万有引力定律及其应用复习
制作人：江老师
『基础知识』
1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）
丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。
第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；
r 3
第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即2=k
T
开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。 2．万有引力定律及其应用
(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。
F =G
Mm
（1687年） 2r
G =6. 67⨯10-11N ⋅m 2/kg 2叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距1m 时的相互作
用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。
万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡。
实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。
万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m ，有mg =G
m E m
2R E
gR E
中R E 为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到m E =。
G
(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r 是两球心间的距离．
当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F 近为无穷大。 注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1kg 的两个质点相距1m 时相互作用的万有引力．
(3) 地球自转对地表物体重力的影响。
重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为ϕ的地表处，万有引
2
力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力 F向=mRcosϕ·ω（方向垂直于地轴指向地轴），而
2
万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg ，其方向与支持力N 反向，应竖直向下，而不是指向地心。
由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极R 逐渐减小，向心力mRcos ϕ·ω减小，重力逐渐增大，相应重
2
力加速度g 也逐渐增大。
在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和m 2g 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋m 2g ，所以m 2g=F一F 向＝G
m 1m 2r 2
－m 2R ω
2自
。
物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力F 引
和支持力N 是一对平衡力，此时物体的重力mg ＝N ＝F 引。
综上所述
重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。 重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。 由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即
GmM
≈mg R 2
说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等。
二、万有引力定律的应用 1．解题的相关知识：
（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间
4π2Mm v 22
的万有引力，即G 2=m 2＝m 2r =m ωr ；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即
T r r
G
mM 2
＝mg 从而得出GM ＝R g 。 2R
（2）圆周运动的有关公式：ω＝讨论：
2π
，v=ωr 。 T
Mm v 2GM ①由G 2=m 2可得：v = r 越大，v 越小。
r r r
②由G
Mm 2
=m ωr 可得：ω=3 r 越大，ω越小。 2
r r
2
Mm ⎛2π⎫3
③由G 2=m ⎪r 可得：T =2πr
r ⎝T ⎭
④由G
GM r越大，T 越大。
Mm GM
=ma a =可得： r 越大，a 向越小。 向向r 2r 2
点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。
（1）天体表面重力加速度问题
通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m 2g ＝G
m 1m 22
， g=GM/R常用来计算星球表2
R
2
面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即g h =GM/（R+h），比较得g h =（
r 2
）·g R +h
设天体表面重力加速度为g ，天体半径为R ，由mg=G
Mm M
得g=，由此推得两个不同天体表面重力加速G R 2R 2
g 1R 22M 1
度的关系为=2*
g 2R 1M 2
（2）计算中心天体的质量
某星体m 围绕中心天体m 中做圆周运动的周期为T ，圆周运动的轨道半径为r ，则：
m 中m 4π2r 3⎛2π⎫由G 2=m ⎪r 得：m 中=2
GT r ⎝T ⎭
例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量。 可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的。 （3）计算中心天体的密度
2
M M 3π⋅r 2
ρ=== 23
V 4GT R π⋅R 3
3
由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出天体的质量M ．若知道行星的半径则可得行星的密度
（4）发现未知天体
用万有引力去分析已经发现的星体的运动，可以知道在此星体附近是否有其他星体，例如：历史上海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的。冥王星是通过对海王星的运动轨迹分析发现的
【例题】下列关于万有引力公式F =G
m 1m 2
的说法中正确的是（C ） r 2
A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中万有引力常量G 的值是牛顿规定的
【例题】设想把质量为m 的物体，放到地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（C ）
A ．
GMm
B ．无穷大 2
R
D ．无法确定
C ．零
【例题】设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较
A ．地球与月球间的万有引力将变大 B ．地球与月球间的万有引力将减小 C ．月球绕地球运动的周期将变长 D ．月球绕地球运动的周期将变短
★解析：设地球和月球的质量分别为M 、m ，它们之间的引力为F =G
Mm
，由于地球和月球Ｍ＋m 是一常r 2
数，根据数学知识，当Ｍ＝m 时，Ｍ·m 取最大值，Ｍ、m 相差越多，Ｍ·m 越小，F =G
Mm
越小。地球比月r 2
Mm
越2r
球的质量大，还要把月球上的矿藏搬运到地球上，就使得Ｍ，m 相差更多，所以Ｍ·m就越小，F =G 小。答案：B 、D
表面重力加速度：
G
Mm GM
=mg ∴g = 00R 2R 2
轨道重力加速度：
GMm
R +h 2
=mg h ∴g h =
GM
R +h 2
【例题】设地球表面的重力加速度为g ，物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g ，则g/g为（D ）
，
，
A 、1； B、1/9； C、1/4； D、1/16。 ★解析：因为g= G
M M ，，
，g = G，所以g/g=1/16，即D 选项正确。 22R (R +3R )
11
和，地球表面的重力加速度为g ，则火星表面的重力加速102
【例题】火星的质量和半径分别约为地球的度约为（B ）
(A)0.2 g (C)2.5 g
(B)0.4 g (D)5 g
通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。
4π2r 3Mm ⎛2π⎫
由G 2=m ⎪r 得M =2
GT r ⎝T ⎭433πr 3
又M =πR ⋅ρ 得ρ= 23
3GT R
【例题】已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49⨯10m ， 公转的周期T=3.16⨯10s ，求太阳的质量M 。
11
7
2
★解析：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得：
Mm ⎛2π⎫
G 2=m ⎪r r ⎝T ⎭
4π2r 330M ==1.96 ⨯10kg 2
GT
【例题】宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。
★解析：设抛出点的高度为h ，
2
2L 2-H 2=L 2-h 2 可得h
设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得：
h =
12
gt 可得g 2
Mm
2R
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
mg =G
2LR 2
联立以上各式解得M =。
3Gt 2
【例题】某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运动，若要计算行星的密度，唯一要测量出的物理是（ D ）
A ：行星的半径 B ：卫星的半径 C ：卫星运行的线速度 D ：卫星运行的周期
【例题】如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T ，则可估算此恒星的密度为多少?
