材料力学课后参考答案

2-1求图中所示各杆指定截面上的轴力，并绘制轴力图。 解：

a) b)

F

F

c) d)

2kN

题2-1图

2-2 求下图所示各个轴指定截面上的扭矩,并绘制扭矩图 解：

a) b)

2kN·m

20kN·m

题2-2图

2-3图中传动轴的转速n=400rpm,主动轮2输入功率P2=60kW,从动轮1,3,4和5的输出功率分别是P1=18kW, P3=12kW, P4=22kW, P5=8kW,试绘制该轴的扭矩图. 解:

T19549T2T3T2T2

18

429.7Nm40060

95491432.4Nm

400

12

9549286.5Nm

40022

9549525.2Nm

4008

9549191Nm

400

429.7N·m

题2-3图

2-4 求图中所示各梁指定截面上的剪力和弯矩,设q和F均为已知.

a )

b)

A

ql

B

ql2/2

c)

d)

A

FQ图

M图

FQql

M图

题2-4图

2-5试绘制下图所示各梁的剪力图和弯矩图,并求出剪力和弯矩的最大值.设F q l均为已知.

a)

b)

AFQ

FQ图

2M图

M图

c)

d)

FQM图

FQ图

M图

e) f)

FQ

ql2/2

M图

ql2

/8

ql

FQM图

g)

h)

FQ

9ql2/128

FQM图

题2-5图

2-6不列方程,绘制下面各梁的剪力图和弯矩图,并求出剪力和弯矩绝对值的最大值.设F、q、l均为已知。

a)

b)

M图

FQ

M图

FQql

M图

ql/2

2

c) d)

FQ图M图

FQ图

Fl

M图

2

e) f)

FQ图M图

FQM图

题2-6图

2-7绘制下图所示各梁的剪力图和弯矩图,求出|FQ|max和|M|max,并且用微分关系对图形进行校核.

a) b)

FQ图

FQ图

M图

Fl

M图

c)

d)

FQ图

M图

FQ2M图

题2-7图

2-8试判断图中所示各题的FQ，M图是否有错，如有错误清指出错误原因并加以改正。

a） b） c）

A

FQ图

M图

FQ图

FQ图

M图

MA

/l

Fl

M图

d） e)

FQ图

FQ图M图

M图

题2-8图

2-9 试根据剪力图，作出结构的支承（支承在A、C截面）和载荷情况图（梁上无集中力偶作用）

a) b)

FFQF/3F/3

题2-9图

2-10 已知梁的弯矩图如下，试分别在梁上绘出所受之外载荷（包括外载荷的类型、大小、方向）及剪力图，F,l为已知

a) b)

c)

FQF

FQFM图

FQM图

题2-10图

2-11 作图中所示各梁的剪力土和弯矩图

a) b)

FQ

题2-11图

2-12 写出图中所示各曲杆的轴力、剪力和弯矩的方程式，并作弯矩图。设曲杆的轴线均为圆形。 解a) 0

2

FNFcos



FQFsinMFr(1cos)

FNFcosFcos

FQFsinFsin

MFr(1cos)Fr(1cos)

2



下面是轴力、剪力、弯矩图

F

题2-12a图

解b)：由于结构对称，仅考虑上半部分。 AB段：FN0，FQqx，M

12qx 2

BC段：FNqrcos，FQqrsin，Mqr2(sin)。

当

2

时，Mmax

32

qr 2

M 图

题2-12b图

解c):如图所示约束反力,FAy当0当

F, FBxF,FBy

F。



4

时：FN

2Fcos， FQ

Fsin，M

2Fr(1cos)



4

时：FNFcosFsin()， FQFr(1cos)Frsin()

FsinFcos()，

M

按下表描图画出M图：

M 图

题2-12c图

2-13 作图2-44所示刚架的弯矩图

解a): FAx=3ql, FAy=2.25ql, FBy=2.25ql,

M 图

题2-13a图

解b): FAx=0, FAy=1.25ql, M=0.25ql2,

M 图

题2-13b图

解c): FAx=3kN, FAy=3kN, FCy=5kN

M 图(单位:kNm)

题2-13c图

解d): FAx=F, FAy=

24F, FBy=F 33

M 图

题2-13d图

3-1求图中所示杆各个横截面上的应力，已知横截面面积A=400mm2。 解a):

20103

150MPa

400

20

40103

3100MPa

400

题3-1a)图 解b):

20103

150MPa

400

2左50MPa

2右

1010

25MPa400

3

20kN

3左25MPa3右

50103125MPa 题3-1b)图

400

3-2图中为变截面杆，如果横截面面积A1=200mm2，A2=300mm2，A3=400mm2，求杆内各横截面上的应力。 解a）:

10103

150MPa

20020103

266.7MPa

30040103

3100MPa

400

解b):

题3-2a)图

30kN

10

10103

233.3MPa

30030103

375MPa

400

题3-2b)图

3-3 图示杆系结构中，各杆横截面面积相等，即A=30cm2，载荷F=200kN。试求各杆横截面上的应力。

解:(1)约束反力:

FAYFAX

FDy

3

F150kN43

F150kN 4

F200kN

(2)各杆轴力

FNABFAY150kN(拉)FNACFAX200kN(拉)FNCDFD150kN(压)

