数学专业英语
3—A
符号指示集
一组的概念如此广泛利用整个现代数学的认识是所需的所有大学生。集是通过集合中一种抽象方式的东西的数学家谈的一种手段。
集，通常用大写字母： A 、 B 、 C 、 进程运行 ·、 X 、 Y 、 Z ； 由小写字母指定元素： a 、 b 的 c 、 进程运行 ·，若 x 、 y z.我们用特殊符号 x ∈S 意味着 x 是 S 的一个元素或属于美国的 x 如果 x 不属于 S ，我们写 xS.≠当方便时，我们应指定集的元素显示在括号内 ；例如，由符号表示的积极甚至整数小于 10 集 {2,468} {2，4.6，进程运行 ·} 作为显示的所有积极甚至整数集，而三个点等的发生。点的和等等的意思是清楚时，才使用。上市的大括号内的一组成员方法有时称为名册符号。
涉及到另一组的第一次基本概念是平等的集。
DEFINITIONOFSETEQUALITY 。两组 A 和 B ，据说是平等的 （或相同的） 如果它们包含完全相同的元素，在这种情况下，我们写 A = B。如果其中一套包含在另一个元素，我们说这些集是不平等，我们写 A = B。
EXAMPLE1。根据对这一定义，由于他们都是由构成的这四个整数 2，4.6 和 8 两套 {2,468} 和 {2,864} 一律平等。因此，当我们用来描述一组的名册符号，元素的显示的顺序无关。
动作。集 {2,468} 和 {2,2,4,4,6,8} 是平等的即使在第二组，每个元素 2 和 4 两次列出。这两组包含的四个要素 2,468 和无他人 ；因此，定义要求我们称之为这些集平等。此示例显示了我们也不坚持名册符号中列出的对象是不同。类似的例子是一组在密西西比州，其值等于 {M、 我、 s 、 p} 一组单词中的字母，组成四个不同字母 M 、 我、 s 和体育 3 —B 子集
S. 从给定的集 S，我们可能会形成新集，称为. 的子集例如，组成的那些正整数小于 10 整除 4 （集合{8 毫米}） 的一组一般是的所有甚至小于 10.整数集的一个子集，我们有以下的定义。 子集的定义。A 一组据说是B ，集的一个子集，我们写A B每当A 的每个元素也属于B. 我们还说包含B A或B 包含。 关系称为集。A 和B 的声明并不排除可能性，B 。事实上，我们可能B A和B A，但只有当A 和B 都具有相同的元素发生这种情况。换句话说，A = B当且仅当B 和B A。这一命题是上述定义的平等和包容的直接后果。如果A 和B ，但A ≠B ，然后我们说的就是你的真子集我们表明这通过编写B. 在所有的应用程序集理论，我们有一套固定事先，S ，我们只关心这给定组的子集。底层的设置的不同而有所不同从一个应用程序，到另一台；它将转交作为每个特定的话语的通用组。符号{X∣X ∈S 和X 满足P}，将指定的所有元素X 在S 中满足该属性集体育当通用设置为我们所指的id 的理解，我们省略参照以S ，我们只需写{X∣X 满足P}。这读取 '"集的所有这种x 满足p 。' "在此方法中指定的设置说笔下定义的属性，例如，所有正实数的一组可以被指定为{X∣X 大于 0} ； 通用集S ，在这种情况下理解为所有实数集。当然，这封信x 是个笨蛋，并可由任何其他方便的符号替换。因此，我们可以写{x∣x 大于0} = {y∣y 大于0} = {t∣t 大于 0} 等等。它有可能设置为不包含任何元素。这套被称为空集或无效设置，并将由symbol φ表示。我们会考虑φto 是每一集的一个子集。有些人觉得很有用的一套类似于一个容器（例如，一个袋子或框） 包含某些对象，其元素。空集则类似于一个空的容器。为了避免逻辑的困难，我们必须区分元素x 和集{x}的唯一元素是x,(A box with a hat in it is conceptually distinct from the hat itself.)尤其是，空的set φis 集合{φ}不相同。事实上，空设置φcontains 没有元素而集{φ}有一个元素φ （一个框，其中包含一个空框不是空的）。组成一个元素的集合，有时也称为一个元素集。
2.4 整数、有理数与实数 4－A Integers and rational numbers There exist certain subsets of R which are distinguished because they have special properties not shared by all real numbers. In this section we shall discuss such subsets, the integers and the rational numbers. 有一些 R 的子集很著名， 因为他们具有实数所不具备的特殊性质。 在本节我们将讨论这 样的子集，整数集和有理数集。 To introduce the positive integers we begin with the number 1, whose existence is guaranteed by Axiom 4. The number 1+1 is denoted by 2, the number 2+1 by 3, and so on. The
