2.1
1.
dydx
2xy,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.
解:对原式进行变量分离得
1y
dy2xdx,两边同时积分得:
yex。
2
lny
x
2
c,即ycex把x0,y1代入得
2
c1,故它的特解为
2.
y
2
dx(x1)dy0,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.
解:对原式进行变量分离得:
1x1
dx
1
dy,当y0时,两边同时积分得;
lnx1
1y
c,即y
1clnx1
y
1
2
当y0时显然也是原方程的解y
1lnx
。
。当x0,y1时,代入式子得c1,故特解是
3
dydx
1xy
yx
2
3
y
解:原式可化为:
dydx
1y
y
2
12
1x
x
显然3
2
1y
y
2
0,故分离变量得
1
12
2
y
y
2
dy
1x
x
3
dx
两边积分得ln
y
lnxln
x
2
2
lnc(c0),即(1
y
2
)(1
x
2
)c
x
2
故原方程的解为(1
y
2
)(1
x
)c
x
4:(1x)ydx(1y)xdy0解:由y0或x0是方程的解,当
xy0时,变量分离
1xx
dx
1yy
dy0
两边积分lnxxlnyyc,即lnxyxyc,故原方程的解为
lnxyxyc;y0;x0.
5:(yx)dy(yx)dx0
dyyxydydu,令u,yux,ux
dxyxxdxdx则ux
dudx
u1u1
,变量分离,得:
12
2
2
u1
u
ln(1
2
du
1x
dx
1
两边积分得:arctgu
u
)lnxc。
6:x
dydx
yyx
2
x
2
y
解:令dudx
u,yux,(1x
dydx
ux
dudx
,则原方程化为:1
1x
xu
2
)
,分离变量得:
u
2
dusgnxdx
两边积分得:arcsinusgnxlnxc代回原来变量,得另外,y
2
arcsin
yx
sgnxlnxc
x
2
也是方程的解。
7:tgydxctgxdy0解:变量分离,得:
ctgydytgxdx
两边积分得:lnsinylncosxc.
8:
dydx
y
2
3x
y
yy
2
解:变量分离,得dy
13
e
e
3x
c
9:x(lnxlny)dyydx0解:方程可变为:令u
y
ln
yxdy
yxdx0
1lnu
,则有:dxdlnuxx1lnu
cy1ln
yx。
代回原变量得:dy
10
dx
e
xy
解:变量分离两边积分
eee
y
y
dyc
e
x
dx
x
dydx
e
xy
解:变量分离,两边积分得:
e
y
y
dy
e
x
dx
e
e
x
c
11.
dydx
(xy)
2
解:令xyt,则原方程可变为:
dtdx1
dydx
1
dtdx1
1
t
2
变量分离得:
t
代回变量得:
2
dtdx,两边积分arctgtxc
1
arctg(xy)xc
dydx
1(xy)
2
12.解
令xyt,则变量分离
t
22
dydx
dtdx
1,原方程可变为
dtdx
1t
2
1
t1
dtdx,两边积分tarctgtxc,代回变量
xyarctg(xy)xc13.
dydx
2xy1x2y1
2xy10,x2y10;的解为x13
,yY
13,则有
dYdXX
2XYX2Y
'
2
解:方程组令xX
YX
13
,y
13
令U,则方程可化为:
dUdX
22U212U
变量分离
14,
dydx
xy5xy2
dydxtt7
1
dtdx,
解:令xy5t,则原方程化为:1两边积分代回变量
1212
dtdx
,变量分离(t7)dt7dx
t
2
7t7xc
2
(xy5)
2
7(xy5)7xc.
dy
15.dx
(x1)(4y1)8xy1
2
解:方程化为
dydx
x2x116y8y18xy1(x4y1)2
dydx
dudx,所以2323
1du4dx83
u
2
222
令1x4yu,则关于x求导得14分离变量
14u9
2
94
,
dudx,两边积分得arctg(xy)6xc,是
原方程的解。
16.解:
dydxdydx
y2x2xy
35
2
622
xy
2
dydx
3
(y)2xy(2xy
2
3
22
x
2
3[(y)2x]2xy
3
322
x
2
,,令y
3
u,则原方程化为
3u
dudx
3u6x2xux
2
22
x2
2
6
ux
1
,这是齐次方程,令
ux
z,则
2
dudx
zx
dzdx
,所以
3z62z12z1zzd
2
2
zx
dzdx
,,x
dzdx
3
zz62z1
3
2
,...........(1)
当zz60,得z3或z2是(1)方程的解。即当zz60时,变量分离
3
7
3
3
5
2
y3x或y2x是方程的解。
z3)(z2)xc,
c0时。故原方程
7
3
5
dz
3
1x
dx,两边积分的(
3
即(y3x)(y2x)xc,又因为y3x或y2x包含在通解中当的解为(y3x)(y2x)xc
3
7
3
3
15
17.
dydx
2x3xyx3xy2yy
dydx
2
3
3
x(2x3y1)y(3x2y1)
dudv
2
2
2
2
解:原方程化为 令y
2
;;;;;
dydx
22
2x3y13x2y1
2
2
22
u,;;;;;x
2
v;;;;;;;则
2v3u13v2u1
.......(1)
2v3u10
的解为(1,1);令Zv1,,Yu1,
方程组3v2u10
2z3y0
,,,,从而方程(则有
3z2y0
1)化为
dydz
2332
yz
yz
令
t
yz
,,则有
dydz
tz
dtdz
,,所以tz
dtdz
23t32t
,,z
dtdz
22t
2
32t
,...........(2)
当
22t
2
0时,,即t1,是方程(2)的解。得y
2
x2或y
22
x是原方程的解
2
当
22t
2
0时,,分离变量得
32t22t
2
dt
1z
dz两边积分的yx
22
(yx2)c
225
另外
y
2
x2,或y
22
x,包含在其通解中,故
2
原方程的解为yx
22
(yx2)c
225
18.证明方程
2
2
xy
dydx
f(xy)经变换xyu可化为变量分离方程,并由此求解下列方程
(1).y(1xy)dxxdy(2).