22

FNACFNACFNCD20021502250kN(压)

题3-3图

(3)各杆的正应力

150103200103AB50MPa(拉),AC66.7MPa(拉)

300300

33

1501025010CD50MPa(压),AC83.3MPa(压)

300300

3-4钢杆CD直径为20mm，用来拉住刚性梁AB。已知F=10kN，求钢杆横截面上的正应力。

解:

F(11.5)

FNCD35.4kN

1cos45o

FNCD35.4103

CD112.7MPa(拉)

2d20244

题3-4图

3-5图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm和20mm，试求两杆内的应力。设结构的横梁为刚体。

CX

AFFBy解:取BC段分析，

题3-5图

M

B

0,

FCx0,FCy0,FBY10kN

取AB段分析:

M

B

0,

F110kN,F220kN

1

Fd12



10103

4

127.4MPa,

4

102

2

F2d2



20103

4

63.7MPa

4

202

3-6 直径D50mm的圆轴，受到扭矩Mx2.15kNm的作用。试求在距离轴心10mm处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。 解:见例3-3

3-7 阶梯圆轴上装有三只齿轮。齿轮1输入功率P130kW，齿轮2和齿轮3分别输出功率

P217kW,P313kW。如轴作匀速转动，转速n

200rpm，求该轴的最大切应力。

1

题3-7图 解:

T19549T29549T39549Wp1

P301

95491432.35Nmn1200P179549811.67Nmn2200P3139549620.68Nmn3200

d13

403

161616M620.68103M1432.35103

149.42MPa,221.28MPa

WP112560WP267313.75max不在Mmax的截面上

3-8 设圆轴横截面上的扭矩为Mx，试求四分之一截面上内力系的合力的大小、方向和作用点。

12560mm,WP2

3

703

67313.75mm3

解: 题3-8图

取dAdd

FYAcosdA

4

d

2200





32Mx

cosdd4

d

2

4Msin4Md

03d3d

d

32Mx

FVxAsindA22sindd

00d4

4





4Mxcos4Mx

d

03d3d

42Mx2

FF2Fxy

3d

M3d

FCXc

41622

3-9图中所示一个矩形截面的悬臂梁，受到集中力和集中力偶的作用，试求1-1截面和固定

端截面上A、B、C、D四点的正应力，已知F=15kN，M=20kN·m 解: 1-1截面上

1803003

IZ4.05108mm4

12My20106150A7.41MPa 8

IZ4.0510

B3.71MPa,C4.94MPaD7.41MPa

固定端截面上:

6



A

2510150

9.26MPa8 题3-9图 4.0510

B4.63MPa,C6.17MPa,D9.26MPa

3-10 图中所示铸铁梁，若h=100mm，δ=25mm,欲使最大拉应力与最大压应力之比为1/3，试确定b的尺寸。 解:

根据分析知，梁截面上压下拉。如图对截面建立坐标系，h1位形心位置752525)b25h1

7525b25

4687.512.5b 

75bMh1M(100h1)

则拉压

IzIz

7525(又

拉

1/3压

b225mm

题3-10图

3-11

（1）（2

解：m-m1602090]58.910mm （1） Iz12[

1212

'

max

My

17MPa Iz1

160203204032

1602090]4020602（2）Iz22[

1212

''

max

58106mm4

My

17.3MPa Iz2

3-12试计算在图中所示均布载荷作用下，圆截面简支梁内最大正应力和最大切应力，并指出它们发生于何处?

解:

max

MM3212.5106101.2MPa

WZd2

502432

max

4FQ45103

23.4MPa

3d350244

最大正应力发生在梁中点截面的A、B两点，

最大剪应力发生在梁中点截面的CD直径上。 题3-12图

3-13 试计算图中所示工字型截面梁内的最大正应力和最大切应力。 解:

No.16

maxMAX

MmaxIZ

208010142MPa

1130104

6

1510

18.1MPa

IzbZ

b13.8106*SZ

FQS

*Z

FQ

3

FQ



800N

55*

Sm105()250mm3

2255

SZ10(5)[(5

)/2]281.25mm3

22

10153

I

Z2812.5mm4

12

题3-14图

1

*FQSm

IZb



FS281.25800250800

8MPa

7.1MPa、2maxQZ

IZb2812.5102812.510

题3-13图

3-14 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，F=800N，试求胶合面上的切应力和横截面上的最大切应力。 解:

3-15一钢制圆轴，在两端受平衡力偶的作用，其力偶矩为T=2.5kN·m，已知轴的直径为d=600mm，试求该横截面上的最大切应力。如果将实心圆轴改为外直径D与内直径d之比为1.5的空心圆轴，仍然受到同样大小的力偶矩的作用，试求使空心圆周和实心圆轴的τmax相等时，空心圆轴比实心圆轴节省多少材料。 解：实心：

max

MM2.510659MPa Wp1d实3

601616

空心：

Wp2

(D3d3)

16



d3D

[()1]2.375 16d16

3

1

3

3

d3

Wp2

60

16

3

,

60

所以 d2.37545mm



212

dA空[(1]452（1.521）0.7 2

2A实60d实4



3-16图中所示为两根悬臂梁，a梁为两层等厚度的梁自由叠合，b梁为两层等厚度的梁用螺栓紧固成为一体，两梁的载荷，跨度，截面尺寸都一样，试求两梁的最大正应力σmax之比。