numbers 1,2,3, „, obtained in this way by repeated addition of 1 are all positive, and they are called the positive integers. 我们从数字 1 开始介绍正整数，公理 4 保证了 1 的存在性。1+1 用 2 表示，2+1 用 3 表 示，以此类推，由 1 重复累加的方式得到的数字 1,2,3，„都是正的，它们被叫做正整数。 Strictly speaking, this description of the positive integers is not entirely complete because we have not explained in detail what we mean by the expressions “and so on”, or “repeated addition of 1”. 严格地说， 这种关于正整数的描述是不完整的，因为我们没有详细解释 “等等”或者“1 的重复累加”的含义。 Although the intuitive meaning of expressions may seem clear, in careful treatment of the real-number system it is necessary to give a more precise definition of the positive integers. There are many ways to do this. One convenient method is to introduce first the notion of an inductive set. 虽然这些说法的直观意思似乎是清楚的， 但是在认真处理实数系统时必须给出一个更准 确的关于正整数的定义。 有很多种方式来给出这个定义，一个简便的方法是先引进归纳集 的概念。 DEFINITION OF AN INDUCTIVE SET. A set of real numbers is called an inductive
set if it has the following two properties: (a) The number 1 is in the set. (b) For every x in the set, the number x+1 is also in the set.
For example, R is an inductive set. So is the set . Now we shall define the positive integers to be those real numbers which belong to every inductive set. 现在我们来定义正整数，就是属于每一个归纳集的实数。 Let P denote the set of all positive integers. Then P is itself an inductive set because (a) it contains 1, and (b) it contains x+1 whenever it contains x. Since the members of P belong to every inductive set, we refer to P as the smallest inductive set. 用 P 表示所有正整数的集合。那么 P 本身是一个归纳集，因为其中含 1，满足(a)；只 要包含 x 就包含 x+1, 满足(b)。由于 P 中的元素属于每一个归纳集，因此 P 是最小的归纳 集。 This property of P forms the logical basis for a type of reasoning that mathematicians call proof by induction, a detailed discussion of which is given in Part 4 of this introduction. P 的这种性质形成了一种推理的逻辑基础，数学家称之为，在介绍的第四部分将给出这 种方法的详细论述。归纳证明
4-B
读者是无疑熟悉实数的一条直线上的点的几何表示形式。代表 0，有权代表 1，在图 2-4-1 所示的 0 及另一人，选择一个点。此选项确定规模。如果一个采用一套合适的欧几里德几何公理，然后每个真实的数字对应于这条线上的一个点，相反，在行上的每个点对应于一个且仅一个实数。为此线通常称为真正的直线或实轴，而且很习惯使用单词实际数量和互换点。因此我们经常讲点的 x ，而不是点对应的实数。
实数的订购关系有一个简单的几何解释。如果 x
此设备的几何表示实数是非常有价值的工具，有助我们去发现和更好地了解实数的某些属性。然而，读者应意识到必须将所有属性都被视为定理的实数的推断出从不涉及任何几何公理。这并不意味着人不应该让几何研究的实数属性中的使用。相反，几何往往表明特定的定理证明的方法和有时几何参数是比纯粹的解析证明 （一个完全取决于公理的实数） 更加出色。在这本书中，几何参数用于很大程度上有助于激励或澄清特定的讨论。不过，所有的重要定理的证明以解析的窗体。
7-A 序列定义
日常英语中，词“sequence ”和“series ”是同义词，它们用来表示按某种顺序排列的一连串东西或事件。在数学上，这两个词有特殊专业含义，如通常用法一样，术语“sequence ”表示
按顺序排列的一串东西，而词“series ”用于某种不同的意思。在这节讨论序列概念，而级数将在第十一节定义。
如果对于每个正整数n 都存在一个实数或复数a n 与之对应，则有序集a 1, a 2, „a n , „称为无穷序列。这里重要的是，集合中的每一个元素都用正整数来标记，因此我们可以说，第一项a 1，第二项a 2，一般地，第n 项a n 。每一项a n 都有下一项a n +1，因此没有“最后”一项。
序列最常用的例子是，给定某种规则或公式来描述第n 项。因此，例如，公式a n =1/n 定义了一个序列，它的前五项是：1，1/2，1/3，1/4,1/5.有时可以使用两个或更多的公式，例如，a 2n -1=1，a 2n =2n 2，在这种情况下，前几项是：1,2,1,8,1,18,1,32,1.
