一、单项选择题(每小题2分，共20分)
1. 若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，则只要将抽样信号通过( A ) 即可完全不失真恢复原信号。
A 、理想低通滤波器 B 、理想高通滤波器
C 、理想带通滤波器 D 、理想带阻滤波器
2. 若一线性时不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( C ) 。 A 、R 3(n) B 、R 2(n)
C 、R 3(n)+R3(n-1) D 、R 2(n)+R2(n-1)
3. 下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D ) A 、h(n)=δ(n) B 、h(n)=u(n)
C 、h(n)=u(n)-u(n-1) D 、h(n)=u(n)-u(n+1)
4. 一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包括( A ) 。 A 、单位圆 B 、原点
C 、实轴 D 、虚轴
5. 已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜
C 、左边序列 D 、双边序列
6. 实序列的离散时间傅里叶变换必是( D ) 。 A 、共轭对称函数 B 、共轭反对称函数
C 、奇函数 D 、偶函数
7. 用DFT 近似分析模拟信号的频谱时，会在频谱分析中形成误差。下来误差现象中( B ) 不属于此类误差。
A 、混叠失真 B 、有限字长效应
C 、泄漏现象 D 、栅栏现象
8. 用按时间抽取FFT 计算N 点DFT 所需的复数乘法次数与( B ) 成正比。 A 、N B 、N 2
C 、N 3
D 、Nlog 2N
9. 以下对双线性变换的描述中不正确的是( D ) 。 A 、双线性变换是一种非线性变换
B 、双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换
C 、双线性变换把s 平面的左半平面单值映射到z 平面的单位圆内 D 、以上说法都不对
10. 因果FIR 滤波器的系统函数H(z)的全部极点都在( A ) 处。 A 、z = 0 B 、z = 1 C 、z = j D 、z =∞
11. T[x[n]]=x(n-n0), n0
12. 用1kHz 的采样频率对下列信号进行采样, 不会发生混叠现象的是(A) A 频率为300Hz 的信号 B 频率为600Hz 的信号 C 频率为1kHz 的信号 D 频率为1.3kHz 的信号
13. 对1024 x 512的图像用5 x 5低通滤波器进行滤波, 支掉受边界效应影响的像素点, 滤波后的图像大小为(B ) A 1024 x 512 B 1020 x 508 C 1018 x 506 D 1016 x 504
14. 下列关于卷积性质, 说法不正确的一项是(D) A 时域卷积等效于频域乘积 B 频域卷积等效于时域乘积 C
k =-∞
∑h [k ]x [n -k ]=∑h [n -k ]x [k ]
k =-∞
∞∞
D 以上都不对
15. 下列传输函数中,( B ) 输出稳定最慢 A H (z ) =
1
(z -0.25)(z -0.82) 1
(z -0.25)(z -0.92) 1
(z -0.1)(z -0.52)
B H (z ) =
C H (z ) =
D H (z ) =
1
(z -0.25)(z -0.62)
16. 对于滤波器的描述, 下列哪种说法是正确的(C) A 差分方程和传输函数是时域描述 B 频率响应和脉冲响应是频域描述 C 差分方程和脉冲响应是时域描述 D 脉冲响应和传输函数是频域描述
17 对于IIR 及FIR 滤波器的描述, 下列说法正确的是(A) A FIR 滤波器必定是稳定的 B IIR 滤波器必定是稳定的
C 如果希望滤波器具有线形相位, 应选择IIR 滤波器.