xdyydx
2xy2xy
22
22
证明:因为得:
1duydx
xyu,关于x求导导得yx
du
dxy(f(u)1)
程。
ux
dydx
dydx
,所以x1x
dydx
dudx
y
1f(u),(f(u)1)(uf(u)u)
故此方程为此方程为变
解(1):当x0或y0是原方程的解,当令xyu,则方程化为
dudx
1x(2u
xy0s时,方程化为
3
xdyydx1xdx
1
xy
2
2
u
),变量分离得:
du2u
u
3
两边同时积分得:
u
2
2
2
cx,即
4
yxy
2
2
2
2
cx,y0也包含在此通解中。
2
故原方程的解y
2
2
xy
2
2
cx,x0.
dudx
1x
2u2ulnyx
22
2
u)xy4
2
2
解 (2)令xyu,则原方程化为分离变量得
2u4u
2
(u
14u
2
x2u
du
1x
dx,两边积分得c,这也就是方程的解。
x
19. 已知f(x)
f(x)dt1,x0,试求函数f(x)的一般表达式
.
y
1y
2
x
解:设f(x)=y, 则原方程化为
f(x)dt
1y
两边求导得
y'
12xc
y
3
dydx
;;;;;;;;;;dx
1ydy
3
;;;;;;;;;;;;两边积分得xc
112y
2
;;;;;所以y
把y
12xc
x
代入
f(x)dt
1y
x
12tc
dt2xc;;;;;;;;;;(2xcc)2xc得c0,所以y
12x
20.求具有性质 x(t+s)=
x(t)x(s)1x(t)x(s)
的函数x(t),已知x’(0)存在。
2x(0)
解:令t=s=0 x(0)=x(0)x(0)=
1x(0)
1x(0)x(0)
若x(0)0 得x2=-1矛盾。
2
所以x(0)=0. x’(t)=lim
dx(t)dt
x'(0)(1x(t))
2
x(tt)x(t)
t
dx(t)
lim
x(t)(1x(t))t[1x(t)x(t)
x'(0)(1x(t))
2
1x(t)
2
x'(0)dt
两边积分得arctg
x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]
习题2.2
求下列方程的解 1.
dydx
=ysinx
dxdx
解: y=e (sinxedxc)
=ex[-
121
ex(sinxcosx)+c]
=c ex- (sinxcosx)是原方程的解。
2
2.
dxdt
+3x=e2t
dxdt
解:原方程可化为:
所以:x=e
3dt
=-3x+e2t
3dt
dtc) (e2t e
=e3t (e5t+c)
5
1
=c e3t+e2t 是原方程的解。
5
1
3.
dsdt
=-scost+
costdt
1212
sin2t
3dt
解:s=e
(sin2te
dtc )
=esint(sintcostesintdtc) = esint(sintesintesintc)
=cesintsint1 是原方程的解。 4.
dydx
xnyex
x
n
, n为常数.
dydx
xn
n
解:原方程可化为:
yex
x
xn
ye
xdx
(exe
n
xdx
n
dxc)
xn(exc) 是原方程的解.
5.
dydx
+
12xx
2
y1=0 =-12xx
2x1x
2
解:原方程可化为:
dydx
2
y1
ye
dx
(e
)
12xx
2
dx
dxc)
1x
e
(lnx
2
12
(e
1
lnx
2
dxc)
=x(1cex) 是原方程的解.
2
6.
dydxdydx
xxxy
4
2
43
3
解:
xxxyxy
32
2
=令
yx
+
yx
dydx
u 则 yux
dudxdudx
=ux
dudx
因此:ux
=
xu1u
2
2
u2dudx
13u
3
xc
u33xxc (*) 将
yx
u带入 (*)中 得:y3xcx是原方程的解.
3
4
3
7.
dydx
2yx1
(x1)
3
dy2y3
解(x1)
dxx1P(x)
2x1
,Q(x)(x1)
2
3
P(x)dxx1dx2ee(x1)
方程的通解为: y=e
P(x)dx
P(x)dx
(eQ(x)dxc)
=(x+1)(
2
2
1(x1)
*(x+1)dx+c)2
3
=(x+1)((x+1)dx+c) =(x+1)(
2
2
(x1)2
4
2
c)
即:2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。dydx =
yxy
3
3
dxx+y12
解xy
dyyy则P(y)=
1y
,Q(y)y
1
2
P(y)dyydy eey
方程的通解为: x=e
P(y)dy
P(y)dy
(eQ(y)dyc)2
=y( =即 x=
y
3
1y
*ydyc)
y
3
2
cy
2
+cy是方程的通解 ,且y=0也是方程的解。
9.
dydx
ayx
ax
x1x
,a为常数x1x
解:P(x)e
P(x)dx
,Q(x)
a
e
xdx
x
a
方程的通解为: y=e
a
P(x)dx
P(x)dx
(eQ(x)dxc)
=x(
1x+1x
a
x
dx+c)
当 a0时,方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 a1时,方程的通解为 y=cx+xln/x/-1 当 a0,1时,方程的通解为 y=cx+
a
x1-a
-
1a
10.x
dydx
yx
3
dy13
解yx
dxxP(x)
1x
,Q(x)x
1
3
P(x)dxxdx1ee
x
方程的通解为: y=e = =
1xx4
P(x)dx
P(x)dx(eQ(x)dxc)3
(x*xdxc)
3
cxx
3
方程的通解为: y=
4
cx
11.
