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变系数统计模型研究进展
作者：张辉国
来源：《科技视界》2014年第07期
【摘 要】本文对非参数回归统计分析领域内提出的变系数回归模型和空间变系数回归模型及其相关研究进展作了较全面的回顾，简要介绍了变系数回归模型和空间变系数回归模型的基本理论，梳理了近20年内两类非参数回归分析技术在模型设定、估计方法以及统计推断理论等方面的研究脉络，还着重讨论了两类回归模型亟待解决的问题和未来的研究方向。
【关键词】非参数回归分析；变系数回归模型；空间变系数模型；空间数据
线性回归模型是分析变量间相依关系的强大统计方法，被广泛应用于众多领域。Hastie 和 Tibshirani[1]通过设定线性模型的参数为某些协变量的非参数函数，提出了变系数模型
（varying coefficient models）用于探索高维数据回归结构的动态模式。变系数模型极大扩展了经典线性回归模型， 此后近二十年内，变系数模型被深入研究，并被应用于许多学科领域，如环境科学、生态学、计量经济学、金融学和医学等[2]。
1 变系数回归模型及其研究进展
变系数模型兼具线性回归模型良好的解释性和非参数回归模型的灵活性，在探索回归关系动态特征方面是一个强有力工具。变系数模型能够显著减少模型设定的偏误（modeling
bias ），并且能有效避免“维数灾难”[3]（curse of dimensionality）。因其良好的适应性和解释能力，变系数模型被用于分析纵向数据（longitudinal data）、函数型数据（functional data）、生存数据（survival data）以及时间序列（time series data）等。此外，以变系数模型为基础还发展了一系列有着广泛应用背景的衍生模型，包括广义变系数模型和半变系数模型 （semi-varying coefficient models）等。关于变系数模型的统计推断理论及其在众多学科领域的实际应用可参见Park 等的综述[4]。
变系数模型将回归系数估计的变化特征作为反映解释变量与响应变量动态关系的主要证据。因此在变系数模型统计推断的研究中，两个检验问题极其重要：
1）变系数模型中的系数函数是否真的变化？亦即需要检验模型系数是否为常数；
2）如果某个系数是变化的，那么它是如何变化的？亦即需要探索系数函数变化的细部特征，例如函数的单调性、凹凸性、峰值、谷值和拐点等变化特征。
大量研究工作都致力于解决第一个问题，如关于系数估计的逐点置信区间（pointwise confidence intervals）以及邦弗伦尼置信带（Bonferroni-type confidence bands）的研究以及关于变系数模型和广义变系数模型系数估计的联合置信带（simultaneous confidence band）的研究
[5]。此外，还提出了利用拟合优度方法（goodness-of-fit tests）检验变系数模型系数是否为常