题3-16图

解：a梁：每层梁所受Mamax

Fl

2

bh2

Wza

6

b梁：只有一层 Mbmax

Fl2

b(2h)2

Wza

6

Maamax

bWza

MbmaxFlb4bh2

22:1 Wzb2bhFlb

3-17有一矩形截面的钢杆其截面尺寸为10050mm，在杆的两端作用着一对大小为

T3kNm的力偶矩作用，G80GPa。试求作用杆横截面上的最大切应力。 解：矩形截面扭转

max

M3106248.8MPa 2bh0.246502100

其中b=50mm，h/b=100/50=2，0.246

3-18圆柱形密圈螺旋弹簧，簧丝横截面直径为d18mm，弹簧平均直径为D125mm。如弹簧所受拉力F500N，试求簧丝的最大切应力。

（1）max

4F8FD45008500125

29.27MPad2d2182183D1.211.23(2)c6.94,k1.23(6.946.5)1.215

d76.5

8FD500125

maxk31.21533.2MPa3

d18D

(3)125/186.9410用修正公式计算d

3-19试求图3-60中AB杆横截面上的最大正应力。已知F120kN,F230kN,l1200mm,

l2300mm，b100mm。

扭弯组合

NF1F2302050KN

M30300202005000KNmm

max

3.5mN500010350103

305MPa

25wA1001003

6

b31003w

66

Ab21002

3-20矩形截面折杆ABC，受图3-61所示的力F作用。已知arctan(),al/4,l12h，

bh/2。试求竖杆内横截面上的最大正应力，并作危险截面上的正应力分布图。

题3-20图

解:FxFcos0.6F,FyFsin0.8F hh2

A6hh

22

h2

h

bhh3W6612

2

竖杆A截面上的弯矩和轴力为:

MAFyaFxl0.8F3h0.6F12h4.8FhFNAFy0.8F

'

0.8FF

1.6,h2h2

''

4.8FhF

57.6

h3h2

max57.6max

FFF1.659.2h2h2h2

FFF57.621.62562

hhh

3-21柱截面为正方形，受压力F作用。若柱右侧有一个槽，槽深为a/4，试求：（1）、开槽

前后柱内最大压应力值及其所在位置；（2）、如在柱左侧（与右侧相对）再开一个相同的槽，此时柱内压应力有多大？ 解:(1)开槽前轴向压应力



NF2 Aa

距离Yc=

（2）右侧开槽后为偏心受压，作用于点c距形心z轴的

a

,将力向点O简化 8

Fa 8

FNF,.MZFyc

3a(a)3

9a4Iz

12256

所以：

3a2

A1 题3-21图

4

'

F4F

2A13a

.''

MzyFa256

4y Iz89a

3

32Fa

4F8F 3a29a33a2

最大压应力在槽底上各点：



max

（3）如果在左侧也开槽，则为轴心受压：A1a

a

2





F2F

2

aa

2

3-22图示短柱受载荷F1和F2作用，试求固定端角点A、B、C及D的正应力，并确定其中性轴的位置。

题3-22图 题3-22图

解：在ABCD平面上的内力：

FQYF25kN,

MZF260051066003106Nmm

6

5

MyF1252510256.2510Nmm,FNF125KN

横截面的几何特性：

A1501001.510mm,Iy

100150

1.25107mm4

12

2

42

1001503

Iz2.81107mm4,

12

应力计算：

25103

N1.67MPa

1.5104

MzY3106y

MZ0.107MPa

IZ2.81107MYZ6.25105Z

MY0.05MPa7

WY1.2510

1.670.107y0.05z

中性轴方程为：1.670.107y0.05z0

当y0.z0.

az33.4mmay15.6mm

ABCD

1.670.107750.05508.86MPa1.670.107750.05503.86MPa1.670.107750.055012.2MPa 1.670.107750.05507.2MPa

3-23图3-64所示为一简易悬臂式吊车架。横梁AB由两根10号槽钢组成。电葫芦可在梁上来回移动。设电动葫芦连同起吊重物的重量共重W9.5kN。材料的E200GPa。试求在下列两种情况下，横梁的最大正应力值：（1）、只考虑由重量W所引起的弯矩影响；（2）、考虑弯矩和轴力的共同影响。

题3-23图

解：当电动葫芦运行到AB中点时，梁AB中弯矩最大。 （1）只考虑由重量W所引起的弯矩影响

Wl9.51034103

Mmax9.5106Nmm

44

WZ39.7cm3 Mmax9.5103

maxW239.7103119.7MPa

Z

(2)考虑轴力与弯矩共同影响

AB所受轴力：FNW

44

W9.51031.27104N 33

A12.74cm2

maxmaxN119.74.98124.7MPa

3-24图3-65所示为一矩形截面柱，受压力F1和F2作用，F1=100kN，F2=45kN。F2与轴线有一个偏心距yp200mm,b180mm,h300mm。试求max与min。欲使柱截面内不出现拉应力，问截面高度h应为多少？此时的最大剪应力为多大？

