六.平面向量的概念与线性运算(6)

六．平面向量的概念与线性运算

一、复习目标：

1、了解向量的实际背景，理解平面向量相等的含义，理解向量的几何表示；

2、掌握向量加、减法的运算并理解其几何意义；

3、掌握向量数乘的运算，理解其几何意义及两个向量共线的条件。

二、知识梳理：

1、向量的有关概念：（1）向量是即有

 可以用或a的长度记为 。

（2）零向量是 的向量，它的方向 。

（3）单位向量是指 的向量，单位向量不唯一

（4）通过有向线段AB的直线叫做向量AB的 ，

平行向量（共线向量）是指 的向量

规定：0与任意向量 。

（5）相等向量是指 的向量。

（6）相反向量是指 的向量。

（7）用向量表示点的位置：任给一定点O和向量a，过点O作有向线段OA，则点A相

对于点O的位置被向量a唯一确定，这时向量OA叫做点A相对于点O的

2、向量加法遵循或

3、向量减法的三角形法则，方向指向

4、实数与向量的积a（1）是向量（2）模等于

（3）方向：当0时，当0时。

5、平行向量基本定理：a与b共线（b0）存在实数，使 。

6、向量a的单位向量是指 的向量，且a0

7、设轴上A（x1），B（x2）则AB=_______.

三、例题精讲:

类型一：向量的有关概念

例1、下列命题中，正确的有（ ）

（1）abab （2）aba//b

（3）a0a0 （4）a//b,b//ca//c 

（5）若ABCD是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件。

（6）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同。

类型二、向量的加法与减法运算

例2、若非零向量,满足，则,所成的角大小为

类型三、实数与向量的积

例3、1、已知,R,则以下命题正确的有 个

（1）0，a0,则a与a的方向一定相反

（2）0，a0,则a与a是共线向量

（3）0，a0,则a与a的方向一定相反

12x-a）-(bc3x)b0，其中a,b,c为已知向量，则未知向量2、若（321

x。

类型四、平行向量基本定理的应用

11

例4以向量OAa,OBb,BMBC CNCD，用a

,b表示33

OM,ON,MN。

（2）O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABAC),[0,），则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ） OPOA(

ABAC

A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

（3）设两个非零向量e1,e2不共线. 



①如果ABe1e2,BC2e18e2,CD3e1e2，求证：A，B，D三点共线。 

②试确定实数k的值，使ke1e2和e1ke2共线

四、巩固训练：

1.在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD（ ）

21A．bc 33

12D．bc 33 52B．cb 33 21C．bc 33

2、已知D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点，且BCa，CAb。给出1111下列命题：①ADab②BEab③CFab④ADBECF0。2222

其中正确的命题的个数是： （ ）

Ａ １ Ｂ ２ Ｃ ３ Ｄ ４

AC5，则BC的取值范围是 （ ） 3、若AB8Ａ 【3，8】 Ｂ （3，8） Ｃ 【3，13】Ｄ （3，13）

4、.若不共线的三个非零向量a，b，c满足a+b+c0，则向量a，b，c可组成 （ ）

A 一条直线 B 一条线段 C 三个点 D 三角形

5、.命题p：ABC及点G满足GA+GB+GC=0；命题q：G是ABC的重心，则p是q的

（ ）条件

A 充分非必要 B 必要非充分

C 充要 D 既非充分又非必要

6、已知点A,B,C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一定点，P是ABC内的

1一动点，若OPOA(ABBC),[0,)，则点P的轨迹一定过ABC的（ ） 2

A外心 B 内心 C 重心 D 垂心

17、ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB,CDCACB,则=（ ） 3

2112 A B C  D  3333

8、已知O是正△ABC内部一点，OA2OB3OC0,则△ABC的面积与△OAC的面

积之比是（ ）

35 B. C. 3 D. 5- 23

（-3，4）9、已知a是以点A（3，1）为起点，且与向量b 平行的单位向量，则向量aA. 的终点坐标是____________

10、若A，B，C是数轴上的三个点，且A点的坐标为4，AB=6，BC=4, 则点B,C的

坐标分别是 ，

11、化简下列各式，结果为零向量的个数是（1）ABBCCA (3) ABACBDCD

 (3)OAODAD (4) NQQPMNMP

12、若a，b是两个不共线的非零向量tR

1（1）若a与b起点相同，t为何值时，a，tbab三向量的终点在一直线上？ 30（2）若ab且a与b夹角为60，那么t为何值时， 

atb的值最小？