燕山大学
课 程 设 计 说 明 书
题目：双臂电桥测电阻率
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燕山大学课程设计（论文）任务书
院（系）： 理学院 基层教学单位：
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双臂电桥测电阻率
摘要：电阻率是表征导体材料性质的一个重要物理量。测量导体的电阻率一般为间接测量，即通过测量一段导体的电阻，长度及其横截面积，再进行计算。而电阻的测量方法很多，电桥是其常用方法之一。
双臂电桥简称双电桥，又名开尔文电桥，它是惠斯登电桥的改进和发展，它可以消除（或减小）附加电阻对测量的影响，因此是测量1Ω以下低电阻的主要仪器。常用来测量金属材料的电阻率、电机、变电器绕组的电阻、低阻值线圈电阻、电缆电阻、开关接触电阻以及直流分流器电阻等。
关键字：双臂电桥；电阻率；铜棒；铝棒。
Double bridge measuring resistivity
Abstract : Resistivity is an important physical quantities of conductor
material properties .The resistivity measurement is generally indirect, measuring the resistance of some conductors, length and its cross sectional area, and then calculated. There are many methods of vesistance measurements,bridge is the commonly used methods of them.
Double Bridge,also known as the Kelrin bridge,which is the important and development of the whetstone bridge, can reduce the influence of additional resistance, so it is the main instrument to measure low resistance below 1 .The Double Bridge can also be used to measure the resistivity of metal materials, electrical machinery, transformer winding resistance , low resistance coil resistance, cable resistance, the switch contact resistance and the DC shunt resistance, etc
Keywords : double bridge; resistivity; copper; aluminum.
【实验目的】
1. 学习用双臂电桥测低值电阻的原理和方法。
2. 掌握用双臂电桥测量几种金属棒的电阻，并计算其电阻率。 【实验原理】
测量电阻常用多用电表，但其测量误差较大。如果要对电阻进行精可
6
达0.5%（电阻值测量范围为10～10Ω）。但在测量低值电阻时（1Ω以下的电阻），由于导线电阻和连接点的接触电阻（数量级为10-2～10-4Ω）的存在，惠斯登电桥的测量误差将显著增大，甚至根本无法测量。因此单臂电桥不适宜测定低电阻。必须在测量线路上采取措施，避免接触电阻和导线电阻对低电阻测量的影响。
为了消除导线电阻和接触电阻的影响，我们采用四端钮接法（如图1），并在单电桥的基础上增加两个桥臂电阻R 3、R 4，这就构成了双电桥。
其中A 、B 、C 和D 接点是用铜块块制成，且在每一个上面都有一个用来紧密固定的大螺丝，B 和C 接点间用较粗的U 形铜棒连接。P 和Q 是两个弹簧片，起固定R x 的作用。标尺用螺丝固定在铜棒的前面，这样可在尺上直接读出MN 的长度。铜棒AB 镀了防腐蚀材料。M 是一用胶木和接触弹簧片组成的滑块，且固定在粗的金属棒上。除BC 间的接线在板的上面，其他连接均在板下，均用粗铜线。电阻间的接线柱有板上部分和板下部分，板上是旋钮接线柱，板下是由螺丝固定的垫圈和焊片。左边电阻配法是按顺时针方向依次为100Ω、450Ω、450Ω、100Ω；右边相同。
配阻计算如下：
