实务探讨
ＥＸＣＥＬ下基尼系数的计算研究
高
技
基尼系数是２０世纪初意大利经济学家基尼根据洛伦茨曲线提出的定量测定收入差异程度的指标，也是国际上通常用来衡量收入差异程度的一个重要统计分析指标。一直以来，尽管很多人都知道基尼系数的大致含义和主要用途，但由于基尼系数计算比较复杂，而且在相关教材和资料中难以找到非常有效的计算方法，使得很多人在计算基尼系数方面存在一些技术障碍和困难，大大地影响了基尼系数在实际工作中的应用。
为了彻底破除人们在计算基尼系数方面的技术障碍和困难，本文将对基尼系数的计算进行一番探索，在指出常用基尼系数计算公式不足的同时，直接根据基尼系数的有关定义，对两种情况下的基尼系数计算，进行严格的数学推导证明，取得两条新的基尼系数实用计算公式；然后再根据这两条实用计算公式，充分利用ＥＸＣＥＬ中单元格的计算功能，建立起全新、科学、简易的基尼系数计算方法，可使一般人不用专门计算程序也能轻轻松松地计算出基尼系数。
明白了洛伦兹曲线后，基尼系数就很好理解了。基尼系数实际上就是图１中Ｓ１除以（Ｓ１＋Ｓ２），其中，Ｓ１是直线段ＯＢ与洛伦兹曲线围成的区域面积，Ｓ２是直线段ＯＡ、ＡＢ和洛伦兹曲线围成的区域面积。
目前有关资料和教材中比较常用的基尼系数（Ｇ）计算公式有以下两条：
上图中Ｂ点的坐标（ｘ，ｙ）为：ｉ
一、基尼系数的概念与常用计算公式的不足
由于基尼系数与洛伦茨曲线关系密切，因此，在介绍基尼系数之前，我们还得先讲一下洛伦茨曲线。
洛伦茨曲线是统计学家洛伦茨在研究社会收入分布情况时首先提出的，其大致意思是：先将研究的全部人口对象（如Ｎ个人）按其收入从低到高排列（设其收入为Ｑ），从收入最ｉ低的对象开始，累计任意百分比的人口（如ｉ／Ｎ），计算出他们收入合计占全部人口收入合计的百分比（设Ｖ），然后，以ｉ人口累计的百分比为Ｘ轴，以收入累计的百分比为Ｙ轴，将所有这些人口累计百分比和收入累计百分比的对应关系（如点Ｂ）描绘在图上，这样绘出的曲线就叫洛伦茨曲线（见图１中ｉ向下弯曲的曲线）。
图１
收入累计百分比
１
Ｂ（１，１）
公式１是在已知所有Ｎ个人收入的情况下使用的。公式１中ＷＮ为这Ｎ个人的收入之和，Ｑ为这Ｎ个人按收入从低到高排列ｉ后的第ｉ个人的收入。公式１的具体展开就是：
尽管这个计算公式中各项都很有规律，但在ＥＸＣＥＬ下要对给定的一组收入数据（Ｑ）实现以上计算还是比较麻烦的。ｉ像这样的计算，为了有效利用ＥＸＣＥＬ的“拖拉复制”功能，减少手工输入公式，一般要在ＥＸＣＥＬ表中开辟一个与以上展开式形状相似的三角形计算区域，在这三角形计算区域中，虽然每列只需对一个单元输入计算公式，其他单元的公式可通过拖拉复制得到，但由于这样的列数共有Ｎ－１个，当Ｎ很大时，要输
ＢＳ１
入全部的计算公式还是显得非常麻烦的。
Ｓ２
Ａ（１，０）
Ｂｉ－１
公式２是针对研究对象已按个人收入多少分成ｎ个组，并且已知每组的对象个数（Ｐ）和总收入（Ｑ）的情况，而建立ｉｉ的基尼系数计算公式。这条公式中Ｘ、Ｙ、Ｖ分别为：ｉｉｉ
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１人口累计百分比
０
Ａ
Ａｉ－１
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就是Ｖ，“高”就是１／Ｎ，面积就是（Ｖｉｉ－１＋Ｖ）／２Ｎ。另ｉ外，值得一提的是，可以证明公式３和公式１的计算结果是完全一样的。
第二种情况：已知按个人收入多少进行分组，而且知道每组的人数和收入，计算其基尼系数Ｇ。
设共被分成ｎ个组，按组人均收入由小到大进行排列后，各组的人数和收入分别为Ｐ（ｉ＝１，２，……，ｎ）和Ｑ（ｉ＝１，ｉｉ２，……，ｎ），且记
如果在ＥＸＣＥＬ下要对给定的对象个数（Ｐ）和总收入ｉ