Mm 4π2
★解析：设此恒星的半径为R ，质量为M ，由于卫星做匀速圆周运动，则有 G2=mR2， 所以，
R T 4M 3π4π2R 33
M=而恒星的体积V=πR ，所以恒星的密度ρ==。 22
3V GT GT
【例题】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为
T =
1
s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球30
-11
体。(引力常数G =6.67⨯10
m 3/kg·s 2)
★解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。
设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有
GMm 2π432
=m ωR ω= M =πR ρ 2
T R 3
由以上各式得ρ=
3πGT
2
，
代入数据解得：ρ=1. 27⨯1014kg /m 3。
宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。
⑴由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。
2
⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mωr 可得r ∝1，
m
于是有r 1=
m 2m 1
L , r 2=L
m 1+m 2m 1+m 2
⑶列式时须注意：万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，按题意应该是L ，而向心力表达式中的r 表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆
【例题】在天文学中，把两颗相距较近的恒星叫双星，已知两恒星的质量分别为m 和M ，两星之间的距离为L ，两恒星分别围绕共同的圆心作匀速圆周运动，如图所示，求恒星运动的半径和周期。
★解析：两颗恒星在万有引力作用下围绕共同点O(物理学上把它叫做质心) 作匀速圆周运动，O 点在两颗恒星的连线上，设两颗星到O 的距离分别为r 、R ，它们运动的周期为T ，由万有引力定律和牛顿第二定律
Mm
⎛2π⎫
对质量为m 的恒星有G 2=m ⎪r
l ⎝T ⎭Mm ⎛2π⎫
对质量为M 的恒星有G 2=M ⎪R
T l ⎝⎭
r+R=L
由以上三式解得 r =
2
2
M m l R =l
M +m M +m
l 3
T =2π
(M +m ) G
答案：r =
M m
l R =l
M +m M +m
l 3
T =2π
(M +m ) G
技巧点拔：解圆周运动问题，确定圆心的位置是很重要的。另外，双星系统在宇宙中是比较普遍的，如果两
l 3
颗星的质量相差悬殊，如m ＜＜M ，则r=L，R=O，T =2π，这时可以把大质量星看作静止的，小质量星围
GM
绕大质量星运动。
【例题】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。
★解析：设两星质量分别为M 1和M 2，都绕连线上O 点作周期为T 的圆周运动，星球1和星球2到O 的距离分别为l 1和l 2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得M 1：
G
M 1M 2R 2
＝M 1（
2π2
） l1 T
∴M 2＝
4π2R 2l 1GT
2
对M 2：G
M 1M 2R 2
2
＝M 2（
2π2
） l2 T
∴M 1＝
4π2R 2l 2GT
两式相加得
M 1＋M 2＝
4π2R 2GT
2
（l 1＋l 2）＝
4π2R 3GT
2
。
【例题】在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2，且m 1=2m 2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示。此时两小球到转轴的距离r 1与r 2之比为（ ）
A ．1∶1
B ．1∶2 C．2∶1
D ．1∶2
★解析：两球向心力、角速度均相等，由公式
F =m ω2r 得r ∝
答案：D
r m 11，则1=2=。
r 2m 12m
A 组练习
1．（2009华师附中）近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为（k 为某个常数）
A ．ρ＝k/T B ．ρ＝kT C ．ρ＝k/T D ．ρ＝kT
2．（2009汕头潮阳区）据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77︒赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ）
A. 运行速度大于7.9 km/s B. 离地面高度一定，相对地面静止
C. 卫星运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D. 向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
2
2
3．（2009江门调研）2008年9月25日21时10年载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走，已知神舟七号飞船在离地球表面h 高处的轨道上做周期为T 的匀速圆周运动，地球的质量和半径分别为M 和R ，万有引力常量为G ，在该轨道上，神舟七号航天飞船（ ）
A．运行的线速度大小为
2π(R +h )
T