dydx
xyxy
33
dy33
解xyxy
dx两边除以ydyydxdy
-23
3
xy
2
x
2
3
dx令ydzdx
2
2(xyz
x)
3
2(xzx)
3
3
P(x)2x,Q(x)2xe
px
22xdxx
dxee
方程的通解为: z= e
x
2
px
px
dx(edxQ(x)dxc)x
2
=e(e
2
(2x)dxc)1
x
2
3
=xce
2
x
2
故方程的通解为:y(xce
c4
2
2
1)1,且y0也是方程的解。
14
12.(ylnx2)ydxxdydylnx22y
解y
dxxx 两边除以ydyydxdy
12
2
1
x
lnx2
lnxxlnxx
2yx2yx
1
dxdzdx
令y
1
zlnxx
lnxx
2x
z2x
P(x),Q(x)
方程的通解为:zezec4
P(x)dx
P(x)dx
(eQ(x)dxc)
xdx
2
2
(e
xdx
14
2
(
lnxx
)dxc)x(
2
1x
2
(
lnxx
)dxc)
x
lnx2
方程的通解为:y(
c4
x
2
lnx2
14
)1,且y=0也是解。
13
2xydy(2yx)dxdydx
2yx2xy
2
2
yx
1 2y
这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以
2
1y12
,
y
dydx
y
x
dzdx
2y
dydx
令y2z
dzdx
2yx
2x
2
1
2zx
1
P(x)= Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式
ze
xdx
2
(e
xdx
2
dxc)
=xx2c
yxxc
2
2
14
dydx
e3xx
2
y
dydx
y
两边同乘以e e
y
y
(e)3xe
x
2
y2y
令eyz
dzdx
z3xzx
22
dzdx
e
dydx
3zx
zx
22
这是n=2时的伯努利方程。
3xz1x
2
两边同除以z2
dTdx
1dzz
2
1dzzdx
2
1x
2
dx
令
1z
T
dx
dT3Tx
P(x)=
3x
Q(x)=
1x
2
由一阶线性方程的求解公式
33
Te
xdx
(1dx
x
2xdxc) =x3(12
2
xc)
=
12x
1
cx
3
z(
1x
1
cx
3
2
)1 ey
(12
x
1
cx
3
)1
1x2
ey
cey
x
3
2
12x2
x3
ey
c
15
dy
1
dxxyx3y
3
dxdy
yxy3
x3
这是n=3时的伯努利方程。 两边
x
3
1dx3
x3
dy
yx
2
y
令x2z
dz2x
3ddy
xdy
dz
2y
3
3
dy
2
x
2y=2yz2y P(y)=-2y 由一阶线性方程的求解公式 ze
2ydy
(2y3e2ydydyc)
=ey2
(2y3ey2
dyc) =y21cey2
Q(y)=2y3
x(y1ce
2
y
2
22y
2
)1
y
2
xe(y1ce
y
2
2
)e
y
2
2222
e(1xxy)cx
x
16 y=ex+y(t)dt
dydxdydx
ey(x)
x
ye
x
P(x)=1 Q(x)=ex 由一阶线性方程的求解公式
1dxx1dx
ye(eedxc)
=ex(exexdxc) =ex(xc)
e(xc)e
x
x
x
e(xc)dx
x
c=1 y=ex(xc)
17 设函数(t)于∞
试求此函数。
令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)=(0)2 故(0)0或(0)1 (1) 当(0)0时 (t)( 即(t)0 t0)t() (
t(∞,
∞)
'
(2) 当(0)1时 (t)
lim
t0
(tt)t()
t
=lim
t0
(t)(t)(t)
t
=
(t0)(0)
t
lim
t0
(t)((t)1)
t
=
lim
t0
(t)
='(0)(t)
于是
ddt
(0)(t)
'
变量分离得
d
'
(0)dt 积分 ce
'
(0t)
由于(0)1,即t=0时1 1=ce0c=1 故(t)e(0)t
'
20.试证:
(1)一阶非齐线性方程(2 .28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解;
(2)若yy(x)是(2.3)的非零解,而yy(x)是(2.28)的解,则方程(2.28)的通解可表为ycy(x)y(x),其中c为任意常数.
(3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解. 证明:
dydxdydx
P(x)yQ(x)
(2.28)
(2.3)
P(x)y
(1)
设y1,y2是(2.28)的任意两个解 则
dy1dx
P(x)y1Qx(
) (1)
(2)
dy2dx
P(x)y2Q(x)
(1)-(2)得
dy1y2dx
P(x)(y1y2)
即yy1y2是满足方程(2.3) 所以,命题成立。
(2)
由题意得:
dy(x)dx
P(x)y
(3)
dy(x)dx
P(x)y(x)Q(x) (4)
1)先证ycyy是(2.28)的一个解。 于是 c34 得
cdydx
dydx
cP(x)yP(x)yQ(x)
d(cyy)
dx
P(x)(cyy)Q(x)
故ycyy是(2.28)的一个解。
2)现证方程(4)的任一解都可写成cyy的形式 设y1是(2.28)的一个解 则
dy1dx
P(x)y1Qx(
) (4’)
于是 (4’)-(4)得
d(y1y)
dx
P(x)(y1y)
P(x)dx
从而 y1yce
cy
即 y1yc y所以,命题成立。
(3)
设y3,y4是(2.3)的任意两个解 则
dy3dxdy4
dx
P(x)y3
(5) (6)
cdy3dx
cP(x)y3
P(x)y4
于是(5)c得 即
d(cy3)dx
P(x)(cy3)
其中c为任意常数
也就是ycy3满足方程(2.3) (5)(6)得
dy3dx
dy4dxdx
P(x)y3P(x)y4
P(x)(y3y4)
即
d(y3y4)
也就是yy3y4满足方程(2.3) 所以命题成立。
21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 (5) (6)
曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;
曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;
解:设p(x,y)为曲线上的任一点,则过p点曲线的切线方程为
Yyy'(Xx)
从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x
yy'
yy'
,0),(0,yxy')
即 横截距为 x
,
纵截距为 yxy'。 由题意得:
'(5) yxy
2
x
方程变形为 x
dydxdy1
yxdxx
yx
2
(x)dx
x于是 ye
xdx
11
((x)e
dxc)
elx((xe)
dxc
)
x((x x((x1x
1
dx
)c
)dx c)
x(xc) x2cx
所以,方程的通解为yx2cx。 (6)yxy'方程变形为 x
dydx12x
1
xy2
y2
x2
12
dydx
y
12)e(2x)dx
1
于是 ye
1
2xdx
((
12
dxc)
e2
lnx
((
)e
12
lnx
dxc)
x((21
1
12
12
1
dx c)
x2((x2)dxc)
2
1
1
1
x2(x2c)
1
2
xcx
1
所以,方程的通解为yxcx2。 22.求解下列方程。 (1)(x21)y'xy0 解:y'
xy1x1
2
y
1x1
2
x21dx
x
ye
x21dx
x
(
1x1
2
e
c)
1
=/x1/2[
2
1
1x1
dx
3
2
2
1
1
c]
/x1/2
c]
=/x1/2[
2
2
/x1/2
=c/1x/x
2
(2) y'sinxcosxysin3x0
dydx
ysinxcosx
1sinxcosx
sinxcosx
2
sinxcosx
2
P(x)= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
ye
sinxcosxdx
1
(
sinxcosx
2
sinxcosxdx
1
dxc)
= =
sinxcosxsinxcosx
(sinxdxc) (cosxc)
=tgxcsinx
习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。
1. (x2
y)dx(x2y)dy0
解: M
y
1,
Nx
=1 .