（Ｑ）两列数据，用公式２计算基尼系数一般也需开设４、５列ｉ的计算区域，其计算也比较麻烦。而且，公式２中各项的具体意义也不是很直观，不便于记忆，计算时容易弄错。
二、洛伦茨曲线的补充说明和基尼系数
实用计算公式的推导
对于上面洛伦茨曲线的一般描述，本人认为还需要补充说明的是：严格来讲，按上面定义中的方法将所有对应关系都描在图上，实际上是不能构成一条连续的曲线。这是因为，人口数Ｎ是一个自然数，当Ｎ确定后，在Ｘ轴的［０，１］区间上只有ｉ／Ｎ（ｉ＝０，１，２，……，Ｎ）处，人口累计的百分比才有实际意义。虽然对象越多，这些有意义的点就越紧密，但无论多密，相邻的点总是还有１／Ｎ的间隔。这时将人口累计百分比和收入累计百分比的对应关系描绘在图上，还只是一串貌似曲线的Ｎ点集合。关于这个问题，许多资料都没有提及。但本人认为，根据洛伦茨曲线的精神，在这种情况下，依次将上面Ｎ点用直线段进行连接，所得到的一条从坐标（０，０）到（１，１）的折线就是洛伦茨曲线，这时不存在用直线近似代替曲线一说，因为上面Ｎ点的间隔处原先就没有什么曲线。
清楚了以上有关概念和补充说明后，现在让我们分两种不同情况重新推导一下基尼系数的计算公式。
第一种情况：已知Ｎ个人的收入，计算其基尼系数Ｇ。设这Ｎ个人收入从低到高排列后，得到的收入为Ｑ（ｉ＝１，ｉ
２，……，Ｎ）。且记
这里需要说明的是：
１．在这种情况下，由于不知道每个研究对象的具体收入情况，所以，不可能像第一种情况一样能准确画出洛伦茨曲线。但如果我们用直线段依次将（Ｕ，Ｖ）（ｉ＝０，１，２，……，ｉｉｎ）这些点连接起来，并将所得折线记为Ｋ线，就会发现Ｋ线与洛伦茨曲线还是比较近似的。这是因为，根据洛伦茨曲线定义，可以知道（Ｕ，Ｖ）（ｉ＝０，１，２，……，ｎ）这些点肯定ｉｉ都落在洛伦茨曲线上，换句话说，Ｋ线与洛伦茨曲线在（Ｕ，ｉＶ）（ｉ＝０，１，２，……，ｎ）这些点上是完全重合的，只不过ｉ在这些点的间隔处Ｋ线是一条直线段，而洛伦茨曲线不一定是一条直线段，很可能是一条单调上升的“折线段”。在这种没办法具体确定这些“折线段”的条件下，我们用Ｋ线的直线段代替未知的“折线段”，应该说是比较合理的。上面公式４就是用Ｋ线近似代替洛伦茨曲线后推导出来的。我们前面介绍过
则有：
的公式２在推导中可能也有这样一个近似代替的过程，因为我们可以验证公式２和公式４的计算结果是完全一样的。
２．用Ｋ线近似代替洛伦茨曲线后，Ｓ就是ｎ个直角梯形２
（第一个为三角形）面积之和，其中第ｉ个梯形的“上底”就是Ｖｉ－１，“下底”就是Ｖ，“高”就是Ｐ／Ｎ＋ｉｉｎ，面积就是（Ｖｉ－１Ｖ）Ｐ／２Ｎｉｉｎ。
３．我们应当明白用公式２和公式４得到的Ｇ只是一个近似
上面推导中需要说明的是：根据前面有关概念和说明我们知道，图１中直角三角形ＯＡＢ的两个直角边长都是１，于是Ｓ１＋Ｓ等于０．５。Ｓ２２实际上就是Ｎ个直角梯形（第一个为三角形）面积之和，其中第ｉ个梯形的“上底”就是Ｖｉ－１，“下底”４２
值，当我们可以用公式１和公式３计算时，最好不要用公式２和公式４。事实上，公式４计算出来的Ｇ往往要比实际上的基尼系数小一些。这是因为，根据洛伦茨曲线定义可以知道，实际上的洛伦茨曲线在（Ｕ，Ｖ）（ｉ＝０，１，２，……，ｎ）这些点间ｉｉ
则有：
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隔处的“折线段”一般都在Ｋ线的下方，不可能在Ｋ线的上方，这就使得公式４中的Ｓ１往往要比实际上的Ｓ１小，结果公式４计算出的Ｇ也就往往要比实际上的基尼系数小一些。这点也说明了，用分组方法计算基尼系数往往会出现低估的情况，分组越粗，得到的基尼系数就越小。这个问题，在我们的实际工作中也遇到过。如同样的住户调查数据，由于在计算时采用不同的分组方法，如十分法或五分法，则得到的基尼系数往往是不一样的，结果给关于基尼系数的统计分析带来了困惑。人们之所以比较多地采用十分法和五分法计算基尼系数，我想其中一个主要原因就是想简化基尼系数的计算，避开对成百上千住户调查数据进行直接计算的麻烦。现在好了，我们没有必要回避对住户调查数据的直接计算，因为，有了公式３和下面将要介绍的方法，我们可以不费吹灰之力就能将它们搞定，还能还基尼系数以本来面目。
