第二讲
教学目的：让学生掌握矩阵及其运算、符号运算。
教学内容：矩阵及其运算、符号运算。
教学方法：讲解法。
讲授正文：
1.4 矩阵及其运算
矩阵是Matlab 数据存储的基本单元，而矩阵的运算是Matlab 语言的核心，在Matlab 语言系统中几乎一切运算均是以对矩阵的操作为基础的。只有一行的矩阵又称为数组，但在Matlab 中数组没有行与列的概念，其运算多为元素间的运算，这点与矩阵有不同之处，因此以下分别介绍数组与矩阵。
1.4.1数组的输入与运算
1．数组的输入
创建简单数组的方法见表1-9。
表1-9 创建简单数组的方法
例如：
>>b=[1,3,5,7,9,11] %元素之间要用逗号或空格分开
b =
1 3 5 7 9 11
>>c=1:2:11
c=
1 3 5 7 9 11
>>d=linspace(1,11 ,6)
d=
1 3 5 7 9 11
2．数组元素的访问
访问一个元素：x(i)表示访问数组x 的第i 个元素.
访问一块元素：x(s：h ：t) 表示访问数组x 的从第s 个元素开始，以步长为h 到第t 个元素（但不超过t ），h 可以为负数，h 缺损时为1.
直接使用元素编址序号：x([a,b,c,d])表示提取数组x 的第a 、b 、c 、d 个元素构成一个新的数组[x(a) x(b) x(c) x(d)].
3．标量与数组的运算
标量与数组的加、减、乘、除、乘方运算是数组的每个元素与该标量施加相应的加、减、乘、除、乘方运算，见表1-10。
表1-10 标量与数组的运算
其中a=[a1,a2,„,an]是数组，c 为标量。
4．数组与数组的运算
数组与数组的运算要求数组维数是相同的，其加、减、乘、除、幂运算可按元素对元素方式进行，不同维数的数组不能进行运算，见表1-11。
见表1-11 数组与数组的运算
其中a=[a1,a2,„,an], b=[b1,b2,„,bn]。
注意：数组的乘除法是指两同维数组对应元素之间的乘除法，它们的运算符只能为“. *”和“. /”或“. \”，而表达式a*b、a/b、a^b是没有意义的！
1.4.2矩阵的输入与运算
1．矩阵的输入
（1）直接输入法。最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号或回车键分隔。输入矩阵时，严格要求所有行有相同的列。例如
>>A=[2,3,5;1,3,5;6,9,4] %行之间用分号隔开
A=
2 3 5
1 3 5
6 9 4
（2）外部文件读入法。Matlab 语言允许用户调用在Matlab 环境之外定义的矩阵。可以
利用任意的文本编辑器编辑所要使用的矩阵，矩阵元素之间以特定分断符分开，并按行列布置。读入矩阵的一种方法可参考3.3节数据交换系统。另外也可以利用load 函数，其调用方法为：Load+文件名[参数]
例如：事先在记事本中建立文件：data1.txt
1 1 1
1 2 3
1 3 6
在Matlab 命令窗口中输入：
>> load data1.txt
>> data1
data1=
1 1 1
1 2 3
1 3 6
Load 函数将会从文件名所指定的文件中读取数据，并将输入的数据赋给以文件名命名的变量，如果不给定文件名，则将自动认为matlab.mat 文件为操作对象，如果该文件在Matlab 搜索路径中不存在时，系统将会报错。
2．特殊矩阵的建立
对于一些比较特殊的矩阵（单位阵、矩阵中含1或0较多），由于其具有特殊的结构，MA TLAB 提供了一些函数用于生成这些矩阵。见表1-12。
表1-12
3．矩阵中元素或块的操作
对矩阵中元素或块的常用操作，见表1-13。
表1-13 矩阵中元素或块的常用操作
例如：
A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> A(2,:) %取出A 的第2行的所有元素
ans =
4 5 6
>> A([1 3],[2,3]) %取出A 的1，3行与2，3列交叉的元素
ans =
2 3
8 9
>> A(3:-1:1,:) %以逆序提取矩阵A 的第1~3行，构成新矩阵，即进行了上下行翻转 ans =
7 8 9
4 5 6
1 2 3
4. 矩阵的基本数学运算
矩阵的基本数学运算包括矩阵的四则运算、与常数的运算、逆运算、行列式运算、秩运算、特征值运算等基本函数运算，这里进行简单介绍。
