⒈正数和负数的概念
负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a 可以表示任意数，当a 表示正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 是正数；当a 表示0时，-a 仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2. 具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃
3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：
（3） 0表示一个确切的量。如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。
二. 有理数
1. 有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8„也是偶数，-1,-3,-5„也是奇数。
2. 有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
正整数 整数正有理数正分数
有理数有理数（0不能忽视） 负整数 分数负有理数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数
三. 数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3. 利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4. 数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a 可以表示什么数
⑴a>0表示a 是正数；反之，a 是正数，则a>0； ⑵a
四. 相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2. 相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a ，b 互为相反数，则a+b=0
3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4. 相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简 ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），
化简得5)
5. 相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a 是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，-a0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
五. 绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a|。
2. 绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为：
①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a
①：a ≥0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a ≤0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
3. 绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0. 即：a=0 |a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0. 即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a ；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a ； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
经典考题
已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值
解：因为|a+3|≥0，|2b-2|≥0，|c-1|≥0，且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0
所以|a+3|=0 ，|2b-2|=0 ，|c-1|=0 即a=-3 ,b=1 ,c=1 所以a+b+c=-3+1+1=-1
4. 有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5. 绝对值的化简
①当a ≥0时， |a|=a ； ②当a ≤0时， |a|=-a
6. 已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。如：|a|=5，则a=土5
典型题型
1. 下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）
①0既不是正数也不是负数； ②0是最小的自然数； ③0是最小的正数； ④0是最小的非负数； ⑤0既不是奇数也不是偶数. A 、0
B、1 C、2 D、3
2. 某仓库运进面粉7．5吨记作+7．5吨，那么运出3．8吨应记作 。
3. 长江某水文检测站, 正常水位是10m, 规定高于正常水位记为正, 低于正常水位记为负. 记录表上有3次记录分别为+1.5,0,-1.6,这三次记录表示的实际水位分别是 .
4. 把下列数分别填在对应的括号内： 13，－0.5，2.7，123，0，
27 ，－4， . 54
（1）分数（ ）； （2）负整数（ ）； （3）正分数（ ）； （4）有理数（ ）
5．找规律1，－2，3，－4，5，－6，7，－8 ，„„„其中第199个数为 ，第2016个数 ，规律是 ；
6
．给定一列按规律排列的数：A ．
B．
C．
„，则这列数的第
6个数是（ ）
D．
7．若|x+2|+|y-3|=0，则 x-y的值为（ ）
A ．5 B．-5 C．1或-1 D．以上都不对
8．数轴上的点A 到－2的距离是6，则点A 表示的数为（ ） A.4或－8 B.4 C.－8 D.6或－6
9．若│a │+│b │=0，则a 与b 的大小关系是（ ）
A.a=b=0 B.a与b 不相等 C.a，b 异号 D.a，b 互为相反数
10．已知│x │=4，│y │=5，且x ＞y ，则的值为（ ）
A. －13 B.＋13 C.－3或＋13 D.＋3或－13
11. 下列说法错误的是( )
A. 最小自然数是0 B.最大的负整数是－1 C.没有最小的负数 D.最小的整数是0
12. 在数轴上，原点左边的点表示的数是( )
A. 正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
13. 从数轴上看，0是( )
A. 最小的整数 B.最大的负数 C.最小的有理数 D.最小的非负数
14：（1）原点表示的数是______. （2）原点右边的数是_____，左边的数是_____. （3）指出数轴上A.B.C.D.E 各点分别表示什么数：
解：A 点表示______，B 点表示______，C 点表示______，D 点表示______，E 点表示______.