由于电阻对称的分布，可只设左边阻值依次为x 1、x 、x 3、x 4
2
按设计要求，列方程
x 1/(x 2+x 3+x 4) =0. 1
(x 1+x 2) /(x 3+x 4) =1
(x 1+x 2+x 3) /x 4=10
用矩阵解线性方程组的方法解出通解，得到x 1：x ：x 3：x 4=2：
2
9：9：2
于是考虑现有电阻和对实验准确度的影响，精挑细选100Ω、20Ω和430Ω三种规格的电阻。
二．双臂电桥的工作原理
双电桥的原理电路图如图3所示。它有两大特点：（1）待测
电阻R x 和比较臂电阻R 0都是采用四端钮接法接入电路。三根电流端引线附加电阻分别为r 1、r 2、r 3。其中r 1为包括导线电阻、C 1和
' ' ' C 1两点处的接触电阻、以及C 1P 1之间电阻的总和。r 2和r 3也是' ' 类似情况。另外四根电压端引线的附加电阻分别为r 1、r ' 2、r 3和
r ' 4，它们都包含导线电阻和接触电阻。
以适当调节电阻R 1、R 2、R 3、R 4和R 0，使检流计G 没有电流通过，电桥达到平衡。此时流过电阻R 1和R 2、R 3和R 4，以及R x 和R 0的电流分别相等，设分别为I 1、I 3和I 。当双电桥平衡时，S 和T 两点的电位相等，下述关系式成立，即
I 1r 1+I 1R 1=IR x +I 3r 2+I 3R 3 （1）
I 1R 2+I 1r 4=I 3R 4+I 3r 3+IR 0 （2）
' '
为了使附加电阻r 1、r ' 2、r 3和r ' 4的影响可以忽略不计，在双电'
桥电路中要求桥臂电阻R 1、R 2、R 3和R 4足够大，即R 1〉〉r 1、R 2〉〉
'
'
' '
' r ' 2、R 3〉〉r 3和R 4〉〉r ' 4；同时C ' 2和M ' 的联接采用一条粗导线，
使得附加电阻r 2很小，以满足I 〉〉I 1和I 〉〉I 3的条件。于是，式（1）和（2）可简化为
IR x =I 1R 1-I 3R 3 (3) IR 0=I 1R 2+I 3R 4 (4)
以上两式相除得
R 1(I 1-I 3=
R 2(I 1-I 3
R 3R 1R 4R 2
)
R x R 0
(5)
)
在双电桥设计时，设法使四个桥臂电阻满足下面的关系式，即
R 1R 3
=R 2R 4
则式（5）可以简化，从而得到双电桥的平衡条件为
R x /R 0=R 1/R 2
或
R x =
R 1R 2
⋅R 0=
R 3R 4
⋅R 0 （6）
式中R 1/R2（或R 3/R4）称为电桥桥臂比（或称为倍率）。由式（6）可知，待测电阻R x 等于桥臂比与比较臂电阻R 0的乘积。
综上所述，双电桥能够消除或减小附加电阻对测量低电阻的影响，其主要原因是：
（1）R x 和 R 0都采用了四端钮接法，它转移了附加电阻（包括导线电阻与接触电阻）的相对位置，使得附加电阻不再与低电阻R x 和R 0相串联，将附加电阻 r 1和r 3转移到电源回路中去，消除了它们对测量的影响。
（2）桥臂电阻分别比相应的附加电阻大得多，从而可以将附加电阻忽略不计。
（3） R x 和R 0采用足够粗的导线联接，使得附加电阻 r 2（又称跨线电阻）很小；又由于四个桥臂电阻R 1、R 2、R 3、R 4比 R x 、R 0要大得多，于是，当双电桥平衡时，桥臂电流I 1和I 3必然比流过R x 和
' ' R 0 的电流I 小得多，这样，附加电阻r 1、r ' 2、r 3和r ' 4的电压降
与四个桥臂电阻以及 R x 、R 0上的电压降相比小得多，因而可以忽略不计。
三．双臂电桥测量电阻
1．四端引线法
测量中等阻值的电阻，伏安法是比较容易的方法，惠斯顿电桥
图4 伏安法测电阻 图5 双臂电桥测低
电阻
法是一种精密的测量方法，但在测量低电阻时都发生了困难。这是因为引线本身的电阻和引线端点接触电阻的存在。图4为伏安法测电阻的线路图，待测电阻R X 两侧的接触电阻和导线电阻以等效电阻r 1 、r 2、 r 3 、 r 4表示，通常电压表内阻较大，r 1和r 4对测量
的影响不大，而r 2和r 3与R X 串联在一起，被测电阻实际应为r 2+RX +r3， 若r 2和r 3数值与R X 为同一数量级，或超过R X ，显然不能用此电路来测量R X 。