（1）四则运算 矩阵的加、减、乘运算符分别为“+，—，*” ，用法与数字运算几乎相同，但计算时要满足其数学要求（如：同型矩阵才可以加、减）。
矩阵的除法有两种形式：左除“\”和右除“/”。其运算规则见表1-1算术运算符。
（2）与常数的运算 常数与矩阵的运算即是同该矩阵的每一元素进行运算。但需注意进行数除时，常数通常只能做除数。
（3）基本函数运算 矩阵的函数运算是矩阵运算中最实用的部分，常用的主要有以下几个，见表1-14。
表1-14 矩阵的函数运算命令
例如：
>>a=[2 1 –3 –1; 3 1 0 7; -1 2 4 –2; 1 0 –1 5];
>>det(a)
ans =
-85
>> inv(a)
ans =
-0.0471 0.5882 -0.2706 -0.9412
0.3882 -0.3529 0.4824 0.7647
-0.2235 0.2941 -0.0353 -0.4706
-0.0353 -0.0588 0.0471 0.2941
>> [v,d]=eig(a)
v =
-0.5843 0.9223 -0.1387 - 0.2449i -0.1387 + 0.2449i
0.7160 0.0904 -0.7828 -0.7828
-0.3806 -0.0066 -0.0803 + 0.3491i -0.0803 - 0.3491i
0.0333 -0.3756 -0.4212 - 0.0489i -0.4212 + 0.0489i
d =
-1.1228 0 0 0
0 2.5266 0 0
0 0 5.2981 + 1.3755i 0
0 0 0 5.2981 - 1.3755i
（4）数据处理
表1-15 常用数据处理的命令
另外，矩阵的运算中还有幂运算（运算符为 .^ ）、指数运算（exp ）、对数运算（log ）、和开方运算（sqrt ）等，这里就不一一说明了。
1.5 符号运算介绍
Matlab 符号运算是通过集成在Matlab 中的符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。该工具箱不是基于矩阵的数值分析，而是使用字符串来进行符号分析与运算。实际上，Matlab 中的符号数学工具箱是建立在Maple 基础上的，当进行Matlab 符号运算时，它就请求Maple 软件去计算并将结果返回给Matlab 。
Matlab 的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算功能。这些功能主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号函数画图，符号代数方程求解，符号微分方程求解等。此外，工具箱还支持可变精度运算，既支持符号运算并以指定的精度返回结果。
1.5.1符号对象建立
符号对象是用字符串形式表示的，但又不同于普通的全由字母组成的字符串，往往很像数学中的表达式，事实上Matlab 的变量与表达式都可为符号对象。符号对象由sym （ ）和syms 建立。例如：
（1）符号变量的建立
①>> syms x y z %建立符号变量x ，y ，z
②>> t=sym(„t ‟); %建立符号变量t
sym 与syms 的区别在于：syms 可以建立多个变量，而sym （）只建立一个符号变量。两者有时可以相互替代。例如：
>> syms x y z 等价于下面的三条语句
>> x=sym(„x‟);
>> y=sym(„y‟);
>> z=sym(„z‟);
（2）符号表达式的建立
符号表达式的建立常用有三种方法
①>> syms x y
z=x^3+2*y^2-5 %建立符号表达式
②>> f=sym(„x^2+3*x+2‟); %建立符号表达式f=x^2+3*x+2
③>> f= „x^2+3*x+2‟; %用单引号创建的符号表达式对空格很敏感，不要在字符间随意添加空格！
（3）符号矩阵的建立
①使用sym 函数直接生成，如
>> A=sym(‟[1+x, sin(x); 5, exp(x)]‟)
②将数值矩阵转化成符号矩阵
>> B=[2/3, sqrt(2); 5.2, log(3)]
>> C=sym(B)
最后指出一点：符号对象建立时可以附加属性real 、positive 和 unreal ，例如，