题3-24图

解：A-A截面上内力为：FNF1F2100451.4510N

5

MzF2yp452009000KNmm9106Nmm

截面的几何性：

Abh1803005.410mm

42

bh21803002

WZ2.7106mm3

66

FN1.45105

2.685MPa

A5.4104

6

M910Y

M''3.333MPa6

WZ2.710

'



max'''3.3332.6850.648MPamax'''3.3332.6856.02MPa

欲使柱截面内不出现拉应力,则有：

maxMN＝0 （a）

bh2180h2WzIz30h2

66Abh180h

9106

m

30h2

N

1.45105

180h

91061.45105

分别代入（a）式得：0 2

180h30h

解之得：h372.4mm

此时：maxMN2.1632.1634.33MPa

3-25 传动轴上装有甲、乙两个皮带轮，它们的直径均为D600mm，重量均为F2kN，

其受力情况如图示。若轴的直径为30mm。试分析该轴的危险截面和危险点，计算危险点的应力大小，并用图形标明该点所受应力的方向。



题3-25图

解：计算简图如图a)所示，

MBxMDx(62)

0.6

1.2KNm 2

FByW2KN,FBz628KN

FDy62210KN Fay=1kN, Fcy=13kN, Faz=Fcz=4kN

轴的扭矩图、水平面内和垂直平面内的弯矩图分别如图b)、c)和d)所示。 轴截面的几何特性计算：

A

d2

4



302

4

706.5mm2

Wp

WzWy

d

3

32

2.650103mm3

d

3

16

5.30103mm3

危险点在B截面上的E1和E2点上，

MmaxMymaxMzmax.220.321.24kNm

Mmax

467.8MPaWy

Mx

226.4MPa Wp

maxmax

3-26 一圆截面悬臂梁，同时受到轴向力、横向力和扭转力矩的作用。（1）、试指出危险截面和危险点的位置。（2）、画出危险截面上危险点的应力方向示意图。

题3-26图

解：危险点在B截面的最上和最下面的两点上。

3-27 图3-68为某精密磨床砂轮轴的示意图。已知电动机功率P3kW，转子转速

n1400r/min，转子重量W1101N。砂轮直径D250mm，砂轮重量W2275N。磨削

力Fy:Fz3:1，砂轮轴直径d50mm，材料为轴承钢。试表示危险点的应力方向，并求出危险点的应力大小。

(水平面内)

(垂直平面内)

题3-27图

解：计算简图如图所示， 电机传递的扭矩 T9.549

P3954920.5Nm N1400

根据力矩平衡：FzZ

P

T 2

2T220.46103

Fz164N

D250

Fy3Fz3163.7492NFyW2492275217N

内力图如图所示。截面的几何特性计算：

Wp

d3

16

2.45310mm

43

WzWy

d3

32

12.27103mm3

危险点面在A面的D1和D2点，则合成弯矩为：

MmaxMymaxMzmax.220.3235.35kNm

Mmax

2.88MPaWy

Mx

0.84MPa Wp

maxmax

3-28 圆截面短柱，承受一与轴线平行但不与轴线重合的压载荷F作用，圆截面半径为r，现要求整个截面只承受压应力，试确定F作用的范围。 解：压力引起的压应力：N而 Wy

F r2

d3

32



r3

4

M

My;Wy



FZC4FZC

33

rr4

4FZCF0 23

rr

maxNmax

解之得 Zc=

r

4

2

4-1 图4-13所示钢杆横截面面积为A100mm，如果F20kN，钢杆的弹性模量

E200GPa，求端面A的水平位移。

解：（一）绘制轴力图

（二）计算：

l

FNiliF

(2l1l22l3)EAEA20103

(21000100021000)3

200101005mm(伸长）

题4-1图

4-2拉杆如图4-14所示，求该杆的总伸长量。杆材料的弹性模量E150GPa。

题4-2图

解：

FNili1510315015103250

l

EAi150103202015010320103.751021.251011.625101mm0.1625mm

4-3 相同材料制成的AB杆和CD杆（图4-15），其直径之比为dAB/dCD1/2，若使刚性杆BD保持水平位置，试求x的大小。 解：

（一） 求反力

FAB

(lx)F

l

FCD

xF

l

（二） 根据条件求解 题4-3图

lABlCD

FlFAlA

CC

EAAAECAC

1lx4则：

xl4x5

2

FAAArA

FCACrC2

4-4 图4-16所示一均质杆，长为l，横截面面积为A，杆重W，材料的弹性模量为E，求杆端B及中间截面C在自重作用下的位移。

解，如图

l(lx)qdxN(x)dxqlq2x2

lB(lx)dx[l]

lEA(x)0EAEA0EA20

l

ql2



2EA



qlW

l

lB

WlEA

N(x)dxq3ql23Wl2lA(lx)dxlEA(x)0EA8EA8EA

题4-4图 4-5 试计算以下各题刚性梁AB的B处位移（图4-17）。其它杆件为弹性杆，刚度EA。 （a）

q

求反力：

MA0

24

lq2ll0故：FDCql224

ql2l

4ql22CD'

EAEA42ql282ql2

CC'则B点的位移：BB'2CC'

EAEAFDC

4-5（b）

计算

CD杆反力：MA0

3

F3l0故：FDCF2

F2l23Fl

则：EC'DC

EAEA

根据图的关系：FDC2lCC'