则M
y
Nx
所以此方程是恰当方程。 凑微分,x2dx得 :
13
3
2ydy(ydxxdy)0
2
xxyyC
2. (y3x2)dx
解: 则
My
(4yx)dy0
My
1,
Nx
1 .
Nx
.
所以此方程为恰当方程。 凑微分,ydx得 x3xy3. [
y
2
2
xdy3xdx4ydy0
2
2
2y1x
C
1y
x
2
2
(xy)
]dx[
(xy)
2
]dy0
解:
Nx
My
2y(xy)2y(xy)(1)
(xy)
2
4
2
2xy(xy)
3
2x(xy)2x(xy)
(xy)
4
2
2xy(xy)
3
则
Mx
Ny
.
因此此方程是恰当方程。
uxuy
y
2
2
(xy)1y
1x
(1) (2)
y
2
x
2
2
(xy)
对(1)做x的积分,则u
(x
y
2
y)
2
x1
(y)
=
对(3)做y的积分,则
uy
xy
lnx(y) (3)
2
(1)y(xy)2y
(xy)
2
2
d(y)dy
==
则
d(y)dy
1y
x
2
2
2
2xyy(xy)1y
x
2
d(y)dy
2
2
(xy)1y
2
2
(xy)
y2xy(xy)
2
x2xyy(xy)
2
1y
1
(y)
(
y
1y
2
1)dylnyy
yx
yxyy
xy
2
2
u
xy
lnxlnyylnln
yx
xyxy
故此方程的通解为ln4、 2(3xy2
3
yx
2
xyxy
2
C
2x)dx3(2xyy)dy0
解:
My
Nx
My
12xy
,
Nx
12xy
.
.
则此方程为恰当方程。
凑微分,6xy2dx
2
2
4
4xdx6xydy3ydy0
3
2
2
3
3d(xy)d(x)d(x)0
得 :x4
5.(1sinx-y
y
yx
2
3xyyC
y
223
1
cos+1)dx+( cos-x
x
yxy
2
x
sinx+
y
y
1yxyy
22
)dy=0 sinx+
y
1y
2
解: M=1sinx-y
y
My
Nx
yx
2
cos+1 N= cos-x
x
y1
x
=-=-
1y1y
22
sinx-y
xyxy
33
cosx-y
1x1x
22
cos+
x
yyxyx
33
sin
x
sin-y
x
cos-y
x
cos+
x
y
sin
x
y
所以,
1
Myx
=
Nx
,故原方程为恰当方程
yx
2
因为sindx-y
yx
cosdx+dx+ cosdy-x
x
y1yxy
2
x
sindy+
y
x1y
2
dy=0
d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0
y
x
y1
y
所以,d(sin-cos+x -)=0
x
yx1
yy
故所求的解为sin-cos+x -=C
x
yx1
yy
求下列方程的解:
6.2x(yex-1)dx+exdy=0
解:
My
2
2
= 2xex , =
2
2
Nx
=2xex
2
所以,
My
Nx
,故原方程为恰当方程
2
又2xyexdx-2xdx+exdy=0
所以,d(yex-x2)=0
2
故所求的解为yex-x2=C
2
7.(ex+3y2)dx+2xydy=0 解:exdx+3y2dx+2xydy=0 exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0 所以,d ex( x2-2x+2)+d( x3y2)=0 即d [ex( x2-2x+2)+ x3y2]=0 故方程的解为ex( x2-2x+2)+ x3y2=C 8. 2xydx+( x2+1)dy=0 解:2xydx+ x2dy+dy=0
d( x2y)+dy=0 即d(x2y+y)=0 故方程的解为x2y+y=C 9、ydx
xdyxy
22
dx
2
解:两边同除以
即,darctg
xy
2
得
ydxxdyxy
2
2
dx
x
dxy
故方程的通解为argtg
10、ydxx
y
3
x
xcy
dy
0
解:方程可化为:
即,
ydxxdy
y
2
ydy
xdydyy
故方程的通解为:x
y
12
yc
2
即:2xyy2
c
同时,y=0也是方程的解。 11、y1xydxxdy
0
xdy1xydx
解:方程可化为:ydx
dxy1xydx
即:dxydx
1xy
故方程的通解为:lnxy
12、yx2dx
xdy0
xc
x
2
解:方程可化为:
ydxxdy
dx
y
ddx
x
yx
cx
故方程的通解为 :13、x2ydx解:这里M
My
Nx
1x
即:yxcx
xdy0
x2y,Nx
,
My
Nx
N
方程有积分因子
2
e
xdx
1
x
两边乘以得:方程xx2ydx
故方程的通解为:x2
x
3
xdy0
是恰当方程
2xydx
2x
y
x
2
2xydxdyc
3
xyc
3
即:x33x2yc
14、xcosxysinxydxxcosxydy
0
解:这里M因为M
y
xcosxysinxy,Nxcosxy cosxyxsinxy
Nx
故方程的通解为:
xcosxysinxydx
xcosxy
y
xcosxysinxydxdy
c
即:xsinxyc
15、ycosxxsinxdxysin解:这里M
My
Nx
1
xxcosxdyo
ycosxxsinx,Nysinxxcosx
My
Nx
M
方程有积分因子:
e
y
e
dy
e
y
两边乘以得: 为恰当方程
xxsinxdxdyc
方程eyycosxxsinxdx故通解为 :eyycos
ysinxxcosxdy0N
y
y
xxsinxdx
e
ycos
即:eysinxy1eycosxc 16、x4ydx
2xdyy
3
3ydx
5xdy0
解:两边同乘以x2y得:
4x
3
ydx2xydy3xydx5xydy0
2
4
2
5
3
2
dxy
4
dx
3
y
5
0
xy
3
5
故方程的通解为:x4y2
c
0具有形为(xy)和(xy)
17、试导出方程M(X,Y)dxN(X,Y)dy积分因子的充要条件。 解:若方程具有(x
的
y)为积分因子,
(M)yyy
(N)xMyx
((x
x
NxNx
y)是连续可导)
MN
)
MN(
My
(1) 令 zxyx
ddz
zx
,
yNx
ddz
ddz
.
