第七章 常微分方程
一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：
3．伯努利方程
dy
=P (x )Q (y )dx
(Q (y )≠0) 通解⎰
dy
=⎰P (x )dx +C Q y dy
+P (x )y =Q (x )y α(α≠0, 1) dx
dz
+(1-α)P (x )z =(1-α)Q (x ) 再按照一阶线性 令z =y 1-α把原方程化为dx
非齐次方程求解。
4．方程：
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（2）方程形式：M 1(x )N 1(y )dx +M 2(x )N 2(y )dy =0
dy 1dx
可化为=+P (y )x =Q (y ) 以y 为自变量，x
dx Q y -P y x dy
为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
M (x )N (y ) 通解⎰1dx +⎰2dy =C (M 2(x )≠0, N 1(y )≠0)
M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程
dy ⎛y ⎫
=f ⎪ dx ⎝x ⎭
令
y dy du
=u +x =f (u ) =u ， 则dx dx x
⎰
du dx
=⎰+c =ln |x |+c
f u -u x
二．一阶线性方程及其推广
1．一阶线性齐次方程
dy -P (x )dx
+P (x )y =0它也是变量可分离方程，通解y =Ce ⎰，（c 为任意常数） dx
2．一阶线性非齐次方程
dy
+P (x )y =Q (x ) 用常数变易法可求出通解公式 dx
令y =C (x )e
-⎰P (x )dx
代入方程求出C (x )则得
⎰P (x )dx
y =e
-⎰P (x )dx
[⎰Q (x )e
dx +C
1
]
四．线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的
线性微分方程。 二阶齐次线性方程 y ''+p (x )y '+q (x )y =0 （1） 二阶非齐次线性方程 y ''+p (x )y '+q (x )y =f (x ) （2） 1．若y 1(x )，y 2(x )为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程
y ''+p y '+qy =0 其中p ，q 为常数， 特征方程λ2+p λ+q =0
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）特征方程有两个不同的实根λ1，λ2则方程的通解为y =C 1e
λ1x
+C 2e λ2x
（2）特征方程有二重根λ1=λ2 则方程的通解为y =(C 1+C 2x )e
（3）特征方程有共轭复根α
λ1x
C 1y 1(x )+C 2y 2(x )（C 1，C 2为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当
，也即y 1(x )与y 2(x )线性无关时，则方程的通解y 1(x )≠λy 2(x )（λ为常数）为y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )
2．若y 1(x )，y 2(x )为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y 1(x )-y 2(x )为
对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
3．若(x )为二阶非齐次线性方程的一个特解，而y (x )为对应的二阶齐次线性
方程的任意特解，则(x )+y (x )为此二阶非齐次线性方程的一个特解。 4．若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C 1y 1(x )+C 2y 2(x )为对应的二
阶齐次线性方程的通解（C 1，C 2为独立的任意常数）则
±i β， 则方程的通解为y =e αx (C 1cos β x +C 2sin β x )
2．n 阶常系数齐次线性方程
y (n )+p 1y (n -1)+p 2y (n -2)+ +p n -1y '+p n y =0其中p i (i =1, 2, , n )为常数。 相应的特征方程λ n +p 1λ n -1+p 2λ n -2+ +p n -1λ+p n =0 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
（1）若特征方程有n 个不同的实根λ 1, λ2, , λn 则方程通解
y =C 1e λ1x +C 2e λ2x + +C n e λn x
（2）若λ0为特征方程的k 重实根(k ≤n )则方程通解中含有
