——相似三角形
1、如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A ，B 重合），对角线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N ．下列结论：
222
①△APE ≌△AME ；②PM+PN=AC；③PE +PF=PO；④△POF ∽△BNF ；⑤当△PMN ∽△AMP 时，点P 是AB 的中点．
其中正确的结论有（ ）
延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG=，则△EFC 的周长为（
）
4、如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF=DE，连接CF ，则S △CEF ：S 四边形BCED 的值为（ ）
5、如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ）
A ．a
B ．
C ．
D ．
6、如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a ＞b ）．在△ABC 内依次作∠CBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠EDF=∠DCE ．则EF 等于（ ）
知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
CD=6，则AE 的长为（ ）
PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN；②BN=
PC ．其中正确的个数是（ ）
；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，
的值是
10、将一副三角尺如图所示叠放在一起，则
11、如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（ ）
A ．甲＞乙，乙＞丙 B ．甲＞乙，乙＜丙 C ．甲＜乙，乙＞丙 D ．甲＜乙，乙＜丙 12、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A 、C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO=OC，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点
P ．则点P 的坐标为
．
13、如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D 、E 为BC 边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF 、BF ，则下列结论：
①△AED ≌△AEF ；②△ABE ∽△ACD ；③BE+DC＞DE ；④BE +DC=DE， 其中正确的有（ ）个．
2
2
2
14、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 ．
15、如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，ΔPEF 、ΔPDC 、ΔPAB 的面积分别为S 、S 1、S 2。若S=2，则S 1+S2=
16、提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等边△AMN ，连结CN ．求证：∠ABC=∠ACN ． 【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN 还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC 中，BA=BC，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等腰△AMN ，使顶角∠AMN=∠ABC ．连结CN ．试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由．
17、有一副直角三角板, 在三角板ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF 中, ∠FDE=90°,DF=4,DE=4. 将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放, 点B 与点F 重合, 直角边BA 与FD 在同一条直线上. 现固定三角板ABC, 将三角板DEF 沿射线BA 方向平行移动, 当点F 运动到点A 时停止运动.
(1)如题25图(2),当三角板DEF 运动到点D 与点A 重合时, 设EF 与BC 交于点M, 则∠EMC=______度；
(2)如题25图（3），在三角板DEF 运动过程中, 当EF 经过点C 时, 求FC 的长;
(3)在三角板DEF 运动过程中, 设BF=x , 两块三角板重叠部分面积为y , 求y 与x 的函数解析式, 并求出对应的x 取值范围.
18、如图，在矩形ABCD 中，点P 在边CD 上，且与C 、D 不重合，过点A 作AP 的垂线与CB 的延长线相交于点Q ，连接PQ ，M 为PQ 中点． （1）求证：△ADP ∽△ABQ ；
2
（2）若AD=10，AB=20，点P 在边CD 上运动，设DP=x，BM =y，求y 与x 的函数关系式，并求线段BM 的最小值；
（3
）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a
的大小的变化，点M 的位置也在变化．当点M 落在矩形ABCD 外部时，求a 的取值范围．
19、如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E 、F 、G 分别从A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s，点F 的运动速度为3cm/s，点G 的运动速度为1.5cm/s，当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB ′F ．设点E 、F 、G 运动的时间为t （单位：s ）． （1）当t= s 时，四边形EBFB ′为正方形；
（2）若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似，求t 的值； （3）是否存在实数t ，使得点B ′与点O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
20、如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A 点的坐标为(3，0) ，以0A 为边作等边三角形OAB ，点B 在第一象限，过点B 作AB 的垂线交x 轴于点C ．动点P 从0点出发沿0C 向C 点运动，动点Q 从B 点出发沿BA 向A 点运动，P,Q 两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t 秒． (1)求线段BC 的长；
(2)连接PQ 交线段OB 于点E ，过点E 作x 轴的平行线交线段BC 于点F 。设线段EF 的长为m ，求m 与t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围：
111
(3)在(2)的条件下，将△BEF 绕点B 逆时针旋转得到△BE F , 使点E 的对应点E 落在线段AB 上，点F 的对应点是F ，E F 交x 轴于点G ，连接PF 、QG ，当t 为何值时，
1
11
QG?
21、阅读理解： 如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题： （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ； 拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．
22、如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果
AC BC
，那么称点C 为线段AB 的黄金=
AB AC
分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1、S 2，如果
S 1S 2
=，那么称直线为该图形的黄金分割线. S S 1
（1）如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ，请问点D 是否是AB 边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC 在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD 中，∠D =∠C =90，对角线AC 、BD 交于点F ，延长AB 、DC 交于点E ，连接EF 交梯形上、下底于G 、H 两点，请问直线GH 是不是直角梯形ABCD 的黄金分割线，并证明你的结论.
A
C 图1
A
B
H B D
D
A B
A D 图2
B
图3
C 图4
E
23、如图，在△ABC 中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：
；
（2）设EF=x，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动（当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．
24、如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点A （6，0），B （0.8），点C 的坐标为（0，m ），过点C 作CE ⊥AB 于点E ，点D 为x 轴上的一动点，连接CD ，DE ，以CD ，DE 为边作平行四边形CDEF ．
（1）当0＜m ＜8时，求CE 的长（用含m 的代数式表示）；
（2）当m=3时，是否存在点D ，使平行四边形CDEF 的顶点F 恰好落在y 轴上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得平行四边形CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的m 的值．
25、已知，如图，□ABCD 中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP 交BA 的延长线于点M ，过M 作MN ⊥BC ，垂足是N ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜1），解答下列问题：
（1）当t 为何值时，四边形AQDM 是平行四边形？
（2）设四边形ANPM 的面积为y （cm ²），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使四边形ANPM 的面积是□ABCD 面积的一半，若存在，求出相应的t 值，若不存在，说明理由
（4）连接AC ，是否存在某一时刻t ，使NP 与AC 的交点把线段AC 分成2:1的两部分？若存在，求出相应的t 值，若不存在，说明理由
B
N
D
D
B
第24题备用图
D
B