M
ddz
N
ddz
(
My
),
(MN)
ddz
(
Nx
My
) ,
Nd
x
My
MN
, dz
(xy)dz
My
N
方程有积分因子(xy)的充要条件是:
x
MN
是xy的函数,
此时,积分因子为(x
y)e
(z)dz
.
(2) 令zxyx
ddz
zx
ddz
y
,
Nx
y
ddz
zy
x
ddz
Mx
ddz
Ny
ddz
(
My
)
(MxNy)
ddz
(
Nx
My
)
Nd
x
My
MxNy
N
此时的积分因子为(xy)e18. 设
f(x,y)及
x
My
dz
MxNy
f(x,y)dx0
fy
连续,试证方程dy为线性方程的充要
条件是它有仅依赖于x的积分因子.
证:必要性 若该方程为线性方程,则有此方程有积分因子(x)e
dydx
P(x)yQ(x)
,
P(x)dx
,(x)只与x有关 .
充分性 若该方程有只与x有关的积分因子(x) . 则(x)dy从而
(x)f(x,y)dx0为恰当方程 ,
((x)f(x,y))
y
d(x)dx
,
fy
(x)(x)
,
f
(x)(x)
Q(x)
(x)(x)
yQ(x)P(x)yQ(x) .
其中P(x)
(x)(x)
.于是方程可化为dy
(P(x)yQ(x))dx0
即方程为一阶线性方程.
20.设函数f(u),g(u)连续、可微且f(u)yf(xy)dx+xg(xy)dy=0
有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1
证:在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得:
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0
uyfy
fy
uy
f
g(u),\,试证方程
则
=uf+uy
yfgy
+yf
fy
2
=
fxy(fg)
g
y
fy
x(fg)xy
fy
xy
2
gy
+
xy(fg)
-yf
xy(fg)
22
gy
gxyxyy
fxyxyy
2
=
xy(fg)
=
x(fg)
f
gxy
g
fxy
2
=
(fg)
xg
而
uxgx
=ug+ux
xg
gx
+xg
ux
=
f
gxy(fg)
g
fxy
2
+
xxy(fg)
- xg
y(fg)xy
f
x
222xy(fg)
xy
gx
xf
gxyxyx
fxyxyx
2
=
xy(fg)
=
xy
g
(fg)
故uyf=
y
uxgx
,所以u是方程得一个积分因子
My
Nx
21.假设方程(2.43)中得函数M(x,y)N(x,y)满足关系
=
Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数,试证方程(2.43) 有积分因子u=exp(
f(x)dx
+g(y)dy)
证明:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
即证u(
My(uM)y
(uN)x
ux
u
uy
My
+Mu(-
uy
=u-Nx
Nx
+N
ux
f(x)
-
Nx
)=N
g(y)dy
- M
My
Nx
)=Ne
f(x)dx
f(x)dx
g(y)dy
-M e
f(x)dx
g(y)u(
My
)=e
g(y)dy
(Nf(x)-Mg(y))
由已知条件上式恒成立,故原命题得证。 22、求出伯努利方程的积分因子. 解:已知伯努利方程为:
两边同乘以yn,令z
dzdx
dydx
PxyQxy,yo;
n
y
n
,
1nPxz1nQx,线性方程有积分因子:
1nPxdxn1Pxdx
ee1nPxdxn1Pxdxee
,故原方程的积分因子为: ,证毕!
0的积分因子,从而求得可微
23、设x,y是方程Mx,ydxNx,ydy函数Ux,y, 使得dU
MdxNdy.试证
~x,y也是方程Mx,ydxNx,ydy0的
~x,yU,其中t是t的可微函数。 积分因子的充要条件是
~M
~u,则证明:若
yMy
uM
y
My
uMu
y
uMuN
~N
又
xy
uN
x
Nx
uNuM~My
M
uNuM
~为Mx,ydxNx,ydy即0的一个积分因子。
24、设1x,y,2x,y是方程Mx,ydxNx,ydy
12
且0的两个积分因子,
常数,求证1是方程Mx,ydxNx,ydy02c(任意常数)
的通解。
证明:因为1,2是方程Mx,ydxNx,ydy
所以iMdx即
Nix
0的积分因子
iNdyo i
i1,2 为恰当方程
,i1,2
M
MNiyxy
下面只需证事实上:
12
的全微分沿方程恒为零
1
d2
2
1x
dx
1
22
dydxdy1
yxy
2
dx
M2N
2
2
1x2M2
dxdxdx1
yxNy
2
dxN2dxN2
22
2
11
NM
xy
MN12
xy
22
NM2
xyMN
12
xy
1
0
即当
12
c
时,
12
c是方程的解。证毕!
习题 2.4
求解下列方程 1、xy3解:令
1y dydx
yp
1t
13
,则x1t
t
1
tt
32
,
32
t2tc
2
从而y
pdxc
t
dtt
32
c3t2dtc
,
xt3t2
于是求得方程参数形式得通解为32
yt2tc
2
.
2、y3x31y0 解:令
dydx
yptx
,则tx
3
x1tx0
3
,即x
t1t
3
t
2
1t
,
从而ypdx
c
2121
ttdtc
tt
t
3
1
12t2dtc
t
14
2ttdtc 2
t25t
5
12
t
2
1t
c
,
12
xtt
于是求得方程参数形式得通解为.
211yt5t2c52t
3、y解:令
yedydx
2y
,则y
pe
2
p
yp
,
从而x
1
1p
pe
2p
c
2
p
p2pe
p
pe
dpc
=2ep
pe
p
p
dpc
1pec,
px1pec
于是求得方程参数形式的通解为
2p
yye
,
另外,y=0也是方程的解. 4、y1解:令
ydydx
2
2a, a为常数
,则y
2a1tg
2
ytg
2asec
2
2acos
2
,
从而x
1p
c
tg
1
d2acosc
2
4acosdc4a
2
1cos2
2
c
a2sin2c,
xa2sin2c
于是求得方程参数形式的通解为2
y2acos
.