D 双线形变换把S 平面的虚轴线性地映射到Z 平面的单位圆上 18. 采样频率为f s =2500Hz , 当要求DFT 的频率分辨率达到1Hz 时,DFT 的长度N 至少应该为多少点? (B) A. 1000 B. 2500 C. 5000 D. 7500
19. 设计一个高通线性相位FIR 滤波器, 要求h (n )(0≤n
20. 一个采样频率为f s 的N 点序列, 其N 点DFT 结果X(1)对应的频率为(A) A. fs/N B 2fs/N C. fs/2N D. fs/3N
二、简答题（每题5分，共10分）
1、对正弦信号进行采样得到的正弦序列仍然是周期序列吗？请简要说明理由。
答：不一定。 只有当
2π
ω0
为有理数时，正弦序列才是周期的，否则为非周期。
2、比较IIR 和FIR 滤波器在性能和结构上各有什么优缺点。
答：FIR 可实现线性相位并保证系统的稳定性；
IIR 在满足同样滤波器性能情况下，所需的阶次（系数）要少得多。
3、采用双线性法和脉冲响应不变法设计IIR 滤波器, 如果原型模拟滤波器具有线性相位, 哪一种方法设计出来的数字滤波器不能保持线性相位, 为什么?
答: 采用双线性法设计的IIR 滤波器不能保持线性相位, 由于预扭曲方程是一个非线性的变换, 所以导致设计出来的滤波器是非线性的.
4. 周期性数字信号的频谱应该用什么计算, 可否用DTFT 计算, 请说明原因 答: 周期性数字信号的频谱应采用离散傅立叶级数计算. 不能用DTFT 计算, 由于周期信号是同一段序列在整个时域不断重复,DTFT 的无限和将导致结果为无限. 5. 说明离散傅立叶变换（DFT ）与离散时间傅立叶变换（DTFT ）及z 变换（ZT ）之间的关系。
答: DTFT是单位圆上的z 变换，DFT 是对DTFT 在单位圆上一周之内的N 等分抽样。
6. 窗函数法设计FIR 滤波器对窗函数的两项要求是什么？它们能同时满足吗？
答: ①要求降低窗主瓣的宽度，以降低过渡带的宽度；②要求降低旁瓣的高度，以减小频谱泄漏 (3分) 。不能同时满足(2分) 。
7. 简要说明抗混叠滤波器和抗镜像滤波器的形状及其在信号处理中的作用。
答：二者均为低通滤波器。抗混叠滤波器的作用是滤除被采样信号的高频分量，以满足采样定理要求；(3分)
抗镜像滤波器的作用是滤除零阶保持信号阶梯状的镜像频谱，从而使信号得以平滑。(2分)
8. 简要说明系统零、极点对滤波器形状的影响。
答：滤波器幅度谱会在零点处对应一个极小值，而在极点处出现一个极大值。
三、计算题（每题10分，共40分）
0025毫秒采样一次。写出描述数字信号1. 模拟信号x (t ) =3s i n 1t 每
x (n ) =A sin(n Ω) 的函数。假设无量化误差。
解：模拟信号周频率： f = ω/2π = 100/2π Hz； (2分)
采样频率： f S = 1/TS = 1/(25x10–3) = 40 Hz； (2分)
则采样序列的数字频率： Ω = 2πf/fS = 100/40 = 2.5 rads；(3分) 所以数字信号可表示为： x[n] = 3sin(nΩ) = 3sin(2.5n). (3分)
2、滤波器有单位增益，零点位于z ＝0.5，极点位于z ＝－0.9和z ＝0.1。
(1) 求滤波器的传输函数。
(2) 哪个极点对脉冲响应影响最大？
解：(1) 传输函数为：
H (z ) =
z -0.5z -0.5
(5分) =2
(z +0.9)(z -0.1) z -0.8z -0.09
(2) 由于z = 0.9 这一极点更靠近单位园，所以它对脉冲响应影响最大。(5分)
3、对于下列差分方程，画出转置直接II 型流图。
y (n ) -2y (n -1) +0.5y (n -2) =x (n ) -0.5x (n -1)
y[n]
分)
4. 滤波器的脉冲响应为h (n ) =(1+n )(u (n ) -u (n -4)) ，输入为
x (n ) =u (n ) -u (n -6) ，求滤波器的输出，并指出受边界效应影响的采样点。
5. 对于传输函数 H (z ) =(a)求脉冲响应； (b)求阶跃响应
3
(1-0.5z -1)(1-0.9z -1)
3z 23
解: H (z ) = =z 2
(z -0.5)(z -0.9) (z -0.5)(z -0.9) (a)脉冲响应是传输函数的逆Z 变换
H (z ) =z 2
35⎫5z ⎫⎛-5⎛-5z
=z 2 +=z +⎪ ⎪
(z -0.3)(z -0.9) z -0.3z -0.9z -0.3z -0.9⎝⎭⎝⎭
则脉冲响应为 h[n] = –5(0.3)n+1u[n+1] + 5(0.9)n+1u[n+1].