3

EC'2

CC'

4FlEA

B点位移：BB'

36FlCC'2EA

B

δ1

O1C

O2C

2

4-5（c）

δ3

(一）受力分析，反力计算

MM

CD

00

FO1AF

F2lFO1C2l0

因此：FO1C2F

(二）求变形

FlFl1O1A

EAEAFl22F2lFl2O1C222

EA2EAEA

312(21)

3221

42FlFlFl

(421)EAEAEA

4-6 求图4-18所示节点B的水平位移和竖向位移。AB杆和BC杆的抗拉刚度EA相同。 解：

根据静力学容易求得：

FABF由BD

FlEA

FBC2FBEFlEA

2F2l2Fl

EAEA

则：BxBD

BEH

FD

By2BE

2FlFlFlHF22(122)2EAEAEA

题4-6图

4-7 在图4-19所示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，其弹性模量

E210GPa，已知l1m，A1A2100mm2，A3150mm2，F20kN。试求C

点的水平位移和铅直位移。 解：

根据静力学容易求得：

A2

ΔCx

BB'

F1

F2

F2

Fl2001030.51000AA'0.476mm3

2EA21010100Cy0.476mm

CxCytg4500.476mm

4-8 求习题3-6中的单位长度扭转角。已知 G=90Gpa。

解：

IP

D4

32

Mx2.151033220

3.910rad/m(2.24/m)94

GIP90103.14160.05

4-9 求习题3-7中的最大单位长度扭转角和齿轮1和齿轮3的相对扭转角。已知齿轮1和齿轮2的间距为0.2m，齿轮2和齿轮3的间距为0.3m，G=90Gpa。 解：

Mx9550

Pn

30

1.432103Nm20017

M295508.118102Nm

20013

M395506.208102Nm

200M11.43210332120.755103rad/m(0.3870/m)94

GIP90103.140.07M19550

23

M36.208102322.746102rad/m(1.570/m)94GIP90103.140.04

因此max2.746102rad/m

13120.2230.39.589103rad(0.550)

4-10 一钻探机的功率7.355kW，转速n180r/min，钻杆外径D60mm，内径

，试d50mm，钻入土层40m，如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶（图4-20）

求此杆两端面的相对扭转角。钻杆G80GPa。 解：

D43.140.064504

IP(1)[1(4]6.587107m4

323260GIP801096.5871075.270104

Mx7.3559550/1803.902102mxdx0.5ml2



0GIGIPP

l

其中：mlMx

Mxl3.9021024010

故：0.48110rad(8.48)

GIP25.2701042

4-11 一直径d25mm的钢圆杆，受轴向拉力60kN作用时，在标距为200mm的长度内

伸长了0.113mm。当它受一对矩为0.2kNm的外力偶作用而扭转时，在标距200mm长度内相对扭转了0.732的角度，求钢杆的E、G、。 解：

FlEN

lAIP

20060103

2.16105MPa216GPa

3.14

0.113252

4

D4

32Mxl0.21030.2G8.1721010Pa81.72GPa82

IP3.833101.27710E216110.32

2G281.72

3.833108

4-12 全长为l，两端面直径分别为d1和d2的圆锥形杆，两端各受力偶T作用而扭转（图4-21），求两端面间相对扭转角。

解：

11

dx(xd2ld1xd1)d1x(d2d1)

lllM(x)Ml3232Tl1dxxdx0GI0011GGP

[d1x(d2d1)]4[d1x(d2d1)]4

ll

(Kd1)l1

令Kd1x(d2d1)则:x

l(d2d1)上面积分转换为：32T



G

d2

d1

xL

2



d1

(Kd1)l32TlK332Tl114

Kd()(33)

(d2d1)G(d2d1)3dG(d2d1)d1d2

1

d2

2

(d2d1)(d12d1d2d2)32Tl32Tl2(d12d1d2d2)3333

3G(d2d1)d1d23Gd1d2

4-13 求例3-5中的单位长度扭转角。已知G=80Gpa。 解：

已知：h=100mm，b=45mm，T=2kN·m，G=80GPa；



MxGhb3

其中，和h/b有关

h/b2.2，插值h/b2.0，0.229，h/b2.5，0.249

0.229（0.2490.2292.22.0

0.237

2.52.0

210320

1.15710rad/m0.66/m93

80100.2370.10.045

4-14 用积分法求图4-22所示各梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和转角。各梁EI均为常数。 （a）解：

由挠曲线方程：

M(x)M

EIZM(x)dxCMdxCMxC当x0，

A0，故C0故：

MxEIZ

maxB

MlEIZ

11

EIwMx2CxDMx2D

22

当x0时，wA0，所以D0Mx2

w

2EI

（b）解：

q

wmax

Ml2

wB

2EI

M(x)

q

(xlx2)2

q/2

q

EIZM(x)dxC(xlx2)dxC

2

q111

x2lx3qCqlx2qx3C4646

11

EIZwqlx3qx4CxD

1224

当x0时，

w0,D0

lql3

当x时，0，从而，C

224

5ql4ql3

则,wmaxwlmaxAB

384EI24EI2Z

4-15 用叠加法求图4-23所示梁的C及wB。设EI均为已知常数。 （a）解：

求：C,wB.（一）求

C

2

c

CC1C2C3C4

C1(B')C2(B')C3(B')C4(C')ql30.5ql2lql3ql3()