y=C 1+C 2x + +C k x k -1e
()
λ0x
y =(x )+C 1y 1(x )+C 2y 2(x )是此二阶非齐次线性方程的通解。
5．设y 1(x )与y 2(x )分别是y ''+p (x )y '+q (x )y =f 1(x )与 y ''+p (x )y '+q (x )y =f 2(x )的特解，则y 1(x )+y 2(x )是 y ''+p (x )y '+q (x )y =f 1(x )+f 2(x )的特解。
（3）若α±i β为特征方程的k 重共轭复根(2k ≤n )，则方程通解中含有
e αx C 1+C 2x + +C k x k -1cos β x +D 1+D 2x + +D k x k -1sin β x
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
[()()]
2
六、二阶常系数非齐次线性方程
方程：y ''+p y '+qy =f (x ) 其中p , q 为常数 通解：y =+C 1y 1(x )+C 2y 2(x )
其中C 1y 1(x )+C 2y 2(x )为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨y du u 2
=令=u , 则u +x udx +x (1-u ) du =0
x dx u -1
1-u dx C 1+u u
，，ln |xu |-u =C xu =e =ce , ∴y =ce x du +=C 1⎰u ⎰x 1
y
论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？ 1．f (x )=P n (x )e αx 其中P n (x )为n 次多项式，α为实常数， （1）若α不是特征根，则令=R x n (x )e α （2）若α是特征方程单根，则令=xR n (x )e αx （3）若α是特征方程的重根，则令=x 2R n (x )e αx 2．f (x )=P n (x )e αx sin β x 或 f (x )=P αx n (x )e cos β x 其中P n (x )为n 次多项式，α, β皆为实常数
（1）若α±i β不是特征根，则令=e αx [R n (x )cos β x +T n (x )sin β x ]（2）若α±i β是特征根，则令=xe αx [R n (x )cos β x +T n (x )sin β x ]
例题：
一、齐次方程
1. 求y 2
+x
2
dy dy
dx =xy dx
的通解 ⎛y ⎫
2
解：y 2+(x 2-xy ) dy dy y 2 ⎝x ⎪
⎭dx
=0
dx =xy -x 2=⎛ y ⎫
⎝x ⎪⎭
-1 2. ⎛x 1+e y
⎫x
⎪dx +e y ⎛ x ⎫⎝⎪⎭
⎝1-y ⎪⎪⎭dy =0 x
e y
⎛x ⎫
解：dx ⎝y -1⎪⎪⎭dy =x
，令x =u , x =yu .(将y 看成自变量)
1+e
y
y dx du du e u (u dy =u +y dy , 所以 u +y dy =-1) 1+e
u y du dy =ue u -e u u +e u
1+e u -u =-
1+e u
1+e u dy d (u +e u ) dy
u +e u du =-y , u +e u =-y , ln ⎛ u +e u ⎫⎝c ⎪⎪⎭
=-ln y =ln 1y 1u +e u
⎛x
y =c , y =c c u +e u = x
x
, x +ye y ⎫
⎪=c . ⎝⎪⎭
y
+e y 二、一阶线形微分方程
1. ydx +(y -x ) dy =0, y (0) =1.
⎧解：可得⎪dx ⎨dy -x
y =-1
. 这是以y 为自变量的一阶线性方程解得 x =y (c -ln y ) . ⎪⎩
x (1) =0x (1) =0, c =0. 所以得解 x =-y ln y .
3
dy y
2. 求微分方程的通解 =
dx x +y 4
2. 2y ' ' +(y ' ) 2=y ，y (0) =2, y ' (0) =1 解：令y ' =p ，则y ' ' =p
dx x +y 4dx 1
解：变形得：=即-x =y 3，是一阶线性方程
dy y dy y
1
P (y ) =-, Q (y ) =y 3 x =e
1⎰dy y
dp dp ，得到 2p +p 2=y dy dy
⎡
⎢⎰y e 1
-⎰dy 3y
⎤14
dy +C ⎥=y +Cy
令p 2=u , 得到
du
+u =y 为关于y 的一阶线性方程. dy
y
⎢⎣
⎥⎦3
三、伯努力方程xy ' +y =x 3
y 6
-5
解：xy -6
y ' +y
-5
=x 3
， dy dx y -6+y x
=x 2， 令y -5=u , -5y -6y ' =u ' , -u '5+u x
=x 2，u ' -5
x u =-5x 2.
