统计学基础 第四章 综合指标
【教学目的】
1. 掌握总量指标的概念及其种类
2. 掌握相对指标的概念及其计算方法
3. 掌握平均指标的概念、特点及其计算方法
4. 掌握变异指标的概念及其计算方法
【教学重点】
1. 总量指标的概念及其种类
2. 相对指标的概念及其计算方法
3. 平均指标的概念、特点及其计算方法
4. 变异指标的概念及其计算方法
【教学难点】
1. 总量指标的分类辨析
2. 各种相对指标的区别及其计算方法
3. 平均指标的概念、特点的理解，计算方法的运用
4. 变异指标的概念的理解，计算方法的运用
【教学时数】
教学学时为14课时
【教学内容参考】
第一节 总量指标
一、总量指标的意义
总量指标是反映总体的规模、水平的指标，是最基本的指标，又称绝对数。
【案例】
例如，2008年全国社会消费零售总额达到108488亿元；全国固定资产投资总额为172291亿元；全国粮食总产量达到52850万吨。这些指标都属于总量指标。通过上述总量指标数值的大小，就可以对我国社会消费品零售总额、固定资产投资额、粮食总产量等情况有一个直观的认识。总量指标数值的大小随总体范围的大小而增加或减少，总体范围大，指标数值就大；总体范围小，指标数值就小。
有时总量指标也表现为同一总体在不同的时间、空间条件下的差数。
【案例】
2007年我国粮食总产量为50160.3万吨，2008年我国粮食总产量比2007年增加了2689.7万吨，这一增加量也是总量指标。总量指标作为增加量时，其数值表现为正值；作为减少量时，其数值表现为负值。
总量指标是我们认识社会经济现象的起点。了解现象的基本情况一般先从总量开始。
【案例】
要了解2008年辽宁省文化事业基本情况，通过明晰下列总量指标即可：年末全省共有艺术表演团体65个，文化馆、艺术馆123个，公共图书馆128个，博物馆37个，档案馆153个。全年出版报纸123种，出版量19.1亿份；出版杂志324种，出版量0.8亿册；出版图书8884种，出版量1.7亿册。年末有广播电台15座，电视台16座，有线电视用户680.8万户，比上年增加86.2万户，其中，数字电视用户166.5万户，比上年增加62.1万户。同时，总量指标也是计算其他指标的基础，相对指标和平均指标都是以总量指标为基础派生的指标。
【能力训练】
(1)你认为总量指标的意义主要体现在哪里？
(2)人均利税总额是总量指标吗？为什么？
二、总量指标的种类
(一) 总体单位总量和总体标志总量
按反映的总体内容不同，总量指标可分为总体单位总量和总体标志总量。
总体单位总量就是总体单位数，它是由每个总体单位相加汇总得到的。
【案例】
以全国普通高校为总体，全国普通高校数量就是总体单位总量。
以某企业工人为总体，工人人数就是总体单位总量。
可见，通过总体单位总量可以观察总体的具体规模和水平。要确定总体单位总量首先要根据统计研究目的确定总体范围。
总体标志总量，即总体各单位数量标志值之和，它是由总体单位的某一数量标志值相加汇总得到的。
【案例】
如果要研究某企业职工工资情况，职工是总体，职工数是总体单位数，每个职工的工资是数量标志，工资的具体数值是标志值，所有职工的工资总额就是总体标志总量。
在一个特定总体内，总体单位总量只有一个，但可以同时并存若干个总体标志总量，从而产生一系列指标，见表4-1。
表4-1 某地区企业发展情况
总体单位总量
总体标志总量
【能力训练】
1. 区分总体单位总量与总体标志总量的意义何在？
2. 对于“职工数”这一总量指标，你能判断出它应属于上述哪个范畴吗？为什么？
(二) 时期指标与时点指标
按反映的时间状况不同，总量指标可分为时期指标和时点指标。
时期指标是表明社会经济现象在一段时期内发展的总结果。
比如利润总额、国内生产总值、产品销售收入等都是时期指标。
时点指标是反映社会经济现象在某一时点（瞬间）上存在的总数量。
比如人口数、储蓄存款余额、商品库存量、在校学生数等都是时点指标。
如何判断时期指标和时点指标呢？可以根据表4-2中两个指标的特点来加以判断。 表4-2 时期指标与时点指标的区别
产品产量是时期指标，将3个月的产量相加就是一个季度的产量，将4个季度的产量相加就是一年的产量，一年的产量大于一个季度的产量，一个季度的产量大于一个月的产量。同时，月产量是对每天的产量累计得到的，年产量是将12个月的产量累计得到的。
而储蓄存款余额是时点指标，比如某储蓄所储蓄存款余额1月1日为248万元，4月1日为235万元，12月31日为436万元，1月1日至4月1日间隔3个月，指标数值却减少了，而4月1日至12月31日间隔9个月，指标数值似乎大了，但这是现象发展变化差异的结果，而不是因为时点间隔长短的缘故。如果将各时点上的储蓄存款余额相加汇总，则没有实际意义。由此可见，时期指标和时点指标的主要区别就是指标数值的可加与否。
【能力训练】
根据2008年我国统计公报中获悉2004～2008年年末我国电话用户的基本情况见表4-3和图4-1。
你能通过统计图表中的各项总量指标简单说明2004～2008年我国电话用户发展情况吗？
第二节 相对指标
一、相对指标的意义
相对指标是将两个有联系的现象数量进行对比求得的，也称相对数。2008年全年货物进出口总额25616亿美元，仅以此很难评价国际贸易的发展情况，如果将2008年货物进出口总额同2007年进行对比，可以看出同比增长17.8%。其中，货物出口总额14285亿美元，同比增长17.2%；货物进口总额11331亿美元，同比增长18.5%。这使我们对国际贸易的发展快慢有了清晰的认识。所以相对指标为深入认识现象的发展状况提供了依据。
相对指标一般用无名数来表示，如百分数、千分数、系数、倍数；有时也用有名数来表示。在经济分析中，还经常用到百分点（或千分点）的概念，常用于两个百分数（或两个千分数）相减的场合，一个百分点（或一个千分点）就是1%（或1‟）。比如某公司劳动生产率计划比去年提高5%，实际提高8%，这说明实际劳动生产率比计划劳动生产率提高3个百分点（8%-5%）。在农业统计中，有时用到成数，成数是将对比的基数定为10而计算出来的相对数，比如农业产量增长一成，即增长10%。