(b)阶跃函数的z 变换是 z/(z–1), 则系统的阶跃响应为
Y (z ) =H (z ) X (z ) =z 2
3z
(z -0.3)(z -0.9) z -1
=z 3
5-5042.85⎫⎛7.14
=z 3 ++⎪
z -0.3z -0.9z -1⎝z -0.3z -0.9z -1⎭
4-5z 042. z ⎛7. 1z ⎫85
=z 2 ++⎪
z -0. 3z -0. 9z -⎝⎭1
则阶跃响应为 s[n] = 7.14(0.1)n+2u[n+2] – 50(0.9)n+2u[n+2] + 42.85u[n+2].
6. 数字滤波器有零点z ＝0，极点z ＝－0.8和z ＝－0.5±j0.6，单位增益。
（1） 画出滤波器的极－零点图。 （2） 求出滤波器的传输函数。 解： 零、极点图
(5分)
传输函数：
H (z ) =
=
(z +0. 8) z +0. 5+0. 62
z
2
=
(z
z
(5分)
32
z +1. 8z +1. 41z +0. 488
四、滤波器设计（每题15分，共30分）
附：
表 FIR滤波器参数
1、设计FIR 滤波器满足下列指标：高通、采样频率20kHz 、带边缘在9kHz 、过渡带宽度900Hz 、阻带衰减40dB 。求出滤波器的脉冲响应表达式。
解：该高通滤波器对应的低通滤波器的通带边缘频率为：1 kHz，
设计中所用的通带边缘频率为：1000 + 900/2 = 1450 Hz， 相应的数字频率为：Ω1 = 2π⋅1450/20000 = 0.145π rads, 对应的理想低通滤波器的脉冲相应表达式为：
h 1(n ) =
sin(n Ω1) sin(0.145n π)
= (5分) n πn π
根据阻带衰减要求，可选汉宁窗，窗函数长度
N =3.32
f s 20000=3.32=73.8→73 T . W . 900
⎛2πn ⎫
窗函数表达式：w (n ) =0.5+0.5cos ⎪ (5分)
72⎝⎭
即所要求的带通滤波器的脉冲响应表达式为：
h (n ) =h 1(n -36) w (n )(-1) n (5分)
2、求一阶低通数字巴特沃斯滤波器的差分方程，滤波器的截止频率为500Hz ，采样频率为4kHz 。采用双线性变换法。
解：一阶低通模拟巴特沃斯滤波器的传输函数为：
ωp 1
H (s ) =
s +ωp 1
f p 1f s
=2π
500
0.25π弧度 4000
截止频率对应的数字频率为： Ωp 1=2π预扭曲为：
ωp 1=2f s tan
Ωp 12
=3313.7弧度/秒 (4分)
将该值代入一阶低通模拟巴特沃斯滤波器的传输函数为：
ωp 13313. 7
H (s ) ==
s +ωp 1s +3313.7 (3分)
进行双线性变换：s =8000(z -1) (z +1) 得数字传输函数：
3313.7+3313.7z -10.293+0.293z -1
H (z ) ==-1
11313.7-4686.3z 1-0.414z -1
由此得差分方程：
(4分)
y (n ) =0.414y (n -1) +0.293x (n ) +0.293x (n -1) (4分)