拉普拉斯变换部分作业

1、求下列函数的拉普拉斯变换的象函数

（1）e -5t sin 4t （2）t (cos ωt +sin ωt )

（3）⎰t (cos 4t +sin 3t )dt （4）⎰e -2t cos 3t +e -4t t 3d t 00t t ()

sin t e bt -e at

（5） a ，b 为实常数（6） t t

答案：（1）4

p +52+16

⎡12p 2+2p ω⎤（2）-⎢2 -2222⎥p +ωp +ω⎣⎦1⎡12p 26p ++（3）⎢-222p ⎢p +16p +16p 2+9⎣4⎤ 2⎥⎥⎦（4）p p +2+92p +2+6

p p +4

（5）ln

（6）p -a p -b -arctan p 2

2、求下列拉普拉斯变换象函数的原函数 π

（1）1

p -2p -32 （2）p p -2p -32

（3）p +8p （4）p 2+4p +5p 2+a 22a >0 答案：（1）-e 2t -te 2t +e 3t

（2）-3e 2t -2te 2t +3e 3t

（3）37e -2t cos [t +arctan (-6)]

1t sin at 2a

3、解下列常微分方程（4）

d 2y (t )3t ()-y t -1-e =02dt （1） dy 1y (0)=0=t =0dt 2

d 3y (t )d 2y (t )dy (t )-t ()+3+3+y t =6e dt dt 3dt 2

（2） 2dy d y y (0)==2=0dt t =0dt t =0

d 2y (t )dy (t )2t ()-2+y t =t e 2dt dt （3） dy y (0)==0dt t =0

71答案：（1）y (t )=-1+e -t +e 3t 88

（2）y (t )=t 3e -t

（3）y (t )=14t t e 12

4、求解下列微分方程组

⎧dx (t )-t ()()+5x t +2y t =e ⎪⎪dt （1）⎨

⎪dy (t )+2x (t )+2y (t )=0⎪⎩dt

（2）x (0)=y (0)=1⎧d 2z (t )-z (t )=0⎪x (t )+y (t )+2dt ⎪⎪d 2x (t )-x (t )+y (t )+z (t )=0⎨2dt ⎪⎪d 2y (t )-y (t )+z (t )=0⎪x (t )+2dt ⎩z (0)=0

dx (t )dy (t )dz (t )===0dt t =0dt t =0dt t =0

4-t 1-t 4-6t e +te -e 25525答案：（1） 2-t 2-t 2-6t y (t )=e -te -e 25525x (t )=

12x (t )=ch 2t +cos t 33

12（2） y (t )=ch 2t +cos t 33

22z (t )=-ch 2t +cos t 33)))

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