是指几何图形与代数方程之间的结合。广义的讲“笛卡尔连接”是指一切分析的、逻辑的、抽象概念与综合的、直观的、具体形象之间的结合。例如看到ax+by+c=0联想到直线，联想到曲线在连续可导等等。数学中代数与几何两大分支之间紧密联系，数学符号功不可没。表示代数式的一些符号，或代数方程的一些符号，有时同时也表示了一些几何意义。另外，我们也知道数学是其它许多学科的基础，就像某些微分方程在物理中就表示具体的意义等等。所以说，数学符号不仅代表了数学中的意思，而且也在其它学科中占有重要的地位。可以说，数学符号引起的联想也极为广阔。
3．数学符号美能刺激大脑逆向联想。数学中有些概念是成对出现的，例如：相等与不等，直线与曲线，有限与无限等；有些运算也是成对出现，例如：加法与减法，乘法与除法等等。每一对中都含有两个“对立的方面”例如看到“－”联想到“+”，看到“log ”联想到指数，联想到微分运算等等。更奇妙的是数学中的“逆向”都可以由数学符号表现出来。数学符号比文字在此时更令人容易联想到反面的内容。
（三）数学符号的美可以诱发数学发明的灵感
直觉和灵感无论是在那一门学科中都是至关重要的。数学符号能暗示信息，刺激联想活动，有助于诱发灵感。在数学研究活动中对符号的观察能诱发灵感。许多数学家都有一种感觉，从符号中得到的东西比输入的更多，他们好像比他们的创造者更聪明。莱布尼兹研究乘法计算机原理时，很长时间没找到恰当的解决方法，后来他收到一位法国传教士从中国寄给它的“八卦图”。它从图中符号得到启发，建立了二进制数。数学符号似乎具有一种神奇的力量，能在其内部传播变革和创造性发展的种子。数学符号的美构成了数学美的魅力的一个重要方面，数学的魅力是数学发展的深层驱动力。
研究和利用数学符号的美学价值，可以培养学生用数学符号语言来表达和解决问题的能力，可以促进学生数学逻辑思维的发展；适时对学生进行数学符号美的教育，有助于学生数学素养的全面提升，有助于学生的终身学习和发展。
（作者单位：王红梅 山东省泰安第二中学 271000；
陈涛 泰山学院数学与系统科学学院 271021）
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