二元一次不定方程的通解

七年级下册学习了二元一次方程组，有一类题是求二元一次方程的整数解的问题，这在数学上有一专门名称叫做“不定方程”。如下题：

二元一次方程x+2y=6的正整数解的个数是（）

A.4个 B. 3个C.2个 D.1个

初中阶段这个问题，都是用的“枚举法”。但是为了防止遗漏，我们现在要系统解决这个问题，就需要研究二元不定方程的通解。

当我们通过观察找出了该方程的一对特解x=x0y=y0后，就可以写出该方程的所有解了。

∵ ax+by=c„„①

ax 0+by0=c„„②

① -② ∴a （x-x 0）+b（y-y 0）=0

即a （x-x 0）=b(y0-y)

设a 、b 互质，那么，x-x 0必含因子b ，y 0-y 必含因子a 。 ∴x-x 0=kb，y 0-y=ka（k∈Z）

∴不定方程的通解为0+bky=y0-ak （k ∈Z ）

以上题为例，x+2y=6的一对特解为，则该方程的通解为（k ∈Z ）数解，故

2+2k＞0

2-k ＞0（k ∈Z ）得 -1＜k ＜2（k ∈Z ）,

∴k=0,1

x=2 ∴对应的解有两个：k=0时，

y=2；k=1时，. ∴选择C 。

这就系统解决了不定方程的相关问题。避免了解的遗漏问题。当然这不属于教学内容，可作为课外知识给学有兴趣、学有余力的学生研究。

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