15. 下列说法错误的是（ ）
A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B.在数轴上表示–3的点于表示+1的点的距离是2 C.数轴上的原点表示零 D.数轴上表示-3
16. 用“>”. “
（1）9 －16；（2）—
17. 像2和 －2，5和 －5这样，只有符合不同的两个数叫做互为________.这就是说，2的相反数是
______ ，－2的相反数是________; 5的相反数是________,－5的相反数是______ .
18. 如果a +b =0，那么a ，b 两个实数一定是 ( )
A. 都等于0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数 19. 若
互为相反数，则
．
11
的点，在原单位左边3个单位 44
72
—；（3）0 —6 ． 1515
20．若a ＝7，b ＝5，则a -b 的值为 ( ) A．2
B ．12 C．2或12
D ．2或12或－12或－2
21. 若a =－3，则 －a =( )
A. －3 B.3 C. －3或3 D.以上都不对
22.(1) +1= ; -3. 5= ; 0=
5 (2) -8+-2= ； -6÷-3= ； -6. 5--51= .
2
23. 下列各数:+(-1),-[+(-3)],-A.1个
24. 下列化简错误的是 ( ) A.-(-3)=3
B.2个
,-(-m),+
C.3个
, 其中正数有 ( )
D.4个
B.+(-3)=-3 D.+{-[+(-3)]}=3
C.-[-(+3)]=-3
25. 若|a|=-a,则有理数a 在数轴上的对应点一定在 ( ) A. 原点左侧 C. 原点右侧
26. 在数轴上，表示数x 的点与表示数1的点的距离等于2，其几何意义可表示为：x -1＝2，这样的数x 可以是－1或3．
(1)等式x -2＝1的几何意义可仿上解释为：在数轴上____________________________，其中x 的值可以是______________．
(2)等式x +3＝2的几何意义可仿上解释为：在数轴上____________________________，其中x 的值可以是______________．
(3)在数轴上，表示数x 的点与表示数－2的点的距离等于3，其中x 的值可以是_______，其几何意义可以表示为 ．
27.a,b 互为相反数且a 是正数, 在数轴上表示a,b 的点相距14个单位长度, 那么b 为 .
28. 比较-,-, 的大小, 结果正确的是 ( ) A.-
29. 有理数m,n 在数轴上的位置如图所示
,
B.-
D.-
B. 原点或原点左侧 D. 原点或原点右侧
比较大小:-m -n.
30．有下列说法：①若a ，b 互为相反数，则a ＋b ＝0；②若a ＋b ＝0，则a ，b 互为相反数；③若a ，b 互为相反数，则＝－11，则a ，b 互为相反数．其中正确的有( ) A ．②③④ B．①②③ C ．①②④ D．①②
31．若a ，b 为有理数，a >0，b 32．比较大小：
(1)－4.3__ __＋1； (2)0__ __－2.5； (3)－5.7__ __－5.77；
a b a b
⎪1⎪1(4)－π__ __－3.14； (5)|＋2.1|_ __|－2.1|； (6)⎪＋__ __⎪－； ⎪8⎪⎪7⎪⎛5⎪6(7)－ ＋__ __－⎪－； (8)－|－2|__ __－(－2) ．
⎝7⎭⎪7⎪
11
33．若0＜a ＜1，则a ，－a ，的大小关系是 (用“＞”连接) ．
a a
34. 在体育课上对初一男生进行引体向上测试，以做6次为标准（合格线为6次），超过数用
正数表示，不足的用负数表示，其中8名男生成绩如下：
（1）这8名男生共做了多少引体向上？
（2）这8名男生达到合格的百分率是多少？
35. 小蚂蚁从某点O 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：
＋5，－3，＋2，－3，－1
（1）小蚂蚁最后在出发点的哪一边？离开出发点O 相距多少厘米？（请借助数轴） （2）在爬行过程中，如果爬1厘米奖励两粒芝麻，则小蚂蚁一共得到多少粒芝麻？
巩固练习题
一. 选择题
1. 下列各组数中, 互为相反数的是( ) A.-和-
B.-(+5)和+(+5)
C.-(-3)和+(+3)
D.-4和-(+4)
2. 绝对值是它本身的数是 ( ) A. 所有负数 C. 所有正数
B.0 D. 非负数
3. 若|-x|=2016,则x 的值是 ( ) A.2 016
B.-2 016
C. ±2 016
D.