二、相对指标的计算与分析
由于相对指标的计算方法不同，其作用也不相同，在实际工作中，将相对指标分为结构相对指标、比例相对指标、比较相对指标、强度相对指标、动态相对指标和计划完成程度相对指标。
(一) 结构相对指标
结构相对指标是将总体划分为几组，求出各组总量占总体总量的比重，用来反映总体内部的组成情况。总体内各组的结构相对指标数值之和等于100%。结构相对指标的计算公式为
结构相对指标= 100%
总体总量指标数值
【案例】
改革开放以来，我国工业经济快速发展，经济实力空前增强，工业结构发生深刻变化，工业化水平明显提高，实现了由工业化初期向工业化中期的历史性跨越，实现了由工业基础薄弱、技术落后、门类单一向工业基础显著加强、技术水平稳步提高、门类逐渐齐全的重大转变。不仅如此，区域经济格局也发生了一些积极的变化，并向协调发展逐步推进。工业为我国国民经济发展、国际地位的提升和人民生活质量的改善做出了重大贡献。试根据我国规模以上工业企业在地区间的分布构成情况（见表4-4），分析区域经济发展态势。
说明：规模以上企业为年主营业务收入在500万元以上的企业。
资料来源：2008年《中国统计年鉴》。
通过以上计算各结构相对指标，可以看出，2008年我国有336768家规模以上工业企业，其中东部地区占72.10%，而中西部仅占27.90%。如果将2007～2008年两年数据进行对比，还可以看出，东部地区的规模以上工业企业数量比重下降了0.19个百分点，主营业务收入比重也下降了
1.17个百分点，但中部和西部的规模以上工业企业数量比重和主营业务收入比重却都存在不同程度的提高。说明工业区域经济发展出现了从东部地区优先发展逐步转向东中西部地区协调发展的态势。
(二) 比例相对指标
比例相对指标是同一总体内不同组成部分的指标数值之比，可以表明总体内部的比例关系。其计算公式为
总体中某部分指标数值 比例相对指标 总体中另一部分指标数值
比例相对指标的计算结果通常以百分比来表示。
【案例】
在上例中，2008年我国规模以上工业企业在单位数量比重上东部、中部、西部的比为100：25：13，也可以表示为8：2：1。又如，人口总体中，男性人数与女性人数的比例；在科研机构中，研究人员、研制人员与辅助人员的比例。比例相对指标的分子分母是可以互换的。
【能力训练】
下列属于结构相对指标的是（ ）；属于比例相对指标的是（ ）。
A. 非公有制经济占49% B.第一、二、三产业产值比为2：5：3
C. 第三产业从业人数占43% D.男女性别比为107：100
(三) 比较相对指标
比较相对指标是同类指标在同一时间不同空间上对比的结果。不同空间可以是不同的国家、
不同的单位等。比较相对指标主要用于说明现象发展的不均衡程度和差异程度。其计算公式为 甲空间上某项指标数值 比较相对指标乙空间上同类指标数值
【案例】
甲、乙两商场2008年的销售额分别为4亿元和3.2亿元，则甲商场销售额是乙商场销售额的
1.25倍。单纯地看这个1.25倍，给我们的概念是甲商场的销售额大大高于乙商场，但甲乙两商场的规模可能相差很大，所以单纯采用总量指标进行对比，往往要受到总体规模大小的影响，不能准确地说明甲乙两商场销售水平的差异。
【案例】
甲市场的某种蔬菜价格为2.4元/千克，乙市场同种蔬菜价格为2.0元/千克，则甲市场价格是乙市场价格的1.2倍，或乙市场价格是甲市场价格的0.83倍。这种利用两个价格（即平均指标）之比来确定的比较相对指标，才能真实反映两个市场价格水平的变动差异。所以，计算比较相对指标，通常采用平均指标或相对指标进行对比，以准确反映现象发展的本质差异。
在经济管理工作中，常运用比较相对指标进行同行业各单位的不同指标数值的比较，从而找出差距，为提高经营管理水平提供依据。
【能力训练】
应该用什么指标来计算比较相对指标，才能正确评价上述例子中甲乙两商场的经济效益情况？
(四) 强度相对指标
强度相对指标是两个性质不同但有联系的总量指标对比的结果，用来反映现象的强度、密度和普遍程度。其计算公式为
某一总体的总量指标 强度相对指标= 另一性质不同而有联系的总体的总量指标
强度相对指标的特点在于它是两个不同总体的总量之比。
【案例】
以人口数与国土面积数对比得到的人口密度指标，人口数是以人口为总体计算的总量指标，而国土面积数是以整个国土为总体计算的总量指标，两个不同总体的总量之比，就是强度相对指标。
强度相对指标一般用有名数来表示，而且是复名数。
比如人口密度单位是人/平方公里，储蓄网点普及程度的单位是个/平方公里。
强度相对指标也有用无名数表示的。
比如人口死亡率以千分数表示，流通费用率以百分数表示。
强度相对指标有时分子和分母可以互换，从而形成正、逆指标。正指标越大，逆指标越小，说明其强度、密度、普遍程度越大。
比如，每千人拥有的商业机构个数，或每个商业机构服务的人数，前者是正指标，越大，表明商业越发达，人民生活越方便；后者是逆指标，越小，表明商业越发达，人民生活越方便。 强度相对指标应用广泛，在进行国力比较、地区经济实力比较时都经常使用这一指标。
【能力训练】
(1)以储蓄网点数与土地面积数对比得到的储蓄网点普及程度属于强度相对指标，你能说明储蓄网点数与土地面积数分别属于哪两个总体吗？
(2)你能理解人口死亡率、流通费用率为什么属吗？
(五) 动态相对指标
动态相对指标又称发展速度，它是同一指标在不同时间上对比的结果，说明同类现象在不同时间上的发展程度。其计算公式为
报告期指标数值 动态相对指标= 基期指标数值
【案例】
2008年我国全社会固定资产投资为172291亿元，2007年我国固定资产投资为137323.90亿元，2008年是2007年的125.5%，比上年增长25.5%。