2EIEI6EIEIql3

6EI

Mql2

(1)

(B')

q

ql

（二）求wB

wBwB1wB2wB3wB4

(ql)l3(0.5ql2)l2ql2l21ql4)(

3EI2EI2EI8EI

4

5ql41111ql



24EI3428EI

4-15(b)解

(2)

(B')

+

12ql2

(3)

(B')

q

(4)

（一）C



CC1C2

FlFl2l3Fl



2EIEI2EI

2

2

（二）求 wB

Fl3Ml2wBwB1wB2

3EI2EI

Fl3Fl3Fl3

3EI2EI6EI

4-16 用叠加法求图4-24所示梁的最大挠度和最大转角。 4-16(a) 解

（一）最大转角

FFl

Bmax1FB1B2B

Fl2FllFl2111Fl25Fl2()

2(2EI)2EI2EI422EI4EI（二）最大挠度

FlFFlwBw1FCw1C1Cl1Clw2B

Fl3Fll2Fl2(Fl)lFl3ll

3(2EI)2(2EI)2(2EI)2EI3EI11111Fl33Fl3()

64423EI2EI

4-16（b）解

q

B1B2(1)B

lq()33

ql

B1

6EI48EIql3

B2

24EI12qll

ql3B3

3EI24EI

wB3

BB1B2B3

(2)wB

ql3



48EI

llB322

wBwB1wB2wB3wB1B1

l

q()4

ql4wB1

8EI128lql3lql4

wB2B2

224EI248EIlql3lql4

wB3B3

224EI248EIql4

故:wB

128

(3)

wDwBA,ＣB

maxB,wmaxwB

4-16（c）解

(1)求

AdA

(qdx)x(lx)(llx)q

x(lx)(2lx)dx

6EIl6EIl

A

q

6EIl



l20

x(lx)(2lx)dx

q6EIl

1423

lxlxx40

l

2

q943ql3

l

6EIl364128EI(2)求B

(qdx)x(lx)(lx)q

x(lx)(lx)dx

6EIl6EIl

l3

qq77ql234

B2(lxx)dxl

06EIl6EIl64384EI(3)wmaxdB

根据Q,M图，wmaxwC

3qx2lqlxx[0,]822Mx

l1qlxx[,l]

28

l

Mmax位于[0]

211312

xM(x)dxC(qlxqx)dxC11EIEI82131l(qlx2qx3)C1x[0,]EI1662

3ql33ql3

当x0时，0因此C1所以

128EI128EI

13133ql32

x(qlxqx)

EI166128EI13143ql33

wx(qlxql)x

EI4824128EI

5ql4

则wl

768EI2当x0时，wxwmax即：x0.46l代入：wmax

5.04ql4



768

4-16(d)

maxAcql3ql35ql3AA(q)A(ql)24EI16EI48EIwmaxwB5ql4ql413ql4

wBwB(q)wB(ql) 题4-16(d)图

38448EI384

4-16(e)

ql13

maxB

6EIA

ql14ql13

wmaxwCwBBl2l2

8EI6EI

题4-16(e)图

ql13

(

3l14l2)

24EI

4-16(f)

34

qlqlq1w16EI8EI

D3q3ql33ql432(2l)w2128EI16EI16EI12

ql2lql3ql43w3 3EI3EI3EI

5ql3w2maxD123

163EI

13ql4

wmaxwDw1w2w3w348EI

题4-16(f)图

4-17 工字形截面Ⅰ的20b简支梁受载如图4-25所示，E200GPa，求最大挠度。 解：

Ix2500cm42500104mm4

E200GPa 43

5qlFlwc

38448EI

5(4103/103)(6103)4

 3842001032500104

题4-17图

10103(6103)3



482001032500104

22.5mm

4-18 用叠加法求图4-26所示杆C截面沿铅垂方向位移。已知各杆抗弯刚度EI。

4-18(a)解

AFycql

wcwc(q)wc(F) q(2l)

4ql(2l

)38ql4

(2 8EI3EI3EI

2ql4



3EI

A

题4-18a）图

4-18(b)解

2

MD0FYCql/2ql3ql4

w11ll

3EI3EI ql4

w2YD

6EI 1

ql4

w3 3EI2 ql4

w4

38EI

ql4

w54

3EI

5ql45

wCw1w2w3w4w5



8EI

题4-18b）图

4-19 用叠加法求图4-27所示折杆自由端C的铅垂位移、水平位移和转角。已知EI为常数，不考虑轴力的影响。 解：

223

Ml(Fl)lFlCX(向右)

2EI2EI2EI

Fl2

BEICYBl(wcP)BCFl2Fl34Fl3

l(向下)

EI3EI3EIFl2Fl23Fl2

CBCF(顺时针)

EI2EI2EI

5-1构件受力如图5-26所示。试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。

AT

A

（a） （c） （d）

题5-1图

解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；

2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。

b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；

2）应力状态见下图。

c) 1) 危险点： A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；

2）应力状态见下图。

d) 1）危险点：杆件表面上各点； 2）应力状态见下图。

64

Fl3

da) b) c) d)

5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。

10

c)

a) b) 题5-2图

解： a) b) c)