5、x2解:令
y1
2
dydx
ypcost,则x
costsint
2
,
从而ycostdsintc
costdtc
12t
14
2
1cos2t
2
dtc
sin2tc,
xsint
于是求得方程参数形式的通解为11
ytsin2tc
24
.
6、yy12y
2
2
解:令2
yyt
,则1yyt1,得yt
1t
,
1
dt22
dydy1tdtt11t
所以dxdtdt2222
1y2yt1tt1tt
2tt
t
,
从而x
11
dtcc2tt
,
1
xct
于是求得方程参数形式的通解为
yt1t
,
因此方程的通解为y
1xc
xc.
习题2.5
2.ydxxdyxydy
解:
ydxxdy
xdyx
2
2
x,得: ydy yc
2
2
12
即
yx
12
y
2
c
4.
dydx
yx
xy
解:两边同除以x,得
y
dydx
1
xyx
令
u xdydu
则 ux
dxdx
y
即
dydx
ux1u
dudx
u1
lny
2
u
得到
c
12
2,
1即xyclny
2
另外y0也是方程的解。 6.xy1ydxxdy0 解:ydxxdyxydx0
ydxxdy
y
2
xdx
得到dxc y2 即
xy12xc
2
x1
2
另外y0也是方程的解。
8.dydx
yxyx
23
解:令
则:
dy
yx
u
du
u
1xu
2
dxdxdu12
即xu
dxx
ux
得到 故
1u
duu
2
dxx
2
1x
c
即
1y
cx
1x
2
另外y0也是方程的解。
dy10. x1
dxdx
dy
2
解:令
dydx
p
2
即x
dydx12
1pp
而p故两边积分得到 plnpc
2
y
因此原方程的解为x
1pp
2
,y
12
plnpc。
2
12.ey
dy
x1xe dx
dy
1xe
xy
解:
dx
令 xyu
则 1
dy
dxdxdyduu
1xe1 dxdx
du
即
due
u
xdx 12xc
2
e
u
故方程的解为 exy14.
dydx
12x
2
c
xy1
解: 令xy1u 则1 那么
dydx
dydx
dudx
dudx
1u
duu1
dx
求得: lnu1xc
故方程的解为lnxy1xc 或可写 为xy1cex 16.x1
dydx
12e
y
解:令eyu 则ylnu x1
1u2u1
2u1u
1duudx
2u1
du
1x1`
1x1
dx
c
y
即方程的解为e
2
2
xy
3
2xc
18.4xydx2xy1dy0 解: 将方程变形后得
dydx
4xy
32
2
2xy1
3
dxdy
2xy14xy
2
2
x2ydxdy
14xyx
3
2
2
同除以x得:x
22
2y
14y
2
令zx3 则
dzdy
3
3z2y
34y
2
z
32
ycy
2
2
即原方程的解为x319.X(
dydx
)2y(
2
32
3
ycy
2
2
dydx
)4x0
解:方程可化为2y(
dydx
)x(
dydx
x(
)4x,y
2
dydx
)4xdydx
2
)
2(
令
dydx(p2
p,则y
2
xp
2
4xdpdx
2p2xp
2
,(
x2p2
p2p
2xp
,两边对x求导得p
x22xp
2
p2
3
xdp2dx
2p
2xdpp
22
dx
2p
)(
x2
)
2
)dx(
2
)dp0,(p4p)dx(xp
2
4x)dp0
p(p4)dxx(p
x,y
xc
22
4)dp0p
xc
22
4或pdxxdp0,当p4时y2x,当pdxxdp0时,
p
xc
4x42c
,2yccx
2
2
2xc
4.
dy22
20.y1()1
dx解:令x
dydxd
2xy
psin,则y1(sin)1,yc
xy
2
2
1cos
,dx
y
2
dyp
dysin
2
1sin
2
sincos
d
dcos
2
cos
sec
2
dctgc所以方程的解为(xc)1,另外由p0得y1也
21.(1e)dxe(1解:令dxdy
xy
z则xyz,
z
xy
)dy0zy
z
dxdy
dzdy
方程为(1e)dx(z1)edy,ze1e
xy
zz
zz
(z1)e1e
z
z
ze
z
zze1e
zz
zxy
zy
dzdy
,
1eze
zz
dz
x
dyyc
lnze
2xy
3
lny,y(ze)c,y(y
2
e)c所以方程的解为xye
y
22.dx
3xy
2
4
2
dy0
2
解:2xydx(yMy2xy
Nx
3x)dy0
My
Nx
xy
23
2x,
3
6x,
3xy
22
8x2xyd
1y
2xy)dy0,d
4y
所以方程有积分因子
xy
23
e1y
ydy
4
y
2
4
dx(y
2
4
0所以方程的解为c即xy
2
cy
3
23.ydx(1xy)dy0
解:ydxxdy(1y)dy,两边同除以y得所以方程的解为24.yx(x
xy
2
2
2
ydxxdy
y
2
1yy
2
2
dy,d
xy
1yy
2
2
dy
1y
yc即(x1)y(yc),另外y0也是解。
2
y)xdy0
ydxxdyx
2
2
解:方程可化为
dydx
dy
y
xdx,darctg
xy
xdx所以方程的解为arctg
xy
x
2
2
c.