(六) 计划完成程度相对指标
计划完成程度相对指标是某一时期的实际完成数与计划任务数对比的结果，用来检查计划的完成情况。其计算公式为
计划完成程度相对指标=实际完成数⨯100% 计划任务数
公式中的分母是下达的计划任务指标，分子是实际完成指标，计划任务指标是用于衡量计划完成情况的标准，所以公式中的分子和分母不得互换，而且分子和分母的指标口径（指标含义、计算口径和方法、计量单位及时间和空间范围）应保持一致。
计划完成程度相对指标表明实际对计划完成的情况，分子数值减分母数值表明计划执行的结果。计划完成相对指标可用来监督和检查国民经济计划的执行情况；分析计划完成或未完成的原因，有助于相关部门抓住薄弱结，进一步挖掘潜力，为组织国民经济新的平衡和促进经济建设事业的发展提供依据。
计划完成程度相对指标具体的经济含义要根据实际经济内容而定。由于经济现象的特点不同，在下达计划任务时，计划指标可能表现为总量指标，也可能表现为相对指标或平均指标。下面举例说明不同情况下的计划完成程度相对指标的计算方法。
1. 计划任务数以总量指标变现
当计划任务数以总量指标表现时，计划完成情况检查一般为短期计划完成情况检查和长期计划完成（一般为5年）情况检查两种。它用来考察社会经济现象发展或发展水平的计划完成情况。
(1)短期计划完成情况检查。我们可以用两种不同算法来表示计划完成的不同方面：其一是实际数与计划数是同期，如月实际数与月计划数对比，说明月度计划执行的结果；其二是计划期中某一段实际累计数与全期计划数对比，用以说明计划执行的进度状况，为下阶段工作安排做准备。其计算公式为
累计至本期止实际完成数计划完成程度相对指标=⨯100% 全期计划数
【案例】
某公司第四季度计划销售额为6000万元，实际销售额6800万元，试评价该公司销售额计划完成情况。
销售额计划完成程度=6800⨯100%=113. 33% 6000
计算结果表明该公司第四季度实际比计划超额完成13.33%，超额完成销售额800万元。
【案例】
某企业今年全年生产计划要求完成工业总产值1000万元。截止六月底统计资料表明1～6月份已累计完成工业产值546万元，试评价该企业计划执行进度情况。
计划执行进度相对指标=累计至六月底止实际完成数⨯100%全年计划数
546=⨯100%=54. 6%1000
计算结果表明该企业今年上半年时间过半，完成产值任务也过半，在生产中执行计划进度是正常的。
(2)长期计划完成情况检查。对于长期计划如五年计划而言，由于计划任务的规定有不同的性质，有的任务是按全期应完成的总数来规定，有的任务则是以计划期末所应达到的水平来规定，因而产生了两种不同的检查方法，即累计法和水平法。
①累计法。累计法是指整个计划期间实际完成数的累计数，与计划规定的任务数进行对比的一种检查方法。其计算公式为
计划期间累计完成数计划完成程度相对指标=⨯100% 本期计划数
凡是当计划指标是按计划期内各年的总和规定任务时，或者说，是按计划全期（如5年）提出累计完成数的任务时，就要求按累计法计算，以检查其计划完成情况。如基本建设投资额、新增生产能力、造林面积等指标。
【案例】
某市“十五”计划规定：2000～2005年的5年全社会固定资产投资额合计为11690亿元，实际完成额为15946亿元，试评价全社会固定资产投资额计划完成情况。
计划完成程度=5年计划期间累计完成数⨯100%5年计划规定的累计数
15946=⨯100%=136. 41%11690
计算结果表明该市“十五”时期全社会固定资产投资实际以136.41%完成了计划。
按累计法检查计划执行情况时，计算提前完成计划的时间的方法是：将计划全部时间减去自计划执行之日起至累计实际数已达到计划任务时间，即为提前完成计划的时间。
例如，某市“十五”时期基本建设投资总额规定为20亿元，该市到2005年6月30日为止实际完成投资额规定为20亿元，即提前半年完成投资计划。
②水平法。水平法是指以计划期的末期实际达到的水平，与计划规定末期应达到的水平进行对比的一种检查方法。其计算公式为
计划期末期实际达到水平⨯100% 计划期末期计划应达到水平
在制定长期计划时，对计划指标按计划期应达到的水平来规定的，就要求按水平法计算，以检查其计划完成情况。如产量、产值、销售额等指标。
【案例】
某地区“十五”计划规定：粮食产量2005年达到年产450万吨的水平，实际执行结果为达到465万吨，试评价该地区粮食产量计划完成情况。 计划完成程度相对指标=
计划完成程度=计划期末期实际达到的水平⨯100%计划期末期计划应达到的水平
465=⨯100%=103. 33%450
计算结果表明某地区“十五”时期粮食产量超额3.33%，达到了五年计划水平。
按水平法检查计划执行情况，计算达到计划水平时间的方法是：根据连续1年时间（不论是否在一个日历年度，只要连续12个月即可）的实际完成数达到规定计划水平时，即为达到计划水平时间，也就是完成计划时间。将计划时间减去达到计划水平的时间，即为提前完成计划时间。
【案例】
某企业“十五”计划规定：2000～2005年的第五年某种产品的产量应达到120万吨的水平，实际执行结果从2004年8月到2005年7月为止连续12个月产量已达到120万吨的水平，则产品计划提前完成的时间=5×12-（4×12+7）=5（月）。说明该企业提前完成计划时间为5个月。
2. 计划任务数以相对指标表现
在计划工作中，也有用提高或降低百分比来规定计划任务数的，如劳动生产率提高百分之几、成本水平降低百分之几等。应用相对指标计算计划完成程度指标时，其计算公式为
提高1±实际百分数降低计划完成程度=⨯100%
提高1±计划百分数降低
【案例】
某公司劳动生产率计划2008年比2007年提高8%，而实际执行结果提高10%，试评价该公司劳动生产率计划完成情况。
计划完成程度=1+10%⨯100%=101. 85% 1+8%
