《线段和最短问题》教学设计
成都七中育才学校水井坊校区 林奎 教材分析
本课是源自于课本上一个经典例题——“将军饮马”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．主要是运用数形结合思想，涵盖轴对称和勾股定理、函数等知识综合运用；线段和最短问题也是成都中考的热点：2009年B填23题、2014年B卷28题、2015年A卷19题都考察了线段和最短问题。
教学目标：
1、了解“线段和最短问题”几种基本模型；
2、掌握解决“线段和最短问题”的模型特征以及解题的思想方法 3、能够运用“转化”的数学思想方法解决相关问题
教学重点和难点：
重点：线段和最短”问题的探索，“转化”和数学思想的渗透 难点：探索“线段和最短问题”的模型特征以及解题的思想方法
学情分析：
从学生知识点掌握情况看，初三学生已经学习过轴对称、勾股定理、函数、 四边形等内容，并且对基本的“线段和最短问题”有了一定的认识，但是初三学生的问题往往是“知其然，却不知其所以然”；其次从学习方法上，学生在平时的学习过程中不重视学习方法，不注意归纳总结，更不善于思考，只懂得机械的重复做题，导致的学习效果就是学习压力大，学习效率低下。
教学过程：
一、例题引入：
（成都2015）如图，一次函数y=-x+4的图象与反
比例y=
k
（k为常数，且k≠0）的图象交于A(1,a)，B两点. x
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及∆PAB的面积.
二、拓展变式
变式一：
如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的
1
坐标为（3
，点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，三
2
角形PAC周长最小值是多少？
变式二：
如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的
坐标
为（3
，设M、N分别是x和y轴上的动点，连接BM、BN、MN，则三
角形
BMN周长最小为多少？
变式三：
如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的
坐标
为（3
，D（3 ，3），M、N分别是x和y轴上的动点，则四边形BDNM
的周
长最小值为多少？
变式四：
如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3
，点P为斜边OB上的一个动点，C是线段OA上的动点，三角形PAC周长最小值是多少？
解题策略：通过引导学生对变式与例题的对比，发现二者相同点也是求线段和最
小问
题，猜想能否再次“利用对称、化折线为直线”的思想来解决变式，此时学生会
发现
第一次冲突：应该做哪一个点的对称点？由于A是定点，所以我们可以做A关
于OP
的对称点A’，连接A’C，根据例题此时的交点即为所求点，此时学生将发现第二
次冲
突：因为C是动点，那么交点也是动点，通过这次冲突，学生马上明白变式与例
题本
质不同在哪儿，变式通过“化折为直”后转化为“垂线段最短”来求解！ 设计意图：让学生再次体会“转化”的数学思想方法！
三、课堂练习
1、如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时为．
2、如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为______
设计意图：检验本堂课所学线段和模型
3、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、
Q分别在OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________
设计意图：检验学生对于“对称，化折为直”这一“转化”思想
k
)k为常数，4.（成都2014年28题）如图，已知抛物线y=(x+2)(x-4（且k>0）
8与x轴从左至右依次交于A,B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线
y=-
x+b与抛物线的另一交点为D. 3
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？