解得 u =x 5(c +5-2-532x ) ， 于是 y 5=cx 5
+2
x
四、可降阶的高价微分方程
1. 求(1+x ) y ''+y '=ln(x +1) 的通解
解：令y '=p , 则y ''=p ', 原方程化为(x +1) p '+p =ln(x +1)
p '+
1x +1p =ln(x +1) x +1
属于一阶线性方程 p =e -⎰1
x +1
dx ⎡⎢ln(x +1) ⎰1x +1dx dx +C ⎤⎣⎰x +11⎥⎦
=
1
x +1[⎰ln(x +1) dx +C 1
]
=ln(x +1) -1+C 1x +1
y =⎰⎡
⎢C ⎤⎣
ln(x +1) -1+1x +1⎥⎦dx +C 2 =(x +C 1) ln(x +1) -2x +C 2 u
|x =0
=p 2(0) =[y ' (0)]2=1，解得 u =y -1+ce -y
所以 1=u
|x =0
=y (0) -1+ce -y (0) =2-1+ce -2, c =0.
于是 u =y -1, p =±y -1
dy
=±dx x y -1
, 2y -1=±x +c 1, y -1=±2+c 12
y (0) =2, 得到
c 1
=1, 得解 y -1=±
x 2
2
+1 五、二阶常系数齐次线形微分方程 1. y
(5)
+y (4) +2y ' ' ' +2y ' ' +y ' +y =0
解：特征方程 λ5
+λ4
+2λ3
+2λ2
+λ+1=0
(λ+1)(λ2+1) 2=0，λ1=-1, λ2, 3=i , λ4, 5=-i
于是得解 y =c -x
1e +(c 2+c 3x ) s i n x +(c 4+c 5x ) c o s x
2. y
(4)
-5y ' ' +10y ' -6y =0，y (0) =1, y ' (0) =0, y ' ' (0) =6, y ' ' ' (0) =-14解：特征方程 λ4-5λ2
+10λ-6=0, (λ-1)(λ+3)(λ2-2λ+2) =0
4
__
3131
sin 2x 解联立方程得A =-, B =，因此y =-cos 2x +
10101010
31-2x
+C 2e x -cos 2x +sin 2x 故原方程的通解为 y =C 1e
1010
λ1=1, λ2=-3, λ3, 4=1±i
得通解为 y =c 1e x +c 2e -3x +e x (c 3c o s x +c 4s i n x ) 由 y (0) =1, y ' (0) =0, y ' ' (0) =6, y ' ' ' (0) =-14
3. y ' ' +y =x +3sin 2x +2cos x
解：特征根为λ=±i ，齐次方程的通解为：y =c 1cos x +c 2sin x
11
, c 2=, c 3=1, c 4=1 221x 1-3x
+e x (c o s x +s i n x ) 得特解 y =-e +e
22
得到 c 1=-
六、二阶常系数非齐次线形微分方程 1. 求y ''+2y '-3y =2e 的通解
解：先求齐次方程的通解，特征方程为λ+2λ-3=0，特征根为λ1=-3, λ2=1。 因此齐次方程通解为Y =C 1e
-3x
2
y ' ' +y =x ，y ∙=(c 1+c 2x )⇒c 1=0, c 2=1⇒y ∙=x
y ' ' +y =3sin 2x ，y ∙=x 0e λx [c 1cos βx +c 2sin βx ]=c 1sin 2x +c 2cos 2x
待入原式得出：c 1=-1, c 2=0，所以y =-sin 2x
∙
x
+C 2e x
y ' ' +y =2cos x ，y ∙=x 1e λx [c 1cos βx +c 2sin βx ]=(c 1cos x +c 2sin x ) x
待入原式得出：c 1=0, c 2=1，所以y =x sin x
∙
设非齐次方程的特解为y , 由于α=1为特征根，因此设y =xAe x ,
1x 1-3x x
代入原方程可得A =，故原方程的通解为y =C 1e +C 2e +xe
22
2. 求方程y ''+y '-2y =2cos2x 的通解
解：特征方程为λ+λ-2=0，特征根为λ1=-2, λ2=1， 因此齐次方程的通解为Y =C 1e
-2x
2
故原方程的通解为y =c 1cos x +c 2sin x +x -sin 2x +x sin x 七、作变量代换后求方程的解 1. 求微分方程(y -x ) +x