两列数据，求其基尼系数。
对于这种情况的基尼系数计算，我们也举一个１８个组的例子。设在ＥＸＣＥＬ表的Ｂ３到Ｂ２０位置有１８个组的家庭数，Ｃ３到Ｃ２０位置有１８个组的收入数据，它们已按户均收入从小到大排列，具体见表２。对于这个例子，有个问题需要先说明一下，即公式４中原来要求知道分组的人数和收入，而现在实际上只知道分组的家庭数和收入，公式４中能用家庭数代替人数吗？对于这样类似的问题，许多教材和资料一般都是默许的。这主要原因是，在不知道人口分布的情况下，用家庭分布大致反映人口分布也是一个比较合理的办法。另外，从公式４来看，如果被调查的每户家庭人口数都一样，公式４中的分组人口数用分组家庭数代替后，其计算结果是不变的，所以，当被调查的家庭人口数大致相同时，这种替代的合理性是有依据的。尽管这种替代是被允许的，但我们也要明白它也是一个近似的过程，对计算结果也是有影响的。
表２
三、ＥＸＣＥＬ下基尼系数计算的新方法
有了上面的公式３和公式４，现在我们可以讨论ＥＸＣＥＬ下基尼系数计算的新方法。为了更加具体、直观地介绍ＥＸＣＥＬ下基尼系数计算的新方法，下面将采用实例的形式，并分两种情况进行。
１．已知ＥＸＣＥＬ表中有一列个人收入数据，求其基尼系数。为了节省本文篇幅，这里只举一个１８人的例子，人数很多操作步骤也完全一样。设在ＥＸＣＥＬ表的Ａ３到Ａ２０单元中有１８个人的收入数据，它们已按从小到大排列，具体见表１。
表１
关于本例基尼系数计算，我们的具体操作步骤就是：第一步：在Ｄ３单元中输入公式“＝Ｄ２＋Ｃ３”（要求Ｄ２单元为空或零），并点住该单元右下角拖拉至Ｄ２０单元，这时便会得到表２中的Ｄ３到Ｄ２０的数据，这些数据实际上就是公式４中的Ｗ（ｉ＝１，２，……，１８），这些单元中的计算公式分别为：ｉ
Ｄ３：“＝Ｄ２＋Ｃ３”Ｄ４：“＝Ｄ３＋Ｃ４”．．．．．．
Ｄ２０：“＝Ｄ１９＋Ｃ２０”
这时我们的具体计算操作步骤就是：
第一步：在Ｂ３单元中输入公式“＝Ｂ２＋Ａ３”（要求Ｂ２单元为空或零），并点住Ｂ３单元右下角拖拉至Ｂ２０单元，这时便会得到表１中的Ｂ３到Ｂ２０的数据，这些数据实际上就是公式３中的Ｗ（ｉ＝１，２，……，１８），这些单元中的计算公式分别为：ｉ
Ｂ３：“＝Ｂ２＋Ａ３”Ｂ４：“＝Ｂ３＋Ａ４”．．．．．．
Ｂ２０：“＝Ｂ１９＋Ａ２０”
第二步：在Ｂ２１单元中，根据公式３并结合本例实际，输入相应的计算公式“＝１－（２＊ＳＵＭ（Ｂ３：Ｂ２０）－Ｂ２０）／（１８＊Ｂ２０）”，便可以得到基尼系数的计算结果０．３８７８。
２．已知ＥＸＣＥＬ表中有分组的人数（或家庭数）和总收入这
第二步：在Ｅ３单元中输入公式“＝（Ｄ２＋Ｄ３）＊Ｂ３”（要求Ｄ２单元为空或零），并点住该单元右下角拖拉至Ｅ２０单元，这时便会得到表２中的Ｅ３到Ｅ２０的数据，这些数据实际上就是公式４中的（Ｗｉ－１＋Ｗ）Ｐ（ｉ＝１，２，……，１８），这些单元ｉｉ中的计算公式分别为：
Ｅ３：“＝（Ｄ２＋Ｄ３）＊Ｂ３”Ｅ４：“＝（Ｄ３＋Ｄ４）＊Ｂ４”．．．．．．
Ｅ２０：“＝（Ｄ１９＋Ｄ２０）＊Ｂ２０”
第三步：在Ｅ２１单元中，根据公式４并结合本例实际，输入
相应的计算公式“＝１－ＳＵＭ（Ｅ３：Ｅ２０）／（ＳＵＭ（Ｂ３：Ｂ２０）＊Ｄ２０）”，便可以得到基尼系数的计算结果０．３０１１。
（作者单位：温州市统计局・邮编：３２５００９）
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