典型应用题精练(列方程解应用题)
列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点归纳下来,如下:
1. 和、差、倍、分 问 题。此 问 题 中 常 用“多、少、大、小、几分之几”或“增加 、减 少 、缩 小”
等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词, 确定标准量与比校量,并注
意每个词的细微差别。类似于:甲乙两数之和56,甲比乙多3(乙是甲的1/3),
求甲乙各多少?这样的问题就是和倍问题。问题的特点是,已知两个量之间
存在合倍差关系,可以求这两个量的多少。基本方法是:以和倍差中的一种
关系设未知数并表示其他量,选用余下的关系列出方程。
2. 等积变形问题。此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌
握常见几何图形的面积、体积公式。
3. 调配问题。从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”
关系,要注意调配对象流动的方向和数量。
4. 行程问题。要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。
相遇问题(相向而行),这类问题的相等关系是:各人走路之和等于总路程
或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
追及问题(同向而行),这类问题的等量关系是:两人的路程差等于追及的
路程或以追及时间为等量关系。
环形跑道上的相遇和追及问题:同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于
一圈的路程;同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
航行问题:速度关系是:①顺水速度=静水中速度+水流速度;②逆水速度
=静水中速度-水流速度。
飞行问题、基本等量关系:①顺风速度=无风速度+风速 ②逆风速度=无
风速度-风速行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意,并注
意两者运动时出发的时间和地点。
5. 工程问题。其基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间;合做的效率=
各单独做的效率的和。当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,
分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
6. 溶液配制问题。其基本数量关系是:溶质=溶液×浓度(浓度=溶质/溶液,
溶液=溶质/浓度),溶液=溶质+溶剂。这类问题常根据配制前后的溶质质
量或溶剂质量找等量关系,分析时可采用列表的方法来帮助理解题意
7. 利润率问题。其数量关系是:商品的利润率 商品利润商品进价,商品利
润=商品售价-商品进价。注意打几折销售就是按原价的十分之几出售。
8. 银行储蓄问题。其数量关系是:利息=本金×利率×存期;本息=本金+利
息,利息税=利息×利息税率。注意利率有日利率、月利率和年利率,年利率
=月利率×12=日利率×365.
9. 数字问题。要正确区分“数”与“数字”两个概念,这类问题通常采用间接
设法,常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。
列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式,一个多位数是各位上数字与
该位计数单位的积之和。若一个三位数,百位数字为a ,十位数字为b ,个位
数字为c ,则这三位数为:100a+10b+c
10. 年龄问题其基本数量关系:大小两个年龄差不会变。这类问题主要寻找
的等量关系是:抓住年龄增长,一年一岁,人人平等。
11. 比例类应用题:若甲、乙的比为2:3,可设甲为2x ,乙为
12. 鸡兔同笼类。例如:一笼内有鸡和兔,共有头70个,有 腿 280条,问有
鸡和兔各多少?某地发行了甲乙两种彩票共100万张,甲 每 张2元,乙 每 张 3元,
发行金额160万,求甲乙各多少张?这类问题特点是:两处总量都和包含的
个体有关系。因此两处总量就是两个等量关系,可以设其中一个个体为X ,利
用等量关系列方程。
13. 探寻规律类这类方程的特点是,从给出的材料中找出规律,并利用这
一规律找出解决问题的相等关系,列出方程。例如:数字排列规律。2、4、6、
8…。-1、2、-3、4、-5„。还有日历中的规律、年龄的规律、数字表示规律
等。 1、10名同学参加数学竞赛,前4名同学平均得分150分,后6名同学平均得分
比10人的平均分少20分,这10名同学的平均分是________分.
2、某商店想进饼干和巧克力共444千克,后又调整了进货量,使饼干增加了
20千克,巧克力减少5%,结果总数增加了7千克。那么实际进饼干多少千
克?
3、某文具店用16000元购进4种练习本共6400本。每本的单价是:甲种4元乙
种3元,丙种2元,丁 种 1.4元。如果甲、丙两种本数相同,乙、丁两种本数也相同,那
么丁种练习本共买了_________本。
4、六年级某班学生中有161的学生年龄为13岁,有43的学生年龄为12岁,
其余学生年龄为11岁,这个班学生的平均年龄是_________岁。
5、某个五位数加上20万并且3倍以后,其结果正好与该五位数的右端增
加一个数字2的得数相等,这个五位数是__________。
6. 大小酒桶共80个,每个大桶可装酒25千克,每个小桶可装酒15千克,大
桶比小桶共多装600千克,则大酒桶有__________个。
7、某自来水公司水费计算办法如下:若每户每月用水不超过5立方米,则每
立方米收费1.5元,若每户每月用水超过5立方米,则超出部分每立方米收
取较高的定额费用,1月份,张家用水量是李家用水量的32,张家当月水费
是17.5元,李家当月水费27.5元,超出5立方米的部分每立方米收费多
少元?
8、某县农机厂金工车间有77个工人. 已知每个工人平均每天可以加工甲种零
件5个或乙种零件4个,或丙种零件3个。但加工3个甲种零件,1个乙种
零件和9个丙种零件才恰好配成一套. 问:应安排生产甲、乙、丙种零件各多
少人时,才能使生产的三种零件恰好配套?
相遇问题
【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题
叫做相遇问题。
【数量关系】 相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)×相遇时间
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公
式。
例1 南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从
南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小
时两船相遇?
解 392÷(28+21)=8(小时)
答:经过8小时两船相遇。
例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?
解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×2
相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒)
答:二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。
解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此,
相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时)
两地距离=(15+13)×3=84(千米)
答:两地距离是84千米。
追及问题
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】 追及时间=追及路程÷(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)×追及时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1 好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?
解 (1)劣马先走12天能走多少千米? 75×12=900(千米)
(2)好马几天追上劣马? 900÷(120-75)=20(天)
列成综合算式 75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)
答:好马20天能追上劣马。
例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。
解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40×(500÷200)]秒,所以小亮的速度是 (500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3(米)
答:小亮的速度是每秒3米。
例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人? 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[10×(22-16)]千米,甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间=[10×(22-16)+60]÷(30-10)=120÷20=6(小时) 答:解放军在6小时后可以追上敌人。
例4 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(16×2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,
这个时间为 16×2÷(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为 (48+40)×4=352(千米)
列成综合算式 (48+40)×[16×2÷(48-40)]=88×4=352(千米) 答:甲乙两站的距离是352千米。
例5 兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远?
解 要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60)米,
那么,二人从家出走到相遇所用时间为
180×2÷(90-60)=12(分钟)
家离学校的距离为 90×12-180=900(米)
答:家离学校有900米远。
例6 孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。
解 手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到(10-5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10-5)分钟。如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用[9-(10-5)]分钟。
所以 步行1千米所用时间为 1÷[9-(10-5)]=0.25(小时)=15(分钟) 跑步1千米所用时间为 15-[9-(10-5)]=11(分钟)
跑步速度为每小时 1÷11/60=5.5(千米)
答:孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。