2
dy
=(1+y 2) 的通解 dx
+C 2e x
sec 2udu 3
=sec u 解：令y =tan u , x =tan v , 原方程化为(tanu -tan v ) sec v 2
sec vdv
化简为sin(u -v )
设非齐次方程的特解为y , 由于题目中α=0, β=2, α+i β=2i 不是特征根， 因此设y =A cos 2x +B sin 2x ，代入原方程可得
(-2A +2B -4A ) cos 2x +(-2B -2A -4B ) sin 2x =2cos 2x -6A +2B =2，-6B -2A =0
5
du dz du =1 再令z =u -v , 则=-1, 方程化为 dv dv dv
dz sin z (sinz -1) +1sin z =1-sin z ，⎰dz =⎰dv +c , ⎰dz =v +c ,
1-sin z 1-sin z dv
1+sin z 1+sin z -z +⎰=v +c -z +，⎰cos 2z dz =v +c 1-sin 2z
-z +tan z +sec z =v +c 最后Z 再返回x,y,v 也返回x , 即可。
2. x (y '+1) +sin(x +y ) =0，y (π
2
) =0
解：设x +y =u ⇒y =u -x ⇒
dy du dx =dx
-1 x
du dx +sin u =0⇒du dx sin u =x
⇒ln csc u -cot u =-ln x +ln c csc u -cot u =
c x ⇒1-cos (x +y )sin x +y =c
x
，因为x =ππ2, y =0⇒c =2
所以
1-cos (x +y )sin x +y =π
2x
3.
+x 2
y ' sin 2y =2x sin 2
y +e
2+x 2
解：令u =sin 2
y , 则u ' =y ' sin 2y . 得到
+x 2u ' =2xu +e 2
1+x
2
, u ' -
2x e 2
1+x 2
+x
2
u =
为一阶线性方程
+x
2
解得 u =e 2
+x 2
(c +ln |x ++x 2|). 即 sin 2y =e 2
1+x 2
(c +ln |x ++x 2|).
4. xy ' ln x sin y +cos y (1-x cos y ) =0
解：令cos y =u , 则 u ' =-y ' sin y . 原方程化为-u ' x ln x +u (1-xu ) =0
-u ' +u -x ln x =
u 2
ln x
, 为贝奴利方程，u ' 1u 2+x ln x ⋅1u =1ln x . 令z =
1u , 则z ' =-u ' 1u 2. 方程化为 z ' +x ln x z =1
ln x
, 为一阶线性方程.
解得 z =(x +c ) 1ln x . 即 cos y =x +c
ln x
, (x +c ) cos y =ln x .
八、综合题
1. 设f （x ）＝x sin x －
⎰x
(x -t ) f (t ) dt ，其中f （x ）连续，求f （x ）
解：由表达式可知f （x ）是可导的，两边对x 求导，则得
f '(x )=x cos x +sin x -⎰x 0
f (t )dt
再对两边关于x 求导，得 f ''(x )=-x sin x +2cos x -f (x )
即 f ''(x )+f (x )=-x s i n x +2c o s x 属于常系数二阶非齐次线性方程. 对应齐次方程通解 y =C 1cos x +C 2sin x ，
__
非齐次方程特解设y =x (Ax +B )cos x +x (Cx +D )sin x 代入方程求出系数
__
A,B,C,D 则得y =
14x 2cos x +3
4
x sin x ，故f （x ）的一般表达式 f (x ) =13
4x 2cos x +4
x sin x +C 1cos x +C 2sin x
由条件和导数表达式可知f （0）＝0，f '(0)=0可确定出C 1=0, C 2=0因此
f (x ) =
14x 2cos x +3
4
x sin x 2. 已知y x
+e 2x
，y x
+e -x
1=xe 2=xe ，y x -x 3=xe +e 2x -e 是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.