1=50 MPa, 2=3=0,属于单向应力状态

1=40 MPa, 2=0, 3=－30 MPa，属于二向应力状态

1=20 MPa, 2=10 MPa,

3=－30 MPa，属于三向应力状态

5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。

a)

b)

题5-3图

解：

a) 取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知： x=50MPa , y=30MPa , x=0, α=－30 带入式（5-3），（5-4）得



c)



xy

2



xy

2

cos2xsin2

=45MPa



xy

2

sin2xcos2

= -8.66MPa

b) 取水平轴为x轴，根据正负号规定：

x= -40MPa , y=0 , x=20 MPa , α=120

带入公式，得：

400400

cos24020sin240=7.32MPa 22400x=sin24020cos240=7.32MPa

2



c) 取水平轴为x轴，则

x= -10MPa , y=40MPa , x= -30MPa,α=30

代入公式得：

10401040

cos60(30)sin60=28.48MPa 221040x=sin6030cos60=-36.65MPa

2



5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa）。试用解析法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。

a) b)

题5-4图

a) 解：（1）求指定斜截面的上应力

c)

取水平轴为x轴，则 x=100MPa , y=40MPa , x=40MPa,α=45 带入公式，得:





1004010040

cos9040sin90=30 MPa 2210040=sin9040cos90= 30MPa

2

(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：

max

min

xy

2

xy2

2

 x

2

2

12010040100402

= MPa 40

2022

按代数值123 得

1120 MPa，220 MPa，30 MPa

2x240

1.33

xy10040



由公式（5-7）可求得主应力方向 tg20

20=53.13 ，0=26.57

最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针26.57

3）最大切应力

由公式（5-20） max





13

2



1200

60MPa 2

b）解： （1） 求指定斜截面上的应力

取水平轴为x轴，x=60MPa , y= -20MPa , x= -30MPa,α= -30

代入公式得:



60(20)60(20)

cos(60)30sin(60)=-14.02MPa 2260(20)=sin(60)30cos(60)= -49.64MPa

2



(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：

max

min

xy

2

xy2

2

 x

2

2

7060(20)60(20)2

MPa (30)

3022

按代数值123 得

170 MPa，20 MPa，330 MPa

由公式（5-7）可求得主应力方向 tg20

2x30

0.75

xy60(20)



20=36.87 ，0=18.43

最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针26.57 如图所示：

3）最大切应力 由公式（5-20） maxc)解:

取水平轴为x轴，则





13

2



70(30)

50MPa

2

x=60MPa , y=0 , x= -40MPa,α= -150

代入公式得：

600600

cos(300)(40)sin(300)=79.64MPa 226040x=sin(300)40cos(300)=5.98Mpa

2



(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：

max

min

xy

2

xy2

2

2

x 

2

806006002

MPa (40)

2022

按代数值123 得

1120 MPa，220 MPa，30 MPa

由公式（5-7）可求得主应力方向 tg20

2x2404



xy6003



20=53.13 ，0=26.57

最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针26.57





如图所示：

3）最大切应力

由公式（5-20） max

13

2



80(20)

50

2

5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa）。试用图解法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。

a)

b)

题5-5图

解：(1)求指定斜截面上的应力

由图示应力状态可知x=40MPa , y=20MPa , x=10MPa, y=-10MPa

由此可确定-面内的D、D’两点，连接D、D’交于C 。以C 为圆心，DD’为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60，在应力圆上，由D逆时针量取120得E点，按比例量的E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：



c)



xE=60MPa，yE=3.7MPa

（2）求主应力及其方程

应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：

xA=max=44.14MPa，xB=min= 15.86Mpa

按照

123得约定，可得三个主应力为：1 =44.14MPa，2 =15.86MPa，3



=0MPa

由D转向A 的角度等于20。量得 20=45（顺时针）因此，最大主应力与x轴正方向夹角为顺时针22.5。

（3）最大切应力等于由13画出的应力圆的半径max=22.07MPa b)解：首先做应力圆：其中 D（0，-20） D（50，+20）

1）斜截面与y轴正方向夹角45（逆），因此从D逆时针量20=90得E点： xE==5MPa，yE==25Mpa



'





'

2) xA=max=57MPa， xB=min= -7Mpa

按照123得1 =57MPa，2 =0MPa，3 = -7MPa 主应力方向：最大主应力与y轴夹角为3) 最大切应力等于由

1

D'CA19.33（顺） 2

1,3画出的应力圆的半径： max32MPa

'

(c)解： 由图示应力状态可得应力圆上两点D（-20，20）和 D（30，-20）

连DD交轴于C, 以C为圆心，DD为直径作圆， 即为应力圆，如图所示

1） 斜截面与x轴正方向夹角为 60 (顺), 因此由D顺时针量120得E点 xE==34.82MPa， yE==11.65MPa

2） 主应力及其方位

应力圆与轴的两个交点A,B的横坐标即为两个主应力：

xA=max=37MPa， xB=min= -27Mpa 因此1 =37MPa，2 =0MPa，3 = -27MPa

由D到A的夹角为逆时针38.66，因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针量19.33所得截面上的正应力。

3） 最大切应力为由1,3画出的应力圆半径max32MPa

5-6一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm。试求：(1)梁上各指定

点的单元体及其面上的应力；(2)作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。

'

