恒力做功与变力做功
一，恒力做功的计算
一个恒力F 对物体做功W=Fscosα有两种处理方法：一种是W 等于力F 乘以物体在力F 方向上的分位移scos α，即将物体的位移分解为沿F 方向上和垂直F 方向上的两个分位移s 1和s 2，则F 做的功W=F•s 1cos α。另一种是W 等于力F 在位移方向上的分力Fcos α乘以物体的位移s ，即将力F 分解为沿s 方向上和垂直s 方向的两个分力F 1和F 2，则力F 做的功W=F1cos α•s 。
例1 如图所示，光滑水平面上有木板B 长为L ，在B 上放一木块
A ，现给A 冲量使A 向右运动，由于A 、B 间存在摩擦力F ，B 也向
右运动，在B 向右运动s 的过程中，A 恰好运动到B 的右端，求摩擦
力对A 、B 两物体做的功。
分析：A 、B 间摩擦力为恒力，可用定义式W=F•scos α求。但要注意A 、B 间位移的关系。
解：在B 前移s 的过程中，A 的位移为s A =s+L，摩擦力对A 做的功W A =FA s A cos1800=－F （s+L），摩擦力对A 做负功。
摩擦力对B 做的功W B =FB s B cos00=Fs，摩擦力对B 做正功。
点评：上题中，A 、B 间的摩擦力FA 、FB 为作用力和反作用力，它们做的功显然不相等，代数和也不为零，同时注意到力对哪个物体做功，位移就必须用哪个物体的位移，摩擦力可做正功，可做负功可也可不做功。
例2 如图1-1所示，恒力F 拉细绳使物体A 在水平地面上产生位移s ，恒力的方向与水平面成θ角，求此过程中恒力对物体所做的功。
解法一：尽管物体的位移为s ，但恒力F 作用点的位移却与s 不同，根据功的定义，需确定出力的作用点移动的距离，由图1-2可知，恒力作用点的位移为L ，据几何关系有，L =2s cos
所做的功为：
θ2，所以恒力W =FL cos θ=F ⋅2s cos cos =2Fs cos 22222θθθ
解法二：因为本题中只有恒力对物体做功，所以做功做成可等效为如图1-3所示的情况，看成是作用在物体上的两个力使物体发生的位移，分析求出这两个力的功，再求两功的代数和即可得出恒力F 对物体所做的功。按照上述思路，根据图1-3的情景进行计算，则有：
2θW =Fs +Fs cos θ=Fs (1+cos θ) =2Fs cos 2
点评：当力对物体做功时，对于物体的位移与力的作用点的位移相一致时，可以直接根据功的定义进行计算，但对于本例题这样力的作用点的位移与物体的位移不一致的问题，则要进行具体分析。 二，变力做功的计算
1，W=Fscosα只能用来计算恒力的功，若是变力，求变力的功只有通过将变力转化为恒力，再用W=Fscosα计算。
2，有两类不同的力：一类是与势能相关联的力，比如重力、弹簧的弹力、以及电场力等，它们的功与
路径无关，只与位移有关或者说只与始末点的位置有关，另一类是滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线
运动或往返运动时，这类力的功等于力和路径（不是位移）的乘积。
3，当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和，即微元法。
4，求出变力F 对位移的平均力来计算，当变力F 为位移s 的线性函数时，平均力F =F 1+F 2. 2
5，作出变力F 随位移s 变化的图像，图像与位移轴所围的“面积”即为变力所做的功。
6，当某力做功的功率P 一定时，该力在时间t 内做的功可由W=Pt求出。
7，根据功和能的关系，如动能定理、功是能量转化的量度，通过求能的变化来求变力的功。 例3 如图2-1所示，用恒力F 通过光滑的定滑轮把静止在水平面上的物体
从位置A 拉到位移B ，物体的质量为m ，定滑轮离水平面的高度为h ，物
体在水平位置A 、B 时细绳与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，求绳的拉力
对物体做的功。
解析：人拉绳的力是恒力，但绳拉物体的力的方向不断变化，故绳拉物体
的力F ’是变力，但此力对物体所做的功与恒力F 所做的功相等，力F 作用
的位移与物体的位移相关连，即s =h (11-) ，则细绳对物体的拉sin θ1sin θ2
力F ’所做的功为：W =W F =Fh (' 11- sin θ1sin θ2
例4 如图2-2所示，长度为l 、质量为m 的均匀细绳，一段置于水平的光滑桌面上，另一段a 垂于桌面下，当绳下滑全部离开桌面时，求重力所做的功。
分析：开始使绳下滑的力是a 段绳所受的重力，此后下垂的绳逐渐增大，使绳下滑的力也逐渐增大，且随下垂段的增长成线性增大，这是一个变力做功的问题，可用图像法分析。
解：设绳的质量为m ，开始使绳下滑的力是a 段绳所受的重力F =a mg ，当绳全部离开桌面时，绳l
下滑的位移是l-a ，且此时下滑力是整条绳所受的重力mg 。在此区间使绳下滑的重力均匀地增加，如图2-3所示。那么，重力做的功在竖直上就等于图线所包围的梯形面积，即
1a mg (l 2-a 2) W =⋅(mg +mg ) ⋅(l -a ) = 2l 2l