解：由线性微分方程的解的结构定理可得，
y -x 1-y 3=e ，y 2x -x 1-y 2=e -e ，(y 1-y 3)+(y 1-y 2)=e 2x
对应的齐次方程的解，由解e
-x
与e
2x
的形式，可得齐次方程为y ''-y '-2y =0.
设该方程为y ''-y '-2y =f (x ) ，代入y x 2x f (x )=(1-2x )e x
1=xe +e ，得.
所以，该方程为y ''-y '-2y =(1-2x )e x
， 其通解为C 1e
-x
+C 2e 2x +xe x +e 2x .
6
3. 设F (x ) =f (x ) g (x ), 其中f (x ) ，g (x ) 在(-∞, +∞) 内满足以下条件
设方程（*）的特解为y ＝A cos x + Bsin x ，
__
11
代入方程（*）求得A ＝0，B ＝－，故y ＝－sin x ，
22
1x -x
从而y ''-y =sin x 的通解是y (x ) =C 1e +C 2e -sin x .
2
3
由y (0) =0, y '(0)= ，得C 1=1, C 2=-1，
2
1x -x
故所初值问题的解为y (x ) =e -e -sin x .
2
__
f '(x ) =g (x ), g '(x ) =f (x ), 且f (0) =0, f (x ) +g (x ) =2e
（1）求F (x ) 所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出F (x ) 的表达式
解：F '(x ) =f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) =g 2(x ) +f 2(x ) =[f (x ) +g (x )]2-2f (x ) g (x ) =(2e x ) 2-2F (x ) 可知F (x ) 所满足的一阶微分方程为F '(x ) +2F (x ) =4e （2）F (x ) =e
-⎰2dx
x
2x
[⎰4e
2x
⋅e ⎰2dx dx +c =e -2x ⎰4e 4x dx +c =e 2x +ce -2x
][]
5. 设ϕ(x)是以2π为周期的连续函数，φ'(x)=ϕ(x),φ(0)=0, φ(2π) ≠0 （1） 求微分方程
将F (0) =f (0) g (0) =0代入，可知c =-1 于是
F (x ) =e 2x -e -2x
dy
+ysinx =ϕ(x)ecosx 的通解（2）以上这些解中，有没有 dx
dy
+ysinx =0⇒y =e cosx +c =c ⋅e cos x dx
4. 设函数y =y (x )在(-∞, +∞)内具有二阶导数，且y '≠0, x =x (y )是y =y (x )的
以2π为周期的解？若有，求出，若无，说明理由。 解：（1）先解对应的齐次方程：
⎛dx ⎫d 2x
⎪()+y +sin x =0变换为反函数（1）试将x =x (y )所满足的微分方程2 ⎪dy ⎝dy ⎭
（2）求变换后的微分方程满足初始条件y (0)=0，y =y (x )满足的微分方程；
3
y =c (x )e cos x ⇒
dy
=c '(x )e cos x +c (x )e cos x (-sin x )带入上式 dx
c '(x )=ϕ(x )⇒c (x )=⎰ϕ(x )dx ，因为φ'(x)=ϕ(x)⇒φ(x )=⎰ϕ(x )dx
y '(0)=
3
的解。 2
c (x )=φ(x )+c ⇒y =φ(x )e cos x +ce cos x
dx 1dx = 即y '=1，两端关于x 求导 dy y 'dy
（2）若有以2π为周期的解，满足：f (x +2π)-f (x )=0
解：（1）由反函数导数公式知
f (x +2π)-f (x )=e cos (x +2π)[φ(x +2π)+c ]-f (x )=e
cos x
dx
y ''22d x y ''dy
得 y ''dx +d x (y ')2=0，所以2=-。 =-232
dy dy dy y 'y '代入原微分方程得y ''-y =sin x （*）
x -x
（2）方程（*）所对应的齐次方程y ''-y =0的通解为Y =C 1e +C 2e
[φ(x +2π)+c ]-e [φ(x )+c ]
cos x
关键是看φ(x )是否为周期函数：φ(x )=
2π
⎰ϕ(x )dx
x
所以没有2π为周期的解。 ⎰ϕ(x )dx =φ(2π)-φ(0)≠0，φ(x )不是周期函数，
7
