双曲线知识点

双曲线知识点

指导教师：郑军

一、双曲线的定义：

1. 第一定义：

到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（PF1PF22aF1F2（a为常数））

要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|.

当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.

2. 第二定义：

动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线l叫做双曲线的准线

二、

双曲线的标准方程：

x2y2

221（a＞0，b＞0）(焦点在x轴上)；

aby2x2

221（a＞0，b＞0）(焦点在y轴上)；

1. 如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上. a不一定大于b.

x2y2x2y2

21 2. 与双曲线221共焦点的双曲线系方程是2

akbkab

x2y2

1(mn0) 3. 双曲线方程也可设为：

x2y2

1有相同的焦点，例题：已知双曲线C和椭圆且过P(3,4)点，求双曲线C的

169

三、

轨迹方程。

点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：

22x0y0x2y2

点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部221

abab22x0y0x2y2

点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部221

abab22

x0y0x2y2

点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)上2-2=1

abab

2 直线与双曲线：

（代数法）

x2y2

设直线l:ykxm，双曲线221(a0,b0)联立解得

(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20

1) m0时，k直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；

k，k，或k不存在时直线与双曲线没有交点；

2) m0时，

k存在时，

若b2a2k20

k，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若b2a2k20，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)

4a2b2(m2b2a2k 2)

0时，m2b2a2k20，直线与双曲线相交于两点； 0时，m2b2a2k20，直线与双曲线相离，没有交点；

m2b222222

0时mbak0，k直线与双曲线有一个交点；

若k不存在，ama时，直线与双曲线没有交点；

或m直线与双曲线相交于两点；a ma

3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：

x2y2

设直线l:ykxm过定点P(x0,y0)，双曲线221(a0,b0)

1).当点P(x0,y0)在双曲线内部时：

k，直线与双曲线两支各有一个交点； aa

k，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

abb

k或k或k不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；

2).当点P(x0,y0)在双曲线上时：

b2x0b

k或k2，直线与双曲线只交于点P(x0,y0)；

aay0bb

k直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； aab2x0b2x0bb

k2（y00）或k2 （y00）或k或k不存在，

aaay0ay0直线与双曲线在一支上有两个交点；

当y00时，

k或k不存在，直线与双曲线只交于点P(x0,y0)；

abb

k或k时直线与双曲线的一支有两个交点；

aabb

k直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； aa

3).当点P(x0,y0)在双曲线外部时：当P0,0时，

k，直线与双曲线两支各有一个交点； aabb

k或k或k不存在，直线与双曲线没有交点；

aa当点m0时，



P(x0,y0)的直线与双曲线相切 kb

k时，直线与双曲线只交于一点；

几何法：直线与渐近线的位置关系

四、

例：过点P(0,3)的直线l和双曲线C:x1，仅有一个公共点，求直线l的方

程。

双曲线与渐近线的关系：

x2y2

1. 若双曲线方程为221(a0,b0)

x2y2b

渐近线方程：220yx

aaby2x2

2. 若双曲线方程为221（a＞0，b＞0）

y2x2a

渐近线方程：220yx

bab

3. 若渐近线方程为y

xyb

x0

aba

x2y2

双曲线可设为22, 0.

abx2y2

4. 若双曲线与221有公共渐近线

x2y2

则双曲线的方程可设为22（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴

五、

上）

双曲线与切线方程：

xxyyx2y2

1. 双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

abab

x2y2

2. 过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

x0xy0y

21. 2ab

x2y2

3. 双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.

六、双曲线的性质：

七、弦长公式：

若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则

ABAB1x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB

y12

2b2

通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长|AB|。

若弦AB所在直线方程设为xkyb，则ABy1y2。

特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，

x2y2

例：直线yx1与双曲线1相交于A,B两点，则AB=_____________

八、焦半径公式：

x2y2

双曲线221（a＞0，b＞0）上有一动点M(x0,y0)

当M(x0,y0)在左支上时|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

当M(x0,y0)在右支上时|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

注：焦半径公式是关于x0的一次函数，具有单调性，当M(x0,y0)在左支端点时|MF1|ca，

|MF2|ca，当M(x0,y0)在左支端点时|MF1|ca，|MF2|ca 九、等轴双曲线：

x2y2

21（a＞0，b＞0）当ab时称双曲线为等轴双曲线； 2ab

则：1. ab；

2.离心率e2；

3.两渐近线互相垂直，分别为y=x； 4.等轴双曲线的方程x2y2，0；

5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

十、共轭双曲线：

1.定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共

轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．

x2y2x2y2

2.方程：221a0,b0与221a0,b0

abba

3.性质：

共轭双曲线有共同的渐近线；共轭双曲线的四个焦点共圆．它们的离心率的倒数的平方和等于1。

x2y2

-21（a>0;b>0）的焦点为F1与F2，且p为曲线上任意一点，F1PF22。2ab则PF1F2的面积Sb2cot

焦点三角形面积公式：SFPFb2cot,(F1PF2)



双曲线 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直

径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P

在左支）

x2y2

5. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外，则过P0作双曲线的两条切线切点

xxyy

为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021.

x2y2

6. 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一

7. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结

AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

8. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，

A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2

9. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，

ab2bx

则KAB20。

ay0x2y2

10. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被P0所平分的中点弦的方程是

x0xy0yx02y02

222. 2abab

11. 目录

12. 双曲线知识点 ........................................... 错误！未定义书签。 13. 双曲线定义： ......................................... 错误！未定义书签。 14. 2.双曲线的标准方程： ................................... 错误！未定义书签。 15. 3.双曲线的标准方程判别方法是： ......................... 错误！未定义书签。 16. 4.求双曲线的标准方程 ................................... 错误！未定义书签。 17. 5.曲线的简单几何性质 ................................... 错误！未定义书签。 18. 6曲线的内外部 .......................................... 错误！未定义书签。 19. 7曲线的方程与渐近线方程的关系 .......................... 错误！未定义书签。 20. 8双曲线的切线方程 ...................................... 错误！未定义书签。 21. 9线与椭圆相交的弦长公式 ................................ 错误！未定义书签。 22. 高考题型解析 ........................................... 错误！未定义书签。 23. 题型一：双曲线定义问题 ................................. 错误！未定义书签。 24. 题型二：双曲线的渐近线问题 ............................. 错误！未定义书签。 25. 题型三：双曲线的离心率问题 ............................. 错误！未定义书签。 26. 题型四：双曲线的距离问题 ............................... 错误！未定义书签。 27. 题型五：轨迹问题 ....................................... 错误！未定义书签。 28. 高考例题解析 ........................................... 错误！未定义书签。 29. 练习题 ................................................. 错误！未定义书签。

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