《二次根式》分类练习题
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义： 形如
的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义．
【典型例题】
【例1】下列各式1
其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A
D
2
______个
【例2】
有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：
1、使代数式
x -3
有意义的x 的取值范围是（ ） x -4
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
A、x>3 2
x 的取值范围是
3、如果代数式-m +
1mn
有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
【例3】若y=x -5+-x +2009，则x+y=
解题思路：式
子a ≥0），⎨
⎧x -5≥0
, x =5，y=2009，则x+y=2014
⎩5-x ≥0
举一反三：
1
=(x +y ) 2，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B．1 C．2 D．3
2、若x 、y 都是实数，且y=x -3+3-2x +4，求xy 的值
3、当a
1取值最小，并求出这个最小值。
已知a
b 是
a +
1
的值。 b +2
若的整数部分是a ，小数部分是b ，则a -b = 。 若的整数部分为x ，小数部分为y ，求
x 2+
1
y 的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：a (a ≥0) 是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. a ) 2=aa (≥0) ．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a =a ) 2(a ≥0)
a (a ≥0) ⎧ 3. a 2= 注意：（1）字母不一定是正数． |a |=⎨
-a (a
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
a (a ≥0) ⎧
4. 公式a 2=与a ) 2=aa (≥0) 的区别与联系 |a |=⎨
-a (a
（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）(a ) 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和() 2的运算结果都是非负的．
【典型例题】
a -2(c -4)=0，a -b +c =
【例4】
若则 ．
2
举一反三：
1、若m -3+(n +1) 2=0，则m +n 的值为。
2、已知x , y 为实数，且x -1+3(y -2)=0，则x -y 的值为（ ）
2
A ．3 B ．– 3 C ．1
2
D ．– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x －4｜＋
4、若
y 2-5y +6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
a -b +
1
互为相反数，则(a -b )
2005
=_____________
。
（公式(a ) 2=a (a ≥0) 的运用）
2
【例5】
化简：a -1+的结果为（ ）
A 、4—2a B、0 C、2a —4 D、4
举一反三：
1、 在实数范围内分解因式:
x
2
-3；m 4-4m 2+
4x 4-9=__________,x 2-+2=__________
2、
1
3、
⎧a (a ≥0)
（公式a 2=a =⎨的应用）
-a (a
【例6】已知x
A 、x -2
B、x +2
C 、-x -2
D 、2-x
举一反三：
1
( )
A ．-3 B．3或-3 C．3 D．9
2、已知a
2a │可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
3、若2 a
3
）
A. 5-2a B. 1-2a C. 2a -5 D. 2a -1 4、若a －3＜0，则化简
a 2-6a +9+4-a
的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－
2a 5
得（ ）
2
（A ） 2 （B ）-4x +4 （C ）－2 （D ）4x -4
a 2-2a +1a 2-a 6、当a ＜l 且a ≠0时，化简＝ ．
7、已知a
【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │
的结果
等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：
a -1+=______．
【例8】
化简1-x 2x -5，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1
举一反三：
2，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．a ≥4
Ｂ．a ≤2
Ｃ．2≤a ≤4
Ｄ．a =2或a =4
【例9】如果a +a 2-2a +1=1，那么a 的取值范围是（ ）
A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1
举一反三：
1
、如果a =3成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
A . a ≤0B . a ≤3; C . a ≥-3; D . a ≥3
2
2、若(x -3) +x -3=0，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x >3 （B ）x
【例10】化简二次根式a -
a +2
的结果是 2
a
（A ）-a -2 (B)--a -2 (C)a -2 (D)-a -2
1、把二次根式a - A. -a
1
化简，正确的结果是（ ） a
B. --a C. -
D.
2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，
b
x
x ＝ ；(a -1)
1
＝
1-a
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例11】在根式
） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。
举一反三：
1
1、45a , , 2, 40b 2, 54, (a 2+b 2) 中的最简二次根式是。
2
2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） ．．A
B
C
．
D
3、下列根式不是最简二次根式的是( )
C.
4
4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
3ab
2x 2+y 2xy 3a b 2 (1) (2) (3) (4)a -b (a >b ) (5) (6)
5、把下列各式化为最简二次根式：
2
45a b (3) (1) (2)
x 2
y
x
【例12】下列根式中能与是合并的是( )
A. 8 B. 27 C.2 D.
1 2
举一反三：
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A
23；③
2
；④3
2、在二次根式：①；② 是 。
3、如果最简二次根式
27中，能与3合并的二次根式
a -8与-2a 能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
知识点四：二次根式计算——分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
=
a
a -b 与a -b 等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a +
与a
，
，
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
【例13】 把下列各式分母有理化
（1
（2
（3
（4
）
【例14】把下列各式分母有理化
（1
（2
（3
） （4
）
【例15】把下列各式分母有理化：
（1
（2
（3
举一反三：
1
、已知x =
2、把下列各式分母有理化：
x +y 22
y =，求下列各式的值：（1）（2）x -3xy +y
x -y
（1
（3
a ≠b ) （2
小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①③
与
与
； ②
； ④
与
与
； ．
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除
【知识要点】
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还
要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
【典型例题】
【例16】
化简
⋅2x ≥0, y ≥0⨯23 【例17】计算（1）
（2） （3） （4）
（5）
（
6） （7
） （8）
【例18】化简：
(a >0, b ≥0) (x
≥0, y >0) (x ≥0, y >0
)
【例19】计算：
（4
=
成立的的x 的取值范围是（ ） 【例20】A 、x >2 B、x ≥0 C、0≤x ≤2 D、无解
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
【知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【典型例题】
【例20】计算（1
）
（3
⎛- （2
） ； ⎝ （4
）+
【例21】 （1
）（2
a -b
⎛+- （3
a 3（4
） 2- ⎝
（5
5
（6
知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
【知识要点】 1、确定运算顺序；
2、灵活运用运算定律；
3、正确使用乘法公式；
4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
【典型习题】
1、
233b 2 2、12 +4ab 5⋅(-a b ) ÷32 b 2a 1
－348 ) 8
13
、 3
1
（6、(72+22+) ⋅3-76
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知识点八：根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法 当a >0, b >0时，①如果a >
b >a
b
2、平方法 当a >0, b >0时，①如果a 2>b 2，则a >b ；②如果a 2
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①a -b >0⇔a >b ；②a -b
a >1⇔a >b a
8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①b ； ②b
【典型例题】
【例22】
比较
与（用两种方法解答）
【例23】
【例24】
【例25】
的大小。
【例26】
33的大小
第12页—总12页 的大小。