6. 已知曲线y ＝f(x)（x>0）是微分方程2y //+y/-y=(4-6x)e-x 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为0，试求：（1）曲线y ＝f(x)到x 轴的最大距离。（2）计算解：y ''+
解：y =y (x ) 在点P (x , y ) 的切线方程为：Y -y (x )=y '(x )(X -x ) 它与x 轴的交点为 x -
⎰
+∞
⎛⎝
f (x ) dx
y ⎫
, 0⎪，由于y '(x )>0, y (0)=1，因此y (x )>0 y '⎪⎭
1y 111
y '-=(2-3x )e -x ⇒λ2+λ-=0⇒λ1=, λ2=-1 22222
1
x 2
x ⎛1y ⎫y 2
⎪x -=于是有S 1=y x - ，又因为S =y (t )dt ，2S 1-S 2=1 2 ⎪⎰0''2y ⎭2y ⎝
齐次方程通解为：y =c 1e
+c 2e -x ，根据已知条件特解为：Y ∙=x (a +bx )e -x
∙
2-x
特解代入原式得：a =0, b =1，所以Y =x e 所以通解为：y =c 1e
1
x 2
，
x y 22
-⎰y (t )dt =1，两边求导并化简得：y y '=(y ') 2y '0
+c 2e -x +x 2e -x ，由已知得：f (0)=0, f '(0)=0
2-x
解上述微分方程：设p =y '，则上述方程化为yp
dp dp dy =p 2⇒= dy p y
所以c 1=c 2=0，所以y =x e
求y =f (x )到x 轴的最大距离，即求y 的最大值。
p =C 1y ，即
dy
=C 1y ⇒y =e C 1x +C 2， dx
x
y '=e -x 2x -x 2，当y '=0时，x =0, x =2，f (0)=0, f (2)=4e -2
f (∞)=lim x e
x →∞
2-x
()
根据y (0)=1, y '(0)=1⇒C 1=1, C 2=0。所以曲线方程为：y =e
2. 设曲线L 的极坐标方程为r =r (θ) ，M (r , θ) 为L 任一点，M 0(2, 0) 为L 上一定
x 2
=lim x =0 x →∞e
-2
点，若极径OM 0，OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上M 0M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程。
-x
222
解：因为ds =+y 'dx =r +r 'd θ s =⎰
所以y =f (x )到x 轴的最大距离为f (2)=4e 。 （2）
θ
⎰
+∞
f (x ) dx =⎰-x de
+∞
2-x
=-x e
2-∞+∞
+⎰e ⋅2xdx =0+2=2
+∞0
12
(θ)d θ 2
九、微分方程的几何和物理应用
1. 设函数y (x )(x ≥0) 二阶可导，且f '(x ) >0, y (0) =1, 过曲线y =y (x ) 上任意一点P (x , y ) 作该曲线的切线及x 轴的垂线，上述两直线与x 轴所围成的三角形的面
1θ21θ22
'r dr =r +r d θ，两边对θ求导可得： 由已知可得：⎰⎰0022
r 2=r 2+r '2，即r '=±r r 2-1⇒
dr
dr r r -1
2
=±d θ，设r =sec t ，
积记为S 1, 区间[0, x ]上以y =y (x ) 为曲边的曲边梯形面积记为S 2，并设2S 1-S 2恒为1，求此曲线y =y (x ) 的方程。
8
11π
=-arcsin +C ⇒-arcsin +C =±θ⇒C = ⎰r r 2-1r r 6
⎫⎫
r sin ±θ⎪=1⇒r =csc ±θ⎪⇒x ±y =2
⎝6⎭⎝6⎭
3. 有一在原点处与x 轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x,y)为曲线上的任一点。
设曲线在原点与P 点之间的弧长为S 1，曲线在P 点处的切线在P 点与切线跟y 轴的交点之间的长度为S 2，且
⎛π⎛π令u =
y dy du du , y =xu , =u +x =3u (u -1)，当u ≠0, u ≠1时 ，x x dx dx dx
u -1du dx
=cx 3，方程通解为 =3 两边积分后得u u u -1x
3S 1+22(x +1)
=，求该曲线的方程。
x S 2
y -x =cx 3y ，再由y
x =2=
x 2
，可得c =-1∴y = 3
1+x 9