1 2016
4．数a 的相反数等于数a ，则下列说法正确的是( ) A ．数a 一定是正数 B．数a 一定是负数 C ．数a 一定不是整数 D．数a 一定是0
5．在数轴上，与表示数－1的点的距离是2的点所表示的数是( ) A ．1 B．3 C．±2 D．1或－3
6．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1 cm ，若在这条数轴上随意画出一条长为2016 cm 的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是( ) A ．2014个或2015个 B．2015个或2016个 C ．2016个或2017个 D．2017个或2018个
7．下列说法错误的是( )
A ．一个正数的绝对值一定是正数 B．任何数的绝对值都是正数 C ．一个负数的绝对值一定是正数 D．任何数的绝对值都不是负数
8．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则(
)
A ．b 9．如果m 为有理数，且－m ＞m ，那么( ) A ．0
10
．给定一列按规律排列的数：A ．
B．
C．
„，则这列数的第
6个数是（ ）
D．
11．若|x+2|+|y-3|=0，则 x-y的值为（ ）
A ．5 B．-5 C．1或-1 D．以上都不对
12．观察图中中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2016应标在（
）
A ．第503个正方形左上角顶点处 B ．第503个正方形右上角顶点处
C ．第504个正方形左上角顶点处 D ．第504个正方形右上角顶点处
二. 填空题 1．-2
2．比较大小：-
3. 化简下列各式.
(1)+|+9|= . (2)+|-2.6|= . (3)-|+3.3|= . (4)-= .
111
的倒数是-2的相反数是-2的绝对值是 333
1128
-； ．
1337633
4．点A 在数轴上所表示的数是m ，将点A 向右移动7个单位后所表示的数是3，则m ＝__ __．
5．已知a ，b 互为相反数，则3a －4＋3b ＝__ __．
6．若|x |＝|－7|，则x ＝__ _；若|x －7|＝2，则x ＝ ．
7．大于－2的最小整数为__ __，小于－3.56的最大整数为__ __．
8．绝对值大于1而不大于4的整数有
9．观察下面一列数，根据规律写出横线上的数：
－；；－
111211
；； ； ；„„；第2016个数是 ． 34
10．已知a 与b 互为相反数， n 的绝对值是2，则2a -n +2b = ．
11. 当a >0时，a ____-a ；当a =0时，a ____-a ；当a
12．如图，根据有理数a 、b 、c 在数轴上的位置，判断a b c 的大小关系 ．
13．在数轴上，点A 、B 分别表示 -3和2，则A 、B 之间的距离是 个单位长度．
14. 按规律填数：
（1）1，－4，9，－16，_________， ________； （2）0，3，8，15，24，_________， ________.
15．已知x 与y 互为相反数，m 与n
_ __.
16．古希腊数学家将数：1，3，6，10，15，21，28，„，叫做三角形数，它有一定的规律性，
第24个三角形数与第22个三角形数的差为 ．
17．如图所
示的运算程序中，若开始输入的x 的值为10，我们发现第一次输出的结果
为5，第二次输出的结果为8，，则第10次输出的结果为
三. 解答题 1．计算：
⎪1⎪1⎪(1)|－7.25|－⎪－； (2)|－19|×|－5|×⎪＋⎪. ⎪2⎪⎪5⎪
2．已知x ，y 是有理数，且满足|3－x |＋|y ＋15|＝0. 求3x ＋2y 的值．
EVER-YE-EDU dongguan
3. 某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为－39℃，求此处的高度是多少千米？
4. 学校对初一男生进行立定跳远的测试，以能跳170cm 及以上为达标，超过170cm 的厘米数用正数表示，不足170cm 的厘米数用负数表示．
第一组10名男生成绩如下（单位cm ）：
5. 一只小虫从某点P 出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10。
（1）通过计算说明小虫是否能回到起点P 。
（2）如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间？
问：第一组有百分之几的学生达标? 他们的平均成绩是多少？