25.edxx0dy
pt,xte由dypdx得y
t
解:令
t(1e)dtc
t
t
2
etec
tt
25.
dydx
dy
edxx0dydx
pt则xte由dypdx得y
xte,yt
t
t
解:令
t(1e
t
2
t
)dtc
t
t
t
2
2
etec
tt
所以方程的解为:t(1e)dtc
etec
2
26(.2xyx2
y
y
3
2
2
3
)dx(xy)dy0
M
N
My2xx2y2,Nyxx2x,x2y2
1所以方程有积分因子d3ex
x2
ydex
y
3
0所以方程的解为:3exx2yexy3
c
27.
dyx3y4dx
24x6y5
解: 令u2x3y,du23dy23u4dx
dx2u5
,则
du
7u22
dx2u52u5
7u22
dudx,
1
9114
=
7u
222
dx,
7
两边积分得 9lx2y3227
14y(3
2
xc )
即为方程的通解。
另外,7u220,即2x3y227
0也是方程的解。
28. x
dy2
2
dx
y2xy(yx2
)
解: 两边同除以x,方程可化为: dyydx
x
2xy(y2x2
)
令
yx
u,则
xdu2
2
2
dx
uu2ux(uxx
2
)
ex
方程两边同乘
,ex
得
即
dudx
3
2x(uu), 2xdx
3
33
duuu
(
12(u1)
12(u1)
1u
2
1u
3
)du2xdx
两边积分得 1ce
x
4
4
即 x2y2cy2xe 为方程的解。 29.
dydxyxe
lnux
xy
解: 令exyu,则 y,
xdu
lnu, 2
dxx
1dulnulnu
22u 那么
uxdxxx
du
即 2xdx
u12xy
c 两边积分得 xe
2
即为方程的解。
dy
30.
dydx
4x2xy2x3xy6y3y
3
33
2252
解: 方程 (4x2xy2x)dx
4
2
3
2
2
3
(3xy
3
6
22
6y
3
5
3y)d y
2
d(xx)(ydxxdy)d(yy)0
两边积分得 xxyyxy c
1)(y1即 xxc(x )
4
6
2
3
426323
为方程的解。
31. y(xdxydy)x(ydxxdy)0
x解: 方程可化为 yxd
2
3
2
ydyxydx
2
x0d y
两边同除以y,得 xdxydx
2
x(ydxxdy)
y
2
0
1dx即
22
d(xy2
)x
dy
0
令xcos,ysin,则
dcosdctg0
即 d
dsin
sin2
0 两边积分得 1
sin
c
将
1sin
y
代入得,
y
c
即 2(y1)2c2y 2故 (x2y2)(y21)2c2y
dy
1xy
3
32. dx
1x3y
0
3
解: 方程可化为
dyydx
1x1x3
y
22
两边同加上1,得
d(xy)xy(xy)dx
1x3
y
再由d(xy)xdyydx,可知
d(xy)dy(xy)(x2
y2
xy1)
dx
dx
1x3y
将(*)/(**)得
d(xy)d(xy)
xy(xy)x2y2
1
即 duuvdvv2
1
整理得 duu
vv21
dv
两边积分得
cu
即
c(xy)另外,xy0也是方程的解。
*)
(**)
(
33. 求一曲线,使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
解: 设p(x,y)为所求曲线上的任一点,则在p点的切线l在y轴上的截距为: yx由题意得 yx即
dydx
dydx
dydx1x
x y1
也即 ydxxdy d两边同除以x2,得
ydx
x
yx
2
xdy
x
dx
即 d()dl
即 ycxxlnx
为方程的解。
34. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了20秒钟后,艇的速度减至v13米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。
解:Fmam
dvdt
,又Fk1v,由此
dvdtk1v
m即 其中k
k1m
dvdt
kv
,解之得
lnvktc 又t0时,v5;t2时,v3。 故得 k
120ln35
,cln5 3
t20
从而方程可化为 v5()
5
3
120
当t260120时,有 v(20)5()200.23328米/秒
5即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。
35. 一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为k1)的力作用在它上面,此质点又受到介质的阻力,这阻力和速
度成正比(比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的关系。 解:由物理知识得:a
F合m
(其中a为质点的加速度,
F合为质点受到的合外力
)
根据题意:F合k1tk2v
故:m即:
dvdt
dvdt
k1tk2v(k20)
(
k2m
)v
k1m
t
(*)
(*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有
Ve
mdt
k2
(
k1m
e
k2
k2m
dt
dtc)
k2
e
k2m
t
(
k1k2
te
m
t
mk1k
2
2
e
m
t
c)
又当t=0时,V=0,故c=
mk1k
22
k2m
因此,此质点的速度与时间的关系为:V
36. 解下列的黎卡提方程 (1)yexy22yex1e2x
解:原方程可转化为:yexy22e2xyexe3x,
mk1k2
2
e
t
k1k2
(t
mk2
)
(*)
观察得到它的一个特解为:yex,设它的任意一个解为yexz, 代入(*)式得到:由(**)-(*)得:
变量分离得:
d(ez)
dx
dzdxdzz
2
x
e(ez)2e
2
xx22x
(ez)ee
xx3x
(**)
ez
x
x
edx
x
两边同时积分:
1z
ec1ec
x
即:z
1
x
故原方程的解为 yex
ce
(2)yy22ysinxcosxsin2x
解:原方程可化为:yy22ysinxcosxsin2x
由观察得,它的一个特解为sinx,设它的任意一个解为ysinxz,故
dzdx
(2sinx2sinx)zz
2
z
2
即z
1xc
变量分离再两边同时积分得:故原方程的解为ysinx(3)x2yx2y2xy1 解:原方程可化为:yy2
1xy1
1z
xc
xc
1x
2
1x
由观察得到,它的一个特解为
dzdx
1xzz
2
,设它的任一个解为y
1x
z
,故
,该式是一个n2的伯努利方程
1dzz
2
两边同除以z2得到:
dx
11
1 xz
z111,令1u,
zdxxz
du1
u1,根据一阶非齐线性方程的求解公式得: 则:dxx
d
1
即:
ue
1x
dx
(e
1x
dx
dxc)x(cen|x|)
故:z
1x(cen|x|)
1cen|x|
因此:原方程的解为:xy
(4)4x2(yy2)1 解:原方程可化为:yy2
14x
2
1
12x
由观察得到,它的一个特解为是
dzdx
1xzz
2
,设它的任一个解为y
12x
z
,于
,这是n2的伯努利方程
两边同除以z2得到:
1dzz
2
dx
11
1 xz
d
1
即:则:
z111 dxxz
e
1xdx
1z
(e
1x
dx
c)x(cen|x|)
即:z
1x(cen|x|)
2cen|x|
故:原方程的解为:2xy
(5)x2(yy2)2
解:原方程可化为:yy2
2x
2
1
1x
由观察得,它的一个特解为
dzdx
2xzz
2
,故设它的任一个解为y
1x
z
,于是
,这是n2的伯努利方程
1dzz
2
两边同除以z2得到:
dx
21
1 xz
d
1
即:
z211 dxxz
e
2xdx
则:
1z
(e
2x
dx
dxc)
1x
2
(
x
3
3
c)
故:原方程的解为:y
(6)x2y(xy2)20 解:原方程可化为:yy2
4xy
4x
2
3x
3
2
xc
1x
,即xy
2xccx
3
3
.