解：设曲线方程为y =f (x )，S 1=
⎰
x
+y '2dx
5. 一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数
曲线在P 点的切线方程为：Y -y =y '(X -x ) 因此与y 轴的交点为：(0, y -y 'x )，因此S 2=
K >0，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r 0的雪堆开始融化
x 2+x 2y '2
x 3S 1+22(x +1) 22⎛'因为=，所以2+y ⋅x (x +1)= 3⎰+y '+2⎫⎪x
⎝0⎭x S 2
2
两边求导得出：1+y '=2(x +1)y 'y ''，解方程得出：y =x 3
3
2
2
4. 设函数f (x )在[1, +∞)上连续，若曲线y =f (x )，直线x =1，x =t (t >1)与x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V (t )=
π
[t 3
2
f (t )-f (1)，试求
]
7
，问雪堆全部融化需要多少小时。 8
232
解：设雪堆在时刻t 的体积V =πr ，表面积为S =2πr 。
3
dV 2
=-Ks ， dV =⋅3πr 2⋅dr =2πr 2dr 由已知可得dt 3dr dr 2πr 2=-K ⋅2πr 2，于是=-K ⇒r =-Kt +C ，由r (0)=r 0
dt dt
121213
r =r 0-Kt ，又因为V (3)=V (0)，π(r 0-3K )=⋅πr 03，K =r 0
83836
1
r =r 0-r 0t ，雪球全部融化时，r =0⇒t =6，即雪球全部融化需要6小时。
6
的3小时内，融化了其体积的
6. 有一房间容积为100m ，开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%，为了改善房间的空气质量，用一台风量为10m /分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空
3
3
y =f (x )所满足的微分方程，并求y
解：由题意可知V (t )=π则3
x =2=
2
的解. 9
2
⎰
t 1
f 2(x )dx =
π
[t 3
f (t )-f (1)
]
气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出10分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？
⎰
t 1
f 2(x )dx =t 2f (t )-f (1)，两边对t 求导，3f 2(t )=2tf (t )+t 2f '(t ) 解：设t 时刻二氧化碳的浓度为x ，在时间间隔[t , t +dt ]，浓度改变dx
2
dy ⎛y ⎫⎛y ⎫
t =x , f (t )=f (x )=y ，得x 2y '=3y 2-2xy ，=3 ⎪-2 ⎪
dx ⎝x ⎭⎝x ⎭
10⋅0. 04%⋅dt -10⋅x ⋅dt =100⋅dx ⇒0. 004dt -10xdt =100dx
dx dt dx dt
=⇒=-，两边积分可得：
0. 004-10x 10010x -4⨯10-4
9
ln x -4⨯10
(
-4
)
-t -4
=-+C ⇒x =4⨯10+Ce 10
10
t
可降至m 0以内。（设湖水中A 的浓度是均匀的）。
解：设从2000年初（令此时，t =0）开始，第t 年湖泊中污染物A 的总量为m (t )，浓度为
因为t =0, x =12⨯10-4⇒C =8⨯10-4 所以x =4⨯10-4+8⨯10-4e
3
t
-10
⇒t =10, x =0. 07%
3
3
m
，则在时间间隔V
[t , t +dt ]上，排入湖泊中A 的量近似为
[t , t +dt ]上，
t
7. 有一容积为500m 的水池，原有100m 的清水，现在每分钟放进2m 浓度为50%的某溶液，同时每分钟放出1m 溶液，试求当水池充满时池中溶液浓度。 解：设t 时刻溶液中溶质的量为x ，在时间间隔[t , t +dt ]，质量改变dx
3
m 0V m m V m
⋅dt =0dr ，，排出量为：⋅dt =dt ，则在时间间隔
V 33V 66
-m 0⎛m 0m ⎫
m (t )的改变量为：dm = -Ce 3 -⎪dt ，分离变量解方程：m =
23⎭⎝6t -⎫m 2⎛9