例5 电动机通过一绳吊起一质量为8kg 的物体，绳的拉力不能超过120N ，电动机的功率不能超过1200W ，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m （已知此物体在被吊高90m 时已开始以最大速度匀速上升）所需的时间为多少？
分析：本题可分为两个过程来处理，第一个过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体匀加速上
升，第一个过程结束时，电动功率刚到达电动机的最大功率。第二个过程是电动机一直以最大功率拉
物体，拉力逐渐减小，物体变加速上升，当拉力减小至等于重力时，物体开始匀速上升。 在匀加速运动过程中，加速度a =
匀加速运动的末速度v 1=
匀加速上升时间t 1=F m -mg 120-8⨯10=m /s 2=5m /s 2 m 8P m 1200=m /s =10m /s F m 120v 110=s =2s a 5
v 10匀加速上升高度h 1=1t 1=⨯2m =10m 22
在功率恒定的上升过程中，最后匀速运动的速度v m =
此过程外力对物体做的总功W =P m t 2-mgh 2
由动能定理W =∆E K 得P m t 2-mgh 2=P m P m 1200==m /s =15m /s F mg 8⨯101212mv m -mv 1 22
代入数据解得t 2=5.75s
所需时间最少应为t=t1+t2=(2+5.75)s=7.75s。
随堂练习
1、 一质量为 m的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点。小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图所示，则拉力F 所做的功为
A. mg l cos θ B. mg l (1－cos θ) C. F l cos θ D. F l sinθ
2、如图2所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为：
A、 0J B、20πJ C 、10J D、20J.
3、一辆汽车质量为10kg ，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的
3距离变化关系为F=10x+f0，f 0是车所受的阻力。当车前进100m 时，牵引力做的功是多少？
5
4、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比. 在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm。问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
5、如图，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的滑块，距挡板P 为s 0，以速度v 0沿斜面上滑，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力，若滑块每次与挡板相碰均无能量损失，求滑块在斜面上经过的总路程是多少？
6、如图4所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为0.8m ，BC 是水平轨道，长L=3m，BC 处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。
巩固练习
1、一滑块在水平地面上沿直线滑行,t=0时其速度为1 m/s.从此刻开始滑块运动方向上再施加一水平面作用力F, 力F 和滑块的速度v 随时间的变化规律分别如图a 和图b 所示。设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F 对滑块做的功分别为W 1、W 2、W 3, 则以下关系式正确的是（ ）
A. W1=W2=W3 B.W 1
2、如图，两个与水平面夹角相同的力F 1和F 2作用在质量相等的物体上，使物体在水平面内做匀速直线运动。甲图中F 1为拉力，乙图中F 2为推力，当两物体经相同位移时，F 1和F 2对物体做功分别为W 1和W 2，若两物体与水平面的动摩擦因数相同，则（ ）
A ．W 1>W2 B ．W 1=W2 C ．W 1
3、一辆汽车在平直公路上从速度v0开始加速行驶，经时间t 后，前进了距离s, 此时恰好达到其最大速度vmax, 设此过程中发动机始终以额定功率P 工作，汽车所受阻力恒为F, 则在这段时间里，发动机所做的功为
A.Fs B.Pt C. v +v 01212 D. F ⋅m mv m +Fs -mv 0⋅t 222
4、人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量为m 的物体。如图所示，已知人拉绳子从A 到B 的过程中，物体由静止被提升了高度为h ，且人在B 处时，物体的速度为v ，求人在整个过程中拉力做的功的大小是多少？（忽略人的高度）
5、如图，斜面高H ，倾角为θ，滑块质量为m ，与斜面的动摩擦因数为μ，计算滑块由上端滑到底端过程中外力对物体做的总功。
6、如图甲，质量为m 的物块与倾角为θ的斜面相对静止，当斜面沿水平面向左匀速运动位移s 时，求物体所受重力、支持力、摩擦力做的功。