计算结果表明该公司的劳动生产率超额完成计划1.85%。
3. 计划任务数以平均指标表现
在实际工作中，还有用平均指标来规定计划任务数的，如单位产品成本、单位产品消耗定额等。应用平均指标计算计划完成程度指标时，其计算公式为
计划完成程度相对指标=平均指标实际完成数⨯100% 平均指标计划任务数
【案例】
某企业A 产品计划在去年平均每件90元的成本水平上降低5元，而实际上今年每件平均成本为80元，试评价该企业A 产品平均成本计划完成情况。
计划完成程度=实际平均产品成本80⨯100%=⨯100%=94. 12% 计划平均产品成本85
计算结果表明A 产品平均成本计划完成程度为94.12%。超计划为94.12%-100%=-5.78%，即超过5.78%完成成本降低计划。
计划完成程度相对指标的评价原则。当表示成本、费用之类计划完成程度相对指标小于100%，说明超额完成计划；当收入、利润之类的计划完成程度相对指标大于100%，说明超额完成计划。实际工作中，有时也采用实际提高（或降低）百分数与计划提高（或降低）百分数相减的办法，但相减的结果代表的含义却与前述方法计算的结果含义不同，它以百分点表示。如上述案例中劳动生产率完成计划情况=10%-8%=2%，说明实际比计划提高2个百分点；单位成本计划完成情况=6%-4%=2%，说明实际比计划降低2个百分点。
相对指标在实际应用中，要注意两个问题：
第一，相对指标的分子分母必须可比。可比是指内容要相同、总体范围要一致，不能将不可比的两个指标强行凑到一起进行对比。例如，比较两个公司的劳动生产率水平的高低，那么劳动生产率的计算口径就应保持一致，才可以对比。如果甲公司的劳动生产率是产量与全体职工人数的对比，而乙公司的劳动生产率却是产量与工人人数的对比，那么这两个公司的劳动生产率就是不可比的。
第二，要将相对指标与总量指标结合运用。这一点在进行统计分析时尤其重要，因为总量指标说明现象总体的绝对数量，受总体规模大小的影响，不便于不同总体之间的比较。而相对指标将现象的绝对水平抽象化了，又不能说明现象的绝对差异。所以要把总量指标与相对指标结合运用，既看到现象的绝对水平，也分析现象的变化程度，以便更深入地认识现象的实质。
【能力训练】
某企业三个车间的生产情况如下表，运用所学的指标，正确评价各车间的生产质量。
表4-5 某企业三个车间的生产情况
第三节 平均指标
一、平均指标的意义
(一) 平均指标的概念
平均指标又称平均数，是同类社会经济现象在一定时间、地点条件下，总体内各单位数量差异抽象化的代表性指标，是反映总体单位数量特征的一般水平的综合指标。
平均指标能够反映总体内部的一般分布特征。这种特征表现为：一般距离其平均值远的标志值比较少，而距离其平均值近的或接近其平均值的标志值比较多，所以，平均指标反映了总体分布的集中趋势或一般水平。
【案例】
某班有20名学生，《统计基础》期末考试成绩见表4-6。
表4-6 某班《统计基础》期末考试成绩表
从表4-6中可以看出这20名学生《统计基础》的考试成绩高低不等，喜忧各异。表中的每个分数分别代表了学生们各自的水平，使得构成该研究总体的个体之间存在着明显的差异，统计研究的目的就在于通过这些差异反映出总体的基本特征。为此，需要找出一个能够代表所有学生一般成绩的代表性数值，它应该能够将20名学生成绩之间的数量差异抽象化，这个抽象化的指标即为平均成绩。
通过上例可以看出，平均指标具有三个显著特点：
第一，它是一个代表值，可以代表总体的一般水平；
第二，它将总体单位之间的数量差异抽象化了；
第三，它反映了总体分布的集中趋势。
(二) 平均指标的作用
由于平均指标能够综合反映某种社会经济现象总体在一定条件下的一般水平，所以应用很广，其作用主要表现在以下几个方面：
1.利用平均指标，可以概括说明总体的一般水平。平均指标是把一个总体内各单位的数量差异抽象化，用一个指标数值说明总体的一般水平。例如，用某市职工年平均工资8000元来反映该市职工的收入水平，就具有高度的综合性和概括能力，给人以鲜明、深刻的印象。
2.利用平均指标，可以对同一现象不同空间进行对比分析。对于不同国家、不同地区、不同单位的同类现象的水平，由于总体范围的大小可能不同，通常不能直接进行对比，只有通过计算平均指标才能将不可比的现象变为可比，从而反映出现象之间在空间上的差异。
3. 利用平均指标，可以对同一现象进行不同时间的对比。事物总是在不断发展变化的，利用平均指标，可以研究某一总体在时间上的变化，反映总体发展的过程及其发展变化的趋势。
4.利用平均指标，可以分析现象之间的依存关系。在对现象总体进行分组的基础上，运用平均指标可以分析现象之间的依存关系。例如，在对企业按车间或班组进行分组的基础上，可以通过计算各组的平均工资水平和各组的平均劳动生产率，来反映平均劳动生产率与平均工资水平之
间的依存关系。
5. 利用平均指标，可以进行数量上的估算。对社会经济现象的总量指标进行数量估算时，可采用科学的方法，利用由某一标志值计算出的平均指标来估算未知总体的平均指标或者估算总体的标志总量。
(三) 平均指标的分类
1. 静态平均数与动态平均数
根据平均指标反映内容的不同，可以把平均数分为静态平均数和动态平均数。凡反映在同一时间范围内总体各单位某一数量标志一般水平的平均数称为静态平均数；凡反映不同时间而同一空间范围内总体某一指标一般水平的平均数称为动态平均数。本章只介绍静态平均数，又称一般平均数。
2.数值平均数与位置平均数
根据平均指标计算方法的不同，可以把平均数分为数值平均数和位置平均数。凡根据总体各单位标志值计算的平均数，称为数值平均数，主要有算术平均数、调和平均数和几何平均数等；凡根据总体各单位标志值在变量数列中的位置计算的平均数，称为位置平均数，主要有众数和中位数等。
二、平均指标的计算与分析
(一) 算术平均数
算术平均数是分析社会经济现象一般水平和典型特征的最基本、最常用的一种平均指标。其基本定义为：总体标志总量与总体单位总量之比。其计算公式为