另一种通常定义序列的方法是：通过一串指令说明在给定初始项后如何得到后面的项。因此我们有，对n ≥2，a 1=a 2=1，a n +1=a n +an -1。
这个特殊规则就是常见的递推公式，它定义了一个著名的称为Fibonacci 数的序列，前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34.
对任一序列，本质的问题是存在某个定义在正整数上的函数f 使得对每一个n =1,2,3,„f (n ) 是序列的第n 项。事实上，这可能是陈述序列专业定义最方便的方法。
定义：定义域是所有正整数1,2,3，„的函数称为无穷序列。函数值f (n ) 称为序列的第n 项。
函数的值域（即函数值集合）通常是按顺序书写各项来表示，因此：f (1)， f(2)， f(3)，„f (n ) ，„.
为简略起见，记号{f (n )}通常用于表示第n 项是f (n ) 的序列，序列各项对n 的相关性常常通过利用下标来表示，我们可以写为a n , s n , x n , u n , 或者类似的东西来替代f (n ) 。除非特别声明，本章所有序列都假设具有实的或复的项。
7B 序列极限
这里，我们最关心的问题是决定当n 无限增加时，项f (n ) 是否会趋于一个有限的极限。要处理这个问题，我们必须将极限概念推广到序列。做法如下：
定义：说序列{f (n )}有极限L ，如果对每一的正数ε都存在另一个正数N （可能依赖于ε）使得对所有的n ≥N 有| f (n )-L |
lim f (n ) =L , 或者当n →∞时, f (n ) →L . n →∞
不收敛的序列称为发散。
在这个定义中，函数值f (n ) 和极限L 可以是实数或者复数。如果f (n ) 和L 是复数，我们可将它们分解成实部和虚部，记为f=u+iv, L=a+ib, 则有f (n )-L = u(n ) - a+i[v (n ) -b ]. 不等式
u (n ) -a ≤f (n ) -L 和v (n ) -b ≤f (n ) -L
表明当n →∞时, 关系式f (n ) →L 推得u (n ) →a 和v (n ) →b . 反过来，不等式
f (n ) -L ≤u (n ) -a +v (n ) -b
表明当当n →∞时, u (n ) →a 和v (n ) →b , 推得f (n ) →L . 换句话说，复值序列f 收敛当且仅当实部u 和虚部v 分别收敛，这是有
lim f (n ) =lim u (n )+ilim v (n ) . n →∞n →∞n →∞
显然，对所有正实数x 有定义的函数都可以通过限制x 仅取正整数来构造序列，这表明，刚刚给出的定义与6.4节中作为更一般函数的定义之间十分类似。这种类似也可以推广到无穷极限，我们把定义记号
lim f (n ) =+∞和lim f (n ) =-∞ n →∞n →∞
留给读者，就像在6.5节当f 是实值时那样做，如果f 是复的，当n →∞时, 若f (n ) →+∞, 就记f (n ) →∞.
术语“收敛序列”通常仅指极限为有限的序列，具有无限极限的序列称为发散。当然存在没有无限极限的发散序列，有下列公式定义的序列，就是例子，
n πi n π1⎫n ⎛2f (n ) =(-1) , f (n ) =sin , f (n ) =(-1) 1+⎪, f (n ) =e . 2⎝n ⎭n
作为讨论和、积等等的极限的基本规则对于收敛序列的极限也是成立的。读者自己公式化这些定理应该不会有困难，它们的证明有点类似于3.5节中给出的那些证明。
9-A
10-A