'

'





题5-6图

解：

1） 各点的单元体及应力

由梁的静力平衡求得FAFB250kN

A,B,C三点所在截面上的弯矩M250100.2562500Nm 剪力FQ250 kN

3

A

M62500Pa=93.75MPa（压应力） W1

0.10.22612

BA46.875MPa（压应力）

3250103

CPa18.75MPa

20.10.2

BC14.06MPa

2） 作各单元体的应力圆

A点：10,20,393.75MPa，max=46.875MPa

B点： xA13.9MPa，max=27.3MPa xB350.7MPa，20，C点： xA118.75MPa，max=18.75MPa 3= -18.75 MPa，xB20，

5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa）。

120

3

4

a) b)

题5-7图

c)

解：

a) 主应力150 MPa， 由于其它两方向构成纯剪切应力状态， 所以有， max

13

2

=50MPa。

b) 一个主应力为50MPa，其余两个方向应力状态如图所示 x=30MPa， y= -20MPa，x=20MPa 代入公式（5-8）

3730(20)30(20)2

MPa 20

2722

所以1 =50MPa，2 =37MPa，3 = -27MPa

2

max=

135027

2

=

2

38.5MPa

b) 一个主应力为-30MPa，其余两

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取 x=120MPa， y= 40MPa，x=-30MPa

代入公式max

min

xy

2

xy2

2

2

 x

2

13012040120402

MPa (30)3022

所以1 =130MPa，2 =30MPa，3 =-30MPa

max=

13130(30)

2

=

2

80MPa

5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。

题5-8图

解：

a) 三个主应力为1,230 三向应力圆可作如下

b) 这是一个纯剪切应力状态1,20,3 其三向应力圆为

max=τ

三向应力状态：一个主应力为零

先做一二向应力状态的应力圆，得1,3再由1,2和2,3分别作应力

圆

三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态

2



12

232

5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为MPa）。



题5-9图

解：

画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则 x=？ , y=50MPa , x=？，α=30时=80MPa, =0 代入式（5-3）（5-4） 



x50x50

2



2

cos60xsin60

=80Mpa



x50

2

=0

sin60xcos60

x=70MPa , x=10 MPa

可做应力圆如图所示

由应力圆可求的三个主应力分别为

1 =80MPa，2 =40MPa，3 =0MPa

最大切应力为max=40MPa

5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态，AB面上无应力作用。试求切应力τ和三个主应力。

A

B

题5-10图

解：

画出二向应力状态单元体，取水平方向为x轴

则x=15MPa , y= -15MPa , x=τ，α=135时=0, =0 代入式（5-3）（5-4）





(15)(15)(15)(15)

cos270xsin270

22(15)(15)

sin270xcos270

2

=0

=0 (自然满足) 由上式解得x=15MPa 主应力可由公式（5-8）求

max

min

xy

2

xy2

2

x 

2

2

0(15)(15)(15)(15)2

MPa (15)

3022

因此三个主应力为 ：1 =0，2 =0，3 =-30MPa

max

13

2



0(30)

15MPa 2

5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为MPa）。试画出单元体的受力图，并指出应力圆上A点所在截面的位置。

d) e) f) 题5-11图

5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。已知：

x80MPa, y40MPa,50MPa。试求主应力和最大切应力。

题5-12图

解：

x=80MPa , y=40MPa , x=τ，=50MPa, α=60 将以上已知数据代入公式（5-3） 50



80408040

cos120xsin120 22

x=0

再把x，y，x代入公式（5-8）求主应力

max

min

xy

2

xy

2

2

 x

2

2

80804080402

0MPa 

4022

因此三个主应力为 ：1 =80 MPa，2 =40 MPa，3 =-0MPa

max=

13

2

=40MPa

5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。已知两个斜截面α和β上的应力分别为

40MPa,60MPa；200MPa,60MPa。试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径R。

β解：

已知=40MPa,=200MPa,=60MPa,=60MPa

由上面两组坐标可得应力圆上两点D1,D2,连D1D2,作其垂直平分线交σ轴于C点，以C为圆心，CD为半径作圆即为所求应力圆。

由图中几何关系可得圆心坐标C(120,0)

半径 R

题5-13图

602802=100

5-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点K任意两互垂方向的线应变和。试求所受拉力F。已知材料弹性常数E、ν，圆杆直径d。

题5-14图

解：

围绕K 点取单元体，两截面分别沿 ε’和ε” 方向。 如下图所示

1

xy E1

yx

E

由广义胡克定律 联求解得 x

E'E

2

1

E'E

2

1

yE

我们还可以取K点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面

截取

根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量得：

xy

又=

E'E

1

F A

E'E

d

14

所以 F=A=

5-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面K点与轴线成30°方向的线应变30。试求外力偶矩T。已知圆轴直径d ,弹性模量E和泊松比ν。

解：

围绕K点沿ε30方向和与之垂直的方向取单元体如左图 由沿横纵截面单元体如右图 由公式（5-3、5-4)得:

题5-15图

60



0000cos120sin120 222

60cos120



1

2

30sin(60)



3 2

30cos（60）



1

2

由胡克定律 30

1133

30601

EE222E



2E3031d3T16T

3， T又τ= WPd16