总体标志总量 算术平均数总体单位总量
【案例】
某企业某月职工工资总额为180000元，职工总人数为200人，则该企业该月职工的平均工资为：180000/200=900（元/人）。
需要说明的是算术平均数基本公式中的子项（总体标志总量）与母项（总体单位总数）的口径必须保持一致，也就是说各标志值与各单位之间必须具有一一对应的关系，属于同一总体，否则就不具备计算算术平均数的条件。因为只有在二者完全对应的情况下，通过对比才能反映出所研究现象的一般水平。这一点也正是算术平均数与强度相对指标的重要区别。
【能力训练】
(1)概括平均指标与强度相对指标的区别。
(2)以下指标属于平均指标还是强度相对指标？为什么？
A. 每百户居民拥有电话机的数量 B.人均粮食产量 C.人口密度
D. 粮食平均亩产量 E.从业人员平均劳动报酬 F.人均粮食消费量
计算算术平均数时，根据所掌握资料的不同，可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种形式。
1.简单算术平均数
在掌握了总体各单位标志值及单位总量资料时，可直接利用上述公式计算算术平均数
【案例】
参见表4-6资料，计算该班20名学生《统计基础》期末考试的平均成绩：
平均成绩=全班总分数/全班总人数
88+76+68+60+72+85+75+90+56+92+95+80+86+82+70+98+77+83+65+74 = 20
=1572/20=78.6（分）
即该班《统计基础》的平均成绩为78.6分，它代表了这个班级《统计基础》考试成绩的一般
水平。
简单算术平均数是总体标志总量与总体单位总量相比求出的平均数。其计算公式为
x 1+x 2+x 3+... +x n ∑x
x ==
n n
简单算术平均数计算方法简便，但其应用的前提条件是：变量数列中各个变量值出现的次数
相同。
2.加权算术平均数
当变量值已经分组，且各组变量值出现的次数不同时，就必须计算加权算术平均数。 【案例】
某商场食品部有16名职工，按日销售额分组，得到的变量数列资料见表4-8。试计算职工平均日销售额。
表4-8 某商场食品部职工日销售额资料及计算表
日总销售额
平均日销售额 职工总人数
2200×2+2600×3+2800×4+3000×5+3200×2
=
2+3+4+5+2 =44800/16=2800（元/人）
在该平均数的计算中，不仅涉及到变量值x ，还涉及到另一个反映变量值出现次数的量，用“f ”表示。则有
x f +x 2f 2+x 3f 3+... +x n f n
x =11=
f 1+f 2+f 3+... +f n
xf f
该计算公式表明，平均数的大小，不仅取决于总体各单位标志值的大小，而且还受到各单位标志值出现次数的影响。所以，式中的“f ”在此起着“权衡轻重”的作用，故统计学中将其称为权数，将以上计算方法称为加权算术平均法。
计算加权算术平均数时需要注意：
(1)权数的引入。通过前面的计算不难发现，简单算术平均数的大小，只受一个因素即变量值本身大小的影响：当变量值的水平较高时，平均数就较大；反之，平均数就较小。加权算术平均数的大小，却要同时受两个因素的影响：一是变量值本身，二是各个变量值出现的次数。 (2)权数的性质。变量值出现的次数对加权算术平均数的大小起着权衡轻重的作用，平均数往往靠近次数最多的那个变量值。从例7中可以明显看出，权数大的变量值对平均数的影响就大，权数小的变量值对平均数的影响就小。
(3)权数的选择。在计算加权算术平均数时，必须慎重考虑权数的选择。选择权数的原则是：各组的变量值与其出现次数的乘积等于各组的标志总量，并具有实际经济意义。一般来说，在变量数列中，变量值出现的次数就是权数。但也有例外的情况，特别是用相对数或平均数计算加权
算术平均数时，要特别注意。
(4)权数的实质。权数对算术平均数的影响，不是决定于权数本身数值的大小，而是决定于权数比重（或称为相对数权数）的大小。权数比重是指作为权数的各组单位数占总体单位数的比重，也叫权数系数。单位数所占比重大的组，其变量值对平均数的影响就大，反之影响就小。公式如下：
⎛xf f ⎫ ⎪ =∑x ⋅ x =
⎪f ⎝f ⎭
【案例】
仍以表4-8中的资料为例，计算加权算术平均数。见表4-11。
表4-11 某商场食品部职工日销售额资料及计算表
⎛
x =∑ x ⋅f
⎝
⎫
⎪=2800(元) ⎪f ⎭
与前面采用x =
∑xf
f
公式计算的结果完全一样。
简单算术平均数与加权算术平均数两者之间具有内在联系。加权算术平均数公式是算术平均数的代表公式，简单算术平均数公式只是加权算术平均数公式在各组权数都相等时的一个特例。 另外，如果掌握了组距式变量数列资料，也可以计算加权算术平均数。 【案例】
由此可见，用组距式变量数列计算加权算术平均数时，是用各组的组中值来代替各组标志值的实际水平。表4-12中的2250，2750，3250就分别代表了2000～2500，2500～3000，3000～3500各组日销售额的平均值。但是应用这种计算方法需要一个假定条件，即假定各单位标志值在各组内是均匀分布或对称分布的。实际上，各单位标志值在组内呈均匀分布或对称分布是不多见的，
组中值同该组各单位标志值的平均值之间总会存在一定的误差，导致用组中值计算的加权算术平均数也会存在一定的误差。组距越小，组中值同该组各单位标志值的平均值就越接近，用组中值计算的加权算术平均数的误差也就越小；反之，误差就越大。
(二) 调和平均数
调和平均数是各个标志值倒数的算术平均数的倒数，又称为倒数平均数。一般有简单调和平均数和加权调和平均数两种形式。 1.简单调和平均数
简单调和平均数是各个标志值倒数的简单算术平均数的倒数。在各标志值相应的标志总量均为一个单位的情况下求平均数时，应计算简单调和平均数。其计算公式为
x
H
=