B ．运行的线速度小于第一宇宙速度 C．运行时的向心加速度大小
GM
(R +h )
D．翟志刚太空行走时速度很小，可认为没有加速度
4．美国的全球卫星定位系统（简称GPS ）由24颗卫星组成，卫星分布在等分地球的６个轨道平面上，每个轨道上又分布有４颗卫星，这些卫星距地面的高度均为20000km ．我国自行建立的“北斗一号”卫星定位系统由三颗卫星组成，三颗卫星都定位在距地面36000km 的地球同步轨道上．比较这些卫星，下列说法中正确的是（ ）
A ．“北斗一号”系统中的三颗卫星的质量必须相同，否则它们不能定位在同一轨道上 B ．GPS 的卫星较“北斗一号”的卫星周期更长 C ．GPS 的卫星较“北斗一号”的卫星有更大的加速度 D ．GPS 的卫星较“北斗一号”的卫星有较小的运行速度
5. (中大附中) 在太阳的活动期，地球大气受太阳风的影响而扩张，这样使一些在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，而开始下落．大部分垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的则会落到地面上给我们造成威胁和危害．那么太空垃圾下落的原因是（ ）
A ．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致的
B ．太空垃圾在燃烧过程中质量不断减小，根据牛顿第二运动定律，向心加速度就会不断增大，所以垃圾落向地面
C ．太空垃圾在大气阻力的作用下速度减小，那么它做圆周运动所需的向心力就小于实际的万有引力，因此过大的万有引力将垃圾拉向了地面
D ．太空垃圾上表面受到的大气压力大于下表面受到的大气压力，所以是大气的力量将其拉下来的 6．（2008江苏高考）火星的质量和半径分别约为地球的的重力加速度约为（ ）
A ．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
7．（2009湛师附中）设地球半径为R 0，质量为m 的卫星在距地面R 0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g ，则（ ）
A ．卫星的线速度为
11
和，地球表面的重力加速度为g ，则火星表面102
2gR 02
B．卫星的角速度为
g 8R 0
C ．卫星的加速度为
2R 0g
D．卫星的周期为2π 4g
8．（2009深圳外国语学校）2008年9月25日我国利用“神舟七号”飞船将航天员翟志刚、刘伯明、景海鹏
成功送入太空，9月26号北京时间4时04分，神舟七号飞船成功变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h 的圆形轨道. 已知飞船的质量为m ，地球半径为R ，地面处的重力加速度为g ，则飞船在上述圆轨道上运行的动能（ ）
A ．等于mg （R+h） B．小于mg （R+h）
12
12
m gR 21
C ．等于 D．等于mgh
22(R h )
9．（2008湖南邵阳）2007年11月5日，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面200km 的P 点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P 点又经过两次“刹车制动”，最后在距月球表面200km 的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。对此，下列说法正确的是（ ）
A ．由于“刹车制动”，卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道上Ⅰ长 B ．虽然“刹车制动”，但卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道上Ⅰ短
C ．卫星在轨道Ⅲ上运动的速度比沿轨道Ⅰ运动到P 宇宙速度
D ．卫星在轨道Ⅲ上运动的加速度小于沿轨道Ⅰ运动到P 点（尚未制动）时的加速度
10．（2009佛山质检）在2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新的时代即将到来。 “神舟七号”围绕地球做圆周运动时所需的向心力是由 提供，宇航员翟志刚出舱任务之一是取回
外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手（相对速度近似为零），则它 （填“会”或“不会”）做自由落体运动。设地球半径为R 、质量为M ，“神舟七号”距地面高度为h ，引力常数为G ，试求“神舟七号”此时的速度大小。
A 组答案
1．C [万有引力提供向心力]
2．BC [由题目可以后出“天链一号卫星”是地球同步卫星，运行速度要小于7.9m /s , 而他的位置在赤道上空，高度一定，A 错B 对。由ω=2πGM 可知，C 对。由a =可知，D 错] T R 2
23．AB [行走时仍然在太空中做圆周运动] 4.C [根据公式GMm/(R)=mv/(R)=ma=m(2π/T)R 可知A 、B 、D 错误，C 正确]
5.C
Mm g 火M 火R 地6．B [星球表面重力等于万有引力，G = mg，故火星表面的重力加速度 = 0.4，故B 正确] R g M地R 火7．ABC 8． BC 9．BC
10．地球引力（重力、万有引力）； 不会。
以“神舟七号”为研究对象，由牛顿第二定律得：F =G 222Mm
(R +h )2=ma
由匀速圆周运动可知：G
Mm (R +h )2v 2=m
，解得线速度v =R +h ⑤
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