1+9e 3⎪ 代入初始条件m (0)=5m 0，C =-m 0，于是m =⎪22 ⎝⎭
x ⎫dx x ⎛
+=1，这是一阶线性微分方程 2⋅50%-1⋅⎪dt =dx ⇒
100+t ⎭dt 100+t ⎝
c c (t )先解对应的齐次方程：x =，再解非齐次方程x =
100+t 100+t 12
t +100t +c
12 c (t )=t +100t +c ⇒x =2100+c
12
t +10t 0
因为t =0, x =0⇒c =0⇒x =，当水池充满时，
10+t 0
x
=48% 100+t =500, ⇒t =400分钟，溶液浓度为100
V
8. 某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为，流入湖泊内不
6
V V
含污染物A 的污水量为，流出湖泊的水量为，已知1999年底中湖中A 的含
63
量为5m 0，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中
令m =m 0，t =6ln 3，即至多需要经过t =6ln 3年，湖泊中污染物A 的含量才可以降至m 0以内。
9. 已知某车间的容积为30⨯30⨯6 m ，其中的空气含0. 12%的二氧化碳，现以含二氧化碳0. 04%的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30分钟后使车
间空气中二氧化碳的含量不超过0. 06%，（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀，且以相同流量排出）。 解：设每分钟应输入am ，t 时刻浓度为x ，在时间间隔[t , t +dt ]，浓度改变dx
3
3
(a ⋅0. 04%-ax )dt =30⨯30⨯6⋅dx ⇒(4⨯10-4a -ax )dt =5400dx
dx 4⨯10-4a -ax dx a a -4
=⇒⎰=⇒ln x -4⨯10=-dt +C -4⎰dt [1**********]04⨯10-x
()
x =4⨯10-4+Ce
-4
-
a
dt 5400
，因为t =0, x =12⨯10
-a t 5400
-4
⇒C =8⨯10-4
-4
m
含A 污水的浓度不超过0，问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A 的含量才
V
10
x =4⨯10+8⨯10e
-4
，当t =30, x ≤6⨯10
⇒a ≥250m 3
10. 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x =ϕ(y )(y ≥0) 绕y
轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.
根据设计要求，当以3m /min 的速率向容器内注入液体时，
液面的面积将以πm /min 的速率均匀扩大（假设注入液体前
容器内无液体）.
(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与ϕ(y ) 之间的关系式；
(2) 求曲线x =ϕ(y ) 的方程.
解： 液面的面积将以πm /min 的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：223
π22+πt ，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与ϕ(y ) 之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t ，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.
(1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，则由题设知此时液面的面积为πϕ(y ) =4π+πt , 从而 t =ϕ(y ) -4.
(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为π
上式两边对y 求导，得
解此微分方程，得 22⎰y 0ϕ2(u ) du =3t =3ϕ2(y ) -12. πϕ2(y ) =6ϕ(y ) ϕ'(y ) ，即 πϕ(y ) =6ϕ'(y ). πy ϕ(y ) =Ce 6，其中C 为任意常数，
π
6y 由ϕ(0) =2知C=2，故所求曲线方程为：x =2e
.
11