北 京 四 中
编 稿：王润岚 审 稿：谷 丹 责 编：赵云洁
列一元二次方程，分式方程，分式方程组解应用题
一、内容综述：
1．列方程解应用题的一般步骤是：
（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。
（2）设未知数：根据题意，可直接设未知数，也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。
（3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。
（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。
（5）检验答案：解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意，最后做出符合题目要求的答案。
在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。
在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：
（1）方程两边表示同类量
（2）方程两边的同类量的单位一样
（3）方程两边的数值相等
二、例题分析：
例1．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券低2个百分点，到期后某人的乙种债券可兑换人民币108元，求甲种债券的年利率。
分析：利息=本金×利率×存期
本息=本金+利息
甲种债券利息×（1+乙种债券利率）×存期=108
解：设甲种债券的年利率为x，依题意，甲种债券的利息为1000x元，乙种债券的年利率为x-0.02，则
1000x(1+x-0.02)=108
整理得：250x2+245x-27=0
(10x-1)(25x+27)=0
x1=0.1 x2=-
∵x2=-
不合题意，舍去
∴x=0.1=10%
答：甲种债券的年利率为10%。
例2．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度
元交费。
（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况： 月份
用电量（度）
交电费总数（元）
3月
80
25
4月
45
10
根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？
分析：本题是原于现实生活中的经济问题，情景熟悉，但问题有障碍，不能直接看出问题的答案，必须认真阅读和思考。
问题（1）较简单，超过部分应交电费
(90-A)元，问题（2），从表中看到，45
10+
(80-A)=25
整理得，A2-80A+1500=0
解得：A1=50 A2=30
但A2=30
∴A=50
解略。
例3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
解：设每件衬衫应降价x元，
由题意可得：
(40-x)(20+2x)=1200
整理，得x2-30x+200=0
x1=10 x2=20
根据题意x=10不合题意，舍去
所以x=20
答：每件衬衫应降价20元。
说明：此题是一元二次方程在市场经济中的应用，利用已知条件，列方程，解方程都比较简单，但得出方程的根后，考查它们是否符合题意是个难点，已知中有“尽快减少库存”的要求，而每降低1元，则平均每天可售出2件，所以x=10，不合题意舍去。
例4．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的
，厂家需付甲、丙两队共5500元。
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。
分析：此题是用数学知识解决简单的生产问题，这也是初中数学的教学目的。
第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间。
第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少 钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少。
解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成
由题意可得：
解这个方程组得：
经检验此解是所列方程组的解
答：甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成。
（2）设付给甲队一天a元，付给乙队一天b元，付给丙队一天c元。
解这个方程组得
又∵规定时间要求不超过15天
∴不能用丙队，
∵10a=8000（元） 15b=9750（元）
答：由甲队单独完成此工程花钱最少。
说明：数学教学新大纲中要求“能够运用所学知识解决简单的实际问题”。能够解决实际问题是指：能够解决带有实际意义和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用数学语言表达问题，展开交流，形成用数学解决实际问题的意识，以上四题就反映了新大纲要求，这种形式的问题频繁出现在近两年的中考试卷中，这应引起我们的重视。
例5．A、B两地间的路程为15千米，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲，乙两人同时到达B地？
分析：此题是行程问题，行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程，并且路程=速度×时间。此题若间接设元，设甲步行每小时走x千米，乙骑自行车每小时走(x+10)千米，又已知AB两地路程为15千米，则可利用甲乙所用的时间找等量关系。
解：设甲步行每小时走x千米，
则乙骑车每小时走(x+10)千米
由题意得：
+1=
整理得：x2+25x-150=0
解这个方程得：x1=5,x2=-30
经检验：x1=5,x2=-30都是所列方程的根，
但x=-30不合题意舍去
∴x=5
这时 15÷5=3（小时）
答：上午9点整，甲、乙两人同时到达B地。
例6．甲、乙两车同时从A地出发，经过C地去B地，已知Ｃ、Ｂ相距180千米，出发时，甲每小时比乙多行5千米，因此，乙经过C地比甲晚半小时，为赶上甲，乙从C地将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B，求两车出发时速度？
分析：解决此题的关键是：从C地到B地，甲比乙多走半小时。
解：设乙速为x千米/时。
则甲速为(x+5)千米/时
-
=
整理得：x2+15x-1750=0
解这个方程：x1=35, x2=-50
经检验：x1=35,x2=-50都是所列方程的根
但x=-50不合题意，舍去
∴x=35
∴x+5=35+5=40
答：甲出发时速度为40千米/时，乙出发时速度为35千米/时。
例7．甲乙两人分别从A、B两地同时同向出发，甲经过B地后，再经过3小时12分在C地追上乙，这时两人所走的路程和为36千米，而A、C两地的距离等于乙走5小时的路程，求A、B两地的距离？
分析：此题间接设元比较方便，如可设甲、乙两人速度分别为x千米/时，y千米/时，可以利用“两人所走的路程和为36千米”及“甲从A到C所用的时间与乙从B到C所用的时间相等”这两个等量关系建立方程组。
解：设甲速为x千米/时，乙速为y千米/时
则AC长5y千米，BC长为
x千米（3小时12分=
小时）
AB长(5y-
x)千米
由题意可得
解这个方程组得：
经检验它们都是所列方程组的解
又∵
不合题意舍去
∴
∴ 5y-
x=5×4-
=4
答：A、B两地长4千米。