二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数。
y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x =-抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) （2）顶点式：y =a (x -h ) 2+k (a , h , k 是常数，a ≠0)
22
（3）当抛物线y =ax +bx +c 与x 轴有交点时，即对应二次好方程ax +bx +c =0
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a
有实根x 1和x 2存在时，根据二次三项式的分解因式ax +bx +c =a (x -x 1)(x -x 2) ，二
2
次函数y =ax +bx +c 可转化为两根式y =a (x -x 1)(x -x 2) 。如果没有交点，则不能这
2
样表示。
三、抛物线y =ax +bx +c 中，a , b , c 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线
2
2
2
b b
，故：①b =0时，对称轴为y 轴所在直线；②>0（即a 、b 同号）时，2a a
b
对称轴在y 轴左侧；③
a x =-
（3）c 的大小决定抛物线y =ax +bx +c 与y 轴交点的位置.
2
当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①c =0，抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴；③c
b
五、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的∆=b 2-4ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆
补充： 函数平移规律：左加右减、上加下减 六、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
4ac -b 2b
x =-时，y 最值=。
2a 4a
如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么，首先要看-
b
是否在自变量取值范围2a
4ac -b 2b
x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当x=-时，y 最值=；
2a 4a
若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，
2
如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x =x 2时，当x =x 1y 最大=ax 2+bx 2+c ，2
时，y 最小=ax 1+bx 1+c ；
2
如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x =x 1时，y 最大=ax 1当x =x 2+bx 1+c ，2
时，y 最小=ax 2+bx 2+c 。
典型例题
2
⎧x -1-1(x ≤3)()⎪
1. 已知函数y =⎨，则使y=k成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）
2
⎪⎩(x -5)-1(x ＞3)
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2. 如图为抛物线y =ax 2+bx +c 的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，
则下列关系中正确的是 （ ）
A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b
3. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则反比例函数y =在同一坐标系中的大致图象是（
）.
a
与一次函数y =bx +c x
4. 如图，已知二次函数y =x +bx +c 的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y 随x 的增大
而增大时，x 的取值范围是 ．
2
+c
2
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y =x +2x +3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．
A ．y =-(x +1) +2 B ．y =-(x -1) +4 C ．y =-(x -1) +2 D ．y =-(x +1) +4
2
6. 已知二次函数y =ax +bx +c 的图像如图，其对称轴x =-1，给出下列结果
2
2
2
2
2
①b >4ac ②abc >0③2a +b =0④a +b +c >0⑤a -b +c
（ ）
A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤
7．抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数y =ax 2+bx +c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是
x =
1
； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大． 2
8. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，连结OA ． (1)求△OAB 的面积；
(2)若抛物线y =-x 2-2x +c 经过点A ． ①求c 的值；
②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部（不包括△OA B 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．
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9．已知二次函数y = x 2+ x 的图像如图．
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（1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴、y 轴的交点分别
为A 、B 、C 三点，若∠ACB =90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断
直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由．
10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，AB ＝10，以AB 为直径的⊙O′与y 轴正半轴交于点C ，连接BC ，AC . CD 是⊙O′的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝线y =ax +bx +c 过A ，B ，C 三点. （1）求证：∠CAD ＝∠CAB ； （2）①求抛物线的解析式；
②判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形. 若存在，直接写出点P 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.
2
1
，抛物2
11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD = 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （-1，0），B ( -1，2) ，D ( 3，0) ，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N ．
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P ．使得P A = PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请
说明理由。
（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的—个动点，当点
Q 在什么位置时有QE QC 最大？并求出最大值。
12．如图，抛物线y =
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x +bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． 2
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M (m ，0) 是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．
13. 在平面直角坐标系中，如图1，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y =ax 2+bx +c (a
（2）当n ＝2时，如图2，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使得点B 落到x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O ，
①试求出当n =3时a 的值； ②直接写出a 关于n 的关系式.