>> x=sym('x','real') %表明x 是实的
>> k=sym('k','positive') %表明k 是正的
>> x=sym('x','unreal') %去掉x 的附加属性
1.5.2符号运算函数
我们在表1-12中列出一些常用的符号运算函数名称和功能，其参数设置，读者可借助Matlab 的帮助系统自己研读。函数funtool 是一个直观的图形化函数计算器，很方便进行代数运算和微积分运算。
表1-16 符号运算函数
1.6 实例
下面通过1个实例, 说明MATLAB 的通用操作界面的使用方法, 使读者对软件环境更加熟悉, 并且掌握如何在命令窗口中使用简单命令。
实验1.1 MATLAB通用操作界面综合练习实验
按照以下步骤进行。
(1) 启动MA TLAB 。
(2) 在命令窗口中输入以下几行命令:
>> a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> b=[1,3,5;2,4,6;5,7,9];
>> c='矩阵加法计算';
>> d=a+b;
>> wlb='矩阵乘法计算';
>> w=a*b;
(3)打开工作空间窗口查看变量, 共有6个变量, 如图1-6所示为MA TLAB 界面左上侧的工作空间窗口。
图1-6
（4）双击其中的变量“a ”，出现数组编辑器窗口（Array Editor）, 如图1-7所示为该变量的详细信息。
图1-7
（5）打开历史命令窗口（Command History），如图1-8所示, 用光标选中上面的6行命令，单击鼠标右键，在快捷菜单中选择“Create M-File”命令生成M 文件。
图1-8
（6）出现M 文件编辑/调试器窗口（Editor/Debugger）, 如图1-9所示。单击工具栏的“Save ”按钮，将文件保存为“d:\MATLAB7\work\jinjishuxueshiyan\shiyan101.m”。
图1-9
（7）打开当前目录浏览器窗口（Current Directory Browser），将当前目录设置为“D:\MATLAB7\work\jinjishuxueshiyan”，可以看到刚保存的“shiyan101.m ”文件，在命令窗口中输入“shiyan101”运行文件。
（8）在命令窗口中输入“save shiyan101” 命令, 从当前目录目录浏览器窗口可以看到在当前目录下生成了一个“shiyan101.mat ”数据文件，如图1-10所示。
图1-10
（9）在命令窗口中输入“exit ”命令退出MA TLAB 。
(10)重新启动MATLAB ，在命令窗口中输入“shiyan101”此时不能运行该文件，因为该文件不在MATLAB 的搜索路径中。单击界面的菜单“File ”—〉“Set Path ”, 打开设置对话框，选择“Add Folder ”按钮，将“D:\MATLAB7\work\jinjishuxueshiyan” 目录添加到搜索路径中，如图1-11所示，单击“save ” 按钮关闭该对话框，重新在命令窗口中输入“shiyan101” 则可以运行该文件。
图1-11
（11）退出MATLAB 后重新启动，打开工作空间窗口，此时将看到没有内存变量。如果要将“shiyan101.mat ”数据文件的变量导入，可选择菜单“File ”—〉“Import Data ”命令，然后选择“D:\MATLAB7\work\jinjishuxueshiyan\ shiyan101.mat ”文件，打开得如图1-12所示的“Import Wizard”窗口。
图1-12
在该窗口中将要导入的变量前的复选框选中，如选中“a ”, “b ”, “c ”, “d ”四个变量，然后单击 “finish ”按钮，查看工作空间中出现的4个变量。
（12）如果要查看文件“shiyan101.m ”的内容，只要在MA TLAB 命令窗口中输入“type shiyan101”命令，则可看到文件的内容如下：
>> type shiyan101
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
b=[1,3,5;2,4,6;5,7,9];
c='矩阵加法计算';
d=a+b;
wlb='矩阵乘法计算';
w=a*b;