1xz
由观察得到它的一个特解为
dzdx
2xzz
2
1x
,设它的任一个解为y,于是
,这是n2的伯努利方程
1dzz
2
两边同除以z2得到:
dx
21
1 xz
d
1
即:则:
211 dxxz
e
2xdx
1z1z
(e
2x
dx
dxc)
1x
2
(
x
3
3
c)
从而:
e
2x
dx
(e3x
3
2
2x
dx
dxc)
3
1x
2
(
x
3
3
c)
故原方程的解为:y
1x
xc
3
4xcx(xc)
3
即:xy
4xcx(xc)
3
(7)y(x1)y2(12x)yx
解:由观察得到它的一个特解为y1,故设它的任一个解为y1z,于是
dzdx
z(x1)z
2
,这是n=2的佰努利方程,
dx
1z
(x1)
两边同除以z2得:
1dzz
2
d
1
即:从而:
z1(1x) dxz
e
dx
1z
((1x)e
x
dx
dxc)
x
e(xe
x
c)xce
1xce
x
故原方程的解为:y1z1
习题3.1
1 求方程
dydx
=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解;
解: 取0(x)0 1(x)y0
x
(xy0)dx
2
x
xdx
12
x
2
2(x)y0 3(x)y0
x
0x
[x1(x)]dx
2
x
1221215
[x(x)]dxxx
2220
12152
[x(xx)]dx 0
220
11511811
= x2xxx
2201604400
2 求方程
dydx
=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解;
解: 令0(x)0 则 1(x)y0
2
xx11152
2(x)y0[x1(x)]dx[x(x2)2]dxx2x
002220
x
(xy0)dx
2
x
xdx
1
x
2
3(x)y0 =
12
2
x
12152[x(xx)]dx
2201x
5
11
x
1160
20
x
8
14400
x
3 题 求初值问题:
dy2
x
R:x11,y1 dx
y(1)0
的解的存在区间,并求解第二次近似解,给出在解的存在空间的误差估计; 解: 因为 M=max{x2y2}=4 则h=min(a, 则解的存在区间为xx0=x(1)=x1 令 0(X)=0 ;
x
bM
14
)=
14
1(x)=y0+(x0)dx=
2
x0
x
13
x3+;
3
4
7
1
2(x)
f(x,y)y
=y0+[x(x)]dx=x-2
3
2
1
111
3
x9
333
-
x
18
-
x
63
+
1142
又 2=L
则:误差估计为:2(x)(x)
M*L(21)
22
h
3
=
1124
4 题 讨论方程:
dydx
32
1
y3
在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,
并求通过点(0,0)的一切解; 解:因为
1
f(x,y)y
=
12
2
y
3
在y0上存在且连续;
而
32
y3在y0上连续
3
由
dydx
32
1
y3
有:y=(x+c)2
3
又 因为y(0)=0 所以:y=x2 另外 y=0也是方程的解; 故 方程的解为:
32y=x
0
x0x0
或 y=0;
6题 证明格朗瓦耳不等式:
设K为非负整数,f(t)和g(t)为区间t上的连续非负函数, 且满足不等式:
t
f(t)k+f(s)g(s)ds,t
t
则有:f(t)kexp(g(s)ds),t
t
证明:令R(t)=f(s)g(s)ds,则R'(T)=f
R'(T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t)
kg(t)R'(T)- R(t)g(t)kg(t);
t
两边同乘以exp(-g(s)ds) 则有:
t
t
R(T) exp(-g(s)ds)-R(t)g(t) exp(-g(s)ds)
'
t
kg(t) exp(-g(s)ds)
两边从到t积分:
t
t
t
R(t) exp(-g(s)ds)-kg(s)dsexp(-g(r)dr)ds
t
t
即 R(t) kg(s)ds exp(-g(r)dr)ds
ts
t
又 f(t) 1k+R(t) k+kg(s)exp(-g(r)dr)ds
t
s
s
k(1-1+ exp(-g(r)dr)=k exp(g(r)dr)
s
t
t
即 f(t) kg(r)dr;
7题 假设函数f(x,y)于(x0,y0)的领域内是y的 不增函数,试证方程
dydx
= f(x,y)满足条件y(x0)= y0的解于x x0一侧最多只有一个解;
证明:假设满足条件y(x0)= y0的解于x x0一侧有两个(x),(x) 则满足:
x
(x)= y0+f(x,(x))dx
x0x
(x)= y0+f(x,(x))dx
x0
不妨假设(x)(x),则(x)- (x)0
xx
而(x)- (x)= f(x,(x))dx-f(x,(x))dx
x0
x
x0
=[f(x,(x))f(x,(x))dx
x0
又因为 f(x,y)在(x0,y0)的领域内是y的 增函数,则: f(x, (x))-f(x, (x))0
x
则(x)- (x)= [f(x,(x))f(x,(x))dx0
x0
则(x)- (x)0
所以 (x)- (x)=0, 即 (x)= (x)
则原命题方程满足条件y(x0)= y0的解于x x0一侧最多 只有一个解;
习题3.3
1.Proof若(1)成立则0及0x0,(,0),使当 |0||y(,x0,y0)|
dy
f(x,y)
时,初值问题 dx
y()y(,x,y)
0000
的解y(x,0,0)满足对一切x0有|(x,0,0)|,
由解关于初值的对称性,(3,1)的两个解yy(x,x0,y0)及y(x,0,0)都过点
(x0,y0),由解的存在唯一性
y(x,x0,y0)(x,0,0),当x0时
故|y(x,x0,y0)|,x0
若(2)成立,取定0x0,则0,1(,0)(),使当 |y(,x0,y0)|1