n
=
1111+++... +x 1x 2x 3x n
n 1
∑x
【案例】
某商品在淡季、平季、旺季的价格分别是100元、116元、140元，假设分别以淡季、平季、旺季的价格购买金额相等的这种商品，求该商品的平均价格。
将有关数字代入简单调和平均数公式，得到该商品在三个季节中的平均价格为
x
H
=
n ∑x
=
33
==116. 46（元）
0. 02576++100116140
2.加权调和平均数
加权调和平均数是各个标志值倒数的加权算术平均数的倒数。在实际中各标志值相应的标志总量往往是不等的，在这种情况下求平均数时，应计算加权调和平均数。其计算公式为
x
H
=
m 1+m 2+m 3+... +m n
=m n m 1m 2m 3
+++... +x 1x 2x 3x n
∑m
m ∑x
【案例】
某食堂购进某种蔬菜，相关资料见表4-13，求这种蔬菜的平均价格。
表4-13 某种蔬菜价格资料及计算表
根据表4-13中的资料，计算该食堂购进这种蔬菜的平均价格为
∑m =10. 0+15. 0+20. 0=45. 0=1. 106(元/千克) =x H m 40. 740. 7∑x
通过上例计算，可以看出，加权调和平均数实质上是加权算术平均数的一种变换形式。它们的关系为
x
H
=
m m ∑x
=
xf
xf ∑x
=
xf f
=x
由此可见，加权调和平均数与加权算术平均数，只是计算形式上的不同，其经济内容是一致的，都是反映总体标志总量与总体单位总量的比值。在计算平均数时，可以根据所掌握资料的不同，选择加权算术平均数或加权调和平均数。 【能力训练】
加权算术平均数和加权调和平均数计算方法的选择，应根据已知资料的情况来确定。以下叙述正确的有（ ）
①如果掌握基本公式的分母，则用加权算术平均数计算。
②如果掌握基本公式的分子，则用加权算术平均数计算。 ③如果掌握基本公式的分母，则用加权调和平均数计算。 ④如果掌握基本公式的分子，则用加权调和平均数计算。
下面通过实例来说明加权算术平均数和加权调和平均数两种方法的应用。 (1)由相对数计算平均数
以计划完成程度相对指标为例，当掌握的资料为实际完成数时，求平均计划完成程度，应以实际完成数作为权数，采用加权调和平均数来计算；当掌握的资料为计划任务数时，应以计划任务数作为权数，采用加权算术平均数来计算。 【案例】
某饭店分一部、二部、三部，2005年计划收入分别为300万元、260万元、240万元，计划完成程度分别为102%、107%、109%，求平均计划完成程度。由于掌握的资料是计划任务数，平均计划完成程度应采用以计划收入为权数的加权算术平均数来计算，见表4-14。
表4-14 某饭店计划完成资料及计算表
平均计划完成程度为 x =
∑xf f
=
845. 8
=105. 73% 800
如果掌握的资料是实际完成数，平均计划完成程度则要采用以实际收入为权数的加权调和平均数来计算。见表4-15。
表4-15 某饭店实际完成资料及计算表
x
H
=
∑m =845. 8=105. 73% m 800∑x
(2)由平均数计算平均数
以工业企业生产工人劳动生产率为例，如果所掌握的资料是各车间的生产工人劳动生产率及其产值，则计算该企业的平均生产工人劳动生产率时应采用加权调和平均数；如果所掌握的资料是各车间的生产工人劳动生产率及其生产工人人数，则计算该企业的平均生产工人劳动生产率时应采用加权算术平均数。 【案例】
现以2008年某工业部门的相关指标数值为例，确定采用加权调和平均数还是采用加权算术平均数来计算平均生产工人劳动生产率。资料见表4-16。
表4-16 2008年某工业部门有关资料
根据表4-16中的资料，可采用加权调和平均数来计算平均生产工人劳动生产率，见表4-17。
表4-17 2008年平均生产工人劳动生产率计算表 将表4-17中的数值代入公式，可得平均生产工人劳动生产率为
x
H
=
. 79m =3638660
=5. 52(元/人)
m 659402∑x
(三) 几何平均数
几何平均数就是n 个变量值连乘积的n 次方根。
由于掌握资料差异，几何平均数分为简单几何平均数和加权几何平均数两种。 1. 简单几何平均数 设有n 个变量值x 1,x 2, „,x n , 由几何平均数定义可得出简单几何平均数的计算公式为
x
G
=x 1⋅x 2⋅x 3⋅⋅⋅x n =x
【案例】
某机械厂生产机器，设有毛坯、粗加工、精加工、装配四个连续作业的车间，各车间某批产品的合格率分别为96%、93%、95%、97%，求各车间制品平均合格率。
由于全厂产品的总合格率并不等于各车间制品的合格率总和，后续车间的合格率是在前一车
间制品全部合格的基础上计算的。全厂产品的总合格率应等于各车间制品合格率的连乘积，所以不能采用算术平均数和调和平均数公式计算平均合格率，而应用几何平均法来求得。其计算如下：
车间制品平均合格率
x
G
=x =
%⋅93%⋅95%⋅97%=95. 24%
2. 加权几何平均数
当计算几何平均数的每个变量值的次数不相同时，则应用加权几何平均法，其计算公式为
x
G
=
f 1+f 2+⋅⋅⋅+f n
x 11⋅x 22⋅⋅⋅x n
f f
f n
=∑f
x
f
【案例】
某笔为期20年的投资按复利计算收益，前10年的年利率为10%，中间5年的年利率为8%，最后5年的年利率为6%。则20年后的本利率为
1055
（1+10%）×（1+8%） ×（1+6%）=5.1001 整个投资期间的年平均利率为
x
G
=10+5. 1010⨯1. 085⨯1. 065-1=. 1001-1=8. 487%
几何平均数是计算平均比率或平均速度最适用的一种方法，这是因为几何平均数的数学性质与社会经济现象发展的平均比率或平均速度形成的客观过程相一致。凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的现象都适用于用几何平均法计算平均比率或平均速度。在实际应用中，几何平均数主要用于计算社会经济现象的年平均发展速度 【能力训练】
