互斥及对立事件概率问题求解五例
焦景会 055350 河北隆尧一中
在求解稍复杂的事件的概率时,通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成彼此互斥的事件的概率之和;二是先求此事件的对立事件的概率。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时,常先求此事件的对立事件的概率,再利用公式P(A)1P()求出所求事件的概率。这种解法,称为逆向思考方法,采用这种方法有时可使问题的解答变得简便。下面就互斥及对立事件的概率问题举例分析如下。
例1、 假设某城有10000辆家庭汽车,其牌照编号为E00001到E10000,问:偶然遇到牌照号码中有数字6
的汽车的概率为多大?
,则A与 是对立事件,解:用A表示“牌照号码中有6的事件”,用 表示“牌照号码中不含6的事件”
9494则 P()4,所求概率为P(A)1P(1(0.34。 1010
点评:此题利用对立事件求概率。
例2、 将一个骰子先后抛掷三次,求向上的点数和为6的倍数的概率。
解:点数和为6的倍数的情况有三种:即和为6、12、18。设和为6的事件为 A1,和为12的事件为A2,和为18的事件为A3,彼此互斥。
(1)和为6的点数组有(1、1、4),(1、2、3),(2、2、2),共10个,则P(A1)10 63
3(2)和为12的点数组有(1、5、6),(2、4、6),(2、5、5),(3、3、6),(3、4、5)(4、4、4),共有 3A323125
个,则P(A2)25 36
(3)和为18的点数组有(6、6、6),共一个,则P(A3)1。 63
10251361故所求概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)=333。 6216666点评:把所求事件概率化成一些彼此互斥事件的概率和。
例3、 口袋里放有12个大小完全相同的球,其中3个红色的,4个白色的,5个蓝色的,从袋中取出4个球
时,求 (1)取出的球的颜色至少是两种的概率。(2)取出的球的颜色是三种的概率。
解:(1)设“从12个球中取出4个球至少是两种颜色”的事件为A,A的对立事件为,且全为白色有1种,全为蓝色有5种,则P(1
C4
125C41222163,P(A)1P(1。 165165165
(2)设取出4球中,“1红、1白、2蓝的事件”为A1;“1红、2白、1蓝的事件”为A2;“2红、1白、1蓝的事件”为A3,且事件A1,A2,A3彼此互斥。故所求概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)=12090606. [1**********]
1点评:问题(1)的解法是先求事件的对立事件的概率,问题(2)解法是将所求事件的概率化成一些彼此互
斥事件的概率的和。
例4、 某人把大小相同的3个黄色,3个白色的乒乓球放到一个盒子里,让人摸球。规定:若摸得同色3个球,则送给摸球者5元钱;若摸得非同色的3个球,摸球者付给自己1元钱。假定一天内有100人次摸球,试从概率角度估算一下这个人一年(按360天计算)能赚多少钱?
解:设“摸球一次,摸得同色3球”为事件A,“摸球一次,摸得非同色3球”为事件B,则A是B的对立事件,则P(A)2
C3
691,P(B)1P(A)。 1010
假定一有100人次摸球,360天可赚钱 (191510036014400元。 1010
点评:这是一道现实生活问题,是排列、组合、概率的综合应用。
例5、 某辆汽车载有8名学生从学校回家,途中共有甲、乙、丙三个停车点。如果某停车点无人下车,那么该车在这个点就不停车,假设每个学生在每个停车点下车的可能性都相等。求 (1)停车次数不少于2的概率;(2)恰好停2次的概率。
解:8个学生每人下车情况作为一基本事件有36561 个。
(1)“停车次数不少于2”的对立事件是“停车次数恰为1”,即8个人在同一点下车,包含3个基本事件,故P(停车次数不少于2)=1-P(停车1次)=18365582186。 [1**********]7
3254254. 65612187(2)“恰好停2次”,即8个人在在其中两个停车点下车,每个停车点至少有1人下车,基本事件为 8C3(C8C8C8)3(22)3254,故P(停车2次)2127
点评:此题易误认为在3个停车点停车事件是3次独立重复试验。
2