下列可应用加权算术平均法计算平均数的有（ ）。 ①由各营业员的工资额求平均工资
②由营业员按工资分组的变量数列求平均工资 ③由工资总额及营业员总数计算平均工资 ④由各产品等级及各等级产品产量求平均等级 ⑤由各年年利率求平均年利率 (四) 众数 1.众数的概念
众数是指总体中出现次数最多的标志值。它是总体中最常遇到的标志值，是最普遍、最一般的标志值。用众数也可以表明社会经济现象的一般水平。
例如，要说明消费者需要的服装、鞋帽等的普遍尺码，反映集市贸易市场某种蔬菜的价格等，都可以通过市场调查、分析，了解哪一尺码的成交量最大，哪一价格的成交量最多，人们的这种一般需求，即为众数。 2.众数的确定
确定众数，首先要将数据资料进行分组，编制变量数列；然后，根据变量数列的不同种类采用不同的方法。
(1)根据单项式数列确定众数。在单项式数列情况下，确定众数比较简单，只需通过观察找出次数出现最多的那个标志值即可。这里重点介绍根据组距式数列确定众数的方法。
(2)根据组距式数列确定众数。根据组距式数列确定众数，需采用插补法。一般步骤是：先确定众数组，然后计算众数的近似值。 3.众数的特点及应用 众数具有以下几个特点：
第一，由于众数是根据变量值出现的次数确定的，不需要通过全部变量值来计算，因此它不受极端变量值的影响。第二，在组距数列中，各组分布的次数受组距大小的影响，所以根据组距
数列确定众数时，要保证各组组距相等。
第三，在一个次数分布中有几个众数，称为多重众数；有两个众数，称为双重众数。此时说明总体内存在不同性质的事物。
在确定众数时，需要满足以下两个前提：
(1)总体单位数较多。若总体单位数不多，虽然可以从中得到一个具有较大频率的数值，但其价值并不一定具有“最普遍值”的意义。
(2)次数分布具有明显的集中趋势。若数列中各个数据出现的频率都差不多，则所得到的“众数”缺乏代表性。 (五) 中位数 1.中位数的概念
中位数是指将总体各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个标志值。由于它的位置居中，其数值不受极端数值的影响，也能表明总体各单位标志值的一般水平。 2.中位数的确定
根据所掌握资料的不同，中位数的确定方法有两种。即根据未分组资料确定中位数和根据分组资料确定中位数。
(1)根据未分组资料确定中位数。首先将掌握的资料，按标志值由大到小或由小到大的顺序进行排列，然后确定中位数所在的位置，与中位数所在位置相对应的标志值即为中位数。 中位数位置=(n+1)/2
如果标志值的项数是奇数，那么中间位置的那个标志值，就是中位数。
如果标志值的项数是偶数，那么处于中间位置左右两边的标志值的算术平均数，就是中位数。 (2)根据分组资料确定中位数。
①根据单项式数列确定中位数。首先要考虑标志值的分布情况，按一定方法计算累计次数。计算累计次数的方法有向上累计和向下累计两种。当标志值是按从小到大的顺序排列时，前者是指向上累计，后者是指向下累计；相反，当标志值是按从大到小的顺序排列时，前者是指向下累计，后者是指向上累计。
②根据组距式数列确定中位数。根据组距式数列确定中位数相对比较复杂。
首先，确定中位数所在的组。然后，可以采用比例插入法，求得中位数的近似值。
三、应用平均指标需注意的问题 (一) 注意社会经济现象的同质性
同质性，就是指总体各单位在被平均的标志上具有同类性，这是应用平均指标的基本原则。 (二) 注意用组平均数补充说明总平均数
平均指标反映了总体各单位某一数量标志值的一般水平，但却掩盖了各组之间的差异。总体各组之间及组内之间的差异往往影响总体的特征和分布规律，各组结构变动也会对总体变动产生影响。为了全面认识总体的特征和分布规律，需要将平均指标与统计分组结合起来，用组平均数补充说明总平均数。
(三) 注意用分配数列补充说明总平均数
平均指标的重要特征是把总体各单位的数量差异抽象化，掩盖了各单位的数量差异及其分布情况。因此，需要用分配数列补充说明总平均数。
第四节 标志变异指标
一、标志变异指标的意义 (一) 标志变异指标的概念
标志变异指标是指反映总体中各单位标志值差异程度的综合指标，又称标志变动度。
标志变异指标与平均指标之间具有相互联系、相互对应的关系。平均指标表现为总体各单位标志值的一般水平，反映各单位标志值的集中趋势；而标志变异指标则表现为总体各单位标志值
的变异程度，反映各单位标志值的离中趋势。只有将两者结合起来，才能更加全面、深入地认识所研究现象的总体。
(二) 标志变异指标的作用
1.标志变异指标可以说明平均指标的代表性。平均指标作为总体各单位标志值一般水平的代表性指标，其代表性大小与标志变异指标的大小成反比关系，即标志变异指标越大，平均指标的代表性越小；标志变异指标越小，平均指标的代表性越大。
2.标志变异指标可以说明现象变动的稳定性、均衡性。计算同类总体的标志变异指标，并进行比较，可以观察标志值变动的稳定程度或均衡状态。例如，观察工业企业的生产情况，在研究生产计划完成程度的基础上，利用标志变异指标可以测定生产过程的均衡性；另外，测定产品质量的稳定性也需要利用标志变异指标。
3.标志变异指标的大小有助于确定必要的样本单位数。进行抽样调查时，为了合理地利用人力、财力、物力和时间，应正确地确定必要的样本单位数（内容详见第7章抽样推断），抽取的样本单位数过多或过少都会影响样本平均指标的代表性。而标志变异指标的大小可以帮助我们正确地确定必要的样本单位数。
二、标志变异指标的计算与分析
标志变异指标主要有：全距、平均差、标准差、变异系数等。 (一) 全距
全距是指总体各单位标志值中两个极端数值，即最大值与最小值之差，故也称之为“极差”，用符号“R ”来表示，其计算公式：
未分组资料或单项式数列资料：R=最大标志值-最小标志值
分组资料： R≈最高组的上限-最低组的下限
全距反映了总体各单位标志值的变动范围。它的优点是计算简便，意义明确，能准确地反映总体中两极的差距。所以在实际工作中应用十分广泛，如在工业企业的产品质量管理中、证券市场的行情分析中都有广泛应用。
但全距仅表示总体各单位标志值的变动范围，没有包括中间各标志值的变异情况，也无法反映变量数列的次数分布情况，是对变异程度较粗略的反映。因此，它不能反映总体各单位标志值的变异程度，也不能很好地反映平均指标的代表性。 (二) 平均差
平均差是总体各单位标志值与其算术平均数离差的绝对值的算术平均数，用符号“A ·D ”来表示。计算平均差的目的是测算各单位标志值与其算术平均数离差的大小。因为离差有正、有负，还可能是零，所以，为了避免加总过程中的正负抵消，计算平均差时要取离差的绝对值。根据所掌握资料的不同，平均差可分为简单平均差和加权平均差。 1.简单平均差
如果掌握的资料是未分组资料，则可计算简单平均差。一般分两个步骤来完成：第一步，求各单位标志值与其算术平均数离差的绝对值；第二步，将离差的绝对值之和除以项数。 其计算公式为
x -x ∑ A ⋅D =
n
2.加权平均差
如果掌握的是分组资料，则可计算加权平均差。其计算公式为
x -x f ∑A ⋅D = f
一般而言，平均差越大，标志变异程度越大，平均数代表性越小；反之，平均数代表性越大。 从计算过程可知，平均差的计算考虑了研究总体中所有标志值的差异程度，所以可以准确地综合反映总体的离散程度。但每项平均差的计算都必须取绝对值，这就带来了不便于进行数学处理的问题，因而在实际应用中受到了很大的限制。 (三) 标准差 1.标准差的概念
标准差也称为均方差，标准差的平方称为方差。标准差是总体各单位标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数的算术平方根。它是标志变异指标中最重要、最常用的指标，用符号“σ”表示。
2.标准差的计算
标准差的计算可分为四步：
第一步，计算各单位标志值与其算术平均数的离差； 第二步，将各离差进行平方；
第三步，将离差平方和除以离差项数，计算出方差； 第四步，计算方差的平方根，即为标准差。
根据所掌握资料的不同，标准差可分为简单标准差和加权标准差。
(1)简单标准差。当掌握的资料是未分组资料时，可采用如下公式计算简单标准差：
σ=
x -x n
2
【案例】
以前述案例中统计学考试成绩为例，说明简单标准差的计算。见表4-25。
表4-25 简单标准差计算表 单位：分
根据表4-25中的资料，女生组成绩的简单标准差为 σ=
x -x n
2
=
598
=. 8=7. 73 10
男生组成绩的简单标准差为
σ=
x -x n
2
=
2412
=. 2=15. 53 10
(2)加权标准差。当掌握的资料是分组资料时，可采用如下公式计算加权标准差： σ=
x -x f
2
f
【案例】
仍以某商场食品部职工日销售额资料为例，说明加权标准差的计算，见表4-26。 表4-8 某商场食品部职工日销售额资料及计算表
根据表4-26中的资料，加权算术平均数x =2800元/人，计算加权标准差为
σ=
∑x -x f
2
f
=
=291. 55（元/人）
16
3.标准差的特点
标准差一方面具有平均差的优点，即它将总体中各单位标志值的差异全部包括在内，可以准确地反映总体的离散程度；同时标准差还避免了求平均差时存在的取绝对值的问题，能够适合于代数运算等数学处理。由于标准差的这些优点，在实际工作中一般都用它来测定总体的离散程度，其应用十分广泛。
但标准差都是用有名数表示的平均差异程度，它们的数值受平均指标数值大小的影响。当总体平均指标数值比较大时，标准差的数值就大；反之，标准差的数值也就小。因此，在比较不同平均水平下的总体变异程度时，还需引入其他变异指标。
【能力训练】
(1)你会用计算器中的统计功能键计算标准差吗？ (2)在甲、乙两个变量数列中，若σ甲
②甲数列的平均数代表性高于乙数列 ③乙数列的平均数代表性高于甲数列
④不能确定哪个数列的平均数代表性好一些
(3)两个总体的平均数不等，但标准差相等，则（ ）。 ①平均数小，代表性大 ②平均数大，代表性大 ③两个平均数代表性相同 ④无法进行正确判断
(四) 变异系数
变异系数又称为离散系数，是指标志变异指标与其算术平均数之比的百分数。主要有全距系数、平均差系数和标准差系数等，其中最常用的是标准差系数。
标准差系数，是标准差与其算术平均数对比的相对数。其计算公式如下：
V σ=
σ
x
⨯100%
【案例】
某班两组学生英语考试成绩见表4-27。
表4-27 某班两组学生英语考试成绩表
试问两组学生平均成绩的代表性哪个大？为什么？
通过计算可知，一组学生的平均成绩是77.2分，二组学生的平均成绩是75.4分。两组成绩的标准差分别为6.6453分和3.3226分。根据标准差系数公式，得出
V σ
=
1
σ1
x 1
⨯100%=
6. 6453
⨯100%=8. 6% 77. 2
3. 3226
⨯100%=4. 4% 75. 4
V σ
=
2
σ2
x 2
⨯100%=
显然二组的标准差系数小于一组，即二组成绩的变异程度低于一组，所以二组平均成绩的代表性高于一组。
标准差系数的重要特点是：
不受计量单位和标志值水平的影响，消除了不同总体之间在计算单位、平均水平方面的不可比性。
附录 应用Excel 计算描述统计量
一、使用未经处理的原始数据资料计算描述统计量 (一) 应用Excel 中“数据分析”工具计算描述统计量 (二) 应用Excel 函数工具计算描述统计量 二、使用分组数据资料计算描述统计量 (一) 计算公式的编辑 1. 公式三要素 2. 公式输入 3. 公式复制
(二) 计算公式的应用
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