若在测量电路的设计上改为如图5 所示的电路，将待测低电阻R X 两侧的接点分为两个电流接点C-C 和两个电压接点P-P ，C-C 在P-P 的外侧。显然电压表测量的是P-P 之间一段低电阻两端的电压，消除了r 2和r 3对R X 测量的影响。这种测量低电阻或低电阻两端电压的方法叫做四端引线法，广泛应用于各种测量领域中。例如为了研究高温超导体在发生正常超导转变时的零电阻现象和迈斯纳效应，必须测定临界温度Tc ，正是用通常的四端引线法，通过测量超导样品电阻R 随温度T 的变化而确定的。低值标准电阻正是为了减小接触电阻和接线电阻而设有四个端钮。
2．双臂电桥测量低电阻
图6 四端引线法测电阻
用惠斯登电桥测量电阻，测出的R X 值中，实际上含有接线电阻和接触电阻（统称为R j ）的成分（一般为10-3~10-4Ω数量级），通常可以不考虑R j 的影响，而当被测电阻达到较小值（如几十欧姆以下）时，R j 所占的比重就明显了。
因此，需要从测量电路的设计上来考虑。双臂电桥正是把四端引线法和电桥的平衡比较法结合起来精密测量低电阻的一种电桥。
如图6 中，R 1、R 2、R 3、R 4为桥臂电阻。R N 为比较用的已知标准电阻，R x 为被测电阻。R N 和R x 是采用四端引线的接线法，电流接点为C 1、C 2，位于外侧；电位接点是P 1、P 2位于内侧。
测量时，接上被测电阻R x ，然后调节各桥臂电阻值，使检流计指示逐步为零，则I G =0，这时I 3=I4时，根据基尔霍夫定律可写出以下三个回路方程。
I 1R 1=I 3⋅R N +I 2R 2I 1R 3=I 3⋅R X +I 2R 4(I 3-I 2) r =I 2(R 2+R 4)
式中r 为C N2和Cx 1之间的线电阻。将上述三个方程联立求解，可得下式：
R X =
R 3R 1
R N +
rR 2
R 3+R 2+r
(R 3R 1
-R 4R 2
)
由此可见，用双臂电桥测电阻，R x 的结果由等式右边的两项来决定，其中第一项与单臂电桥相同，第二项称为更正项。为了更方便测量和计算，使双臂电桥求R x 的公式与单臂电桥相同，所以实验中可设法使更正项尽可能做到为零。在双臂电桥测量时，通常可采用同步调节法，令R 3/R1= R4/R2，使得更正项能接近零。在实际的使用中，通常使R 1=R2，R 3=R4，则上式变为
R x =
R N R 1
R 3
在这里必须指出，在实际的双臂电桥中，很难做到R 3/R1与R 4/R2完全相等，所以R x 和R N 电流接点间的导线应使用较粗的、导电性良好的导线，以使r 值尽可能小，这样，即使R 3/R1与R 4/R2两项不严格相等，但由于r 值很小，更正项仍能趋近于零。
为了更好的验证这个结论，可以人为地改变R 1、R 2、R 3和R 4
的值，使R 1≠R2，R 3≠R4，并与R 1=R2，R 3=R4时的测量结果相比较。
双臂电桥所以能测量低电阻，总结为以下关键两点： a 、单臂电桥测量小电阻之所以误差大，是因为用单臂电桥测出的值，包含有桥臂间的引线电阻和接触电阻，当接触电阻与R x 相比不能忽略时，测量结果就会有很大的误差。而双臂电桥电位接点的接线电阻与接触电阻位于R 1、R 3和R 2、R 4的支路中，实验中设法令R 1、R 2、R 3和R 4都不小于100Ω，那么接触电阻的影响就可以略去不计。
b 、双臂电桥电流接点的接线电阻与接触电阻，一端包含在电阻r 里面，而r 是存在于更正项中，对电桥平衡不发生影响；另一端则包含在电源电路中，对测量结果也不会产生影响。当满足R 3/R1= R4/R2条件时，基本上消除了r 的影响。 【实验仪器】
本实验所使用仪器有双臂电桥、直流稳压电源 、电流表、电阻、双刀双掷换向开关、标准电阻、低电阻测试架（待测铜、铝棒各一根）、直流复射式检流计（ C15/4或6型）、千分尺（螺旋测微器）、米尺、导线等。 【实验内容与步骤】
① 将一段铜棒导体安在四端电阻器上，将电阻的电压端接在电桥的P1，P2接线拄上，电流端接在电桥的C1，C2接线柱上。 ② 接通晶体管检流计的电源开关B1，待晶体管工作稳定后，调节检流计指针在“零”位置，再将灵敏度条到最底位置。
③ 测量电阻的阻值时，调节顺序是先找倍率，再调节步进读数旋纽和滑线盘，直至电桥平衡。按Rx = 倍率读数*（步进读数+滑线盘读数）测出待测电阻阻值。测6次取平均值。 ④ 用螺旋测微器测出圆柱体导体的直径D, 在不同的位置测6次，取平均值Dˉ。用米尺测C1，C2间导体的长度测6次，取平均值。
⑤ 断开电路，取下铜棒，将一段铝棒导体安在四端电阻器上，重复上述操作，测出数据，并记录。 【实验数据处理】
1、 基本常数数据：△L=2mm，R(n)=0.01Ω,R1=1000Ω。 2、
表1 40cm 铜棒数据记录表
*10
-8
（Ω）
3、
表2 40cm 铝棒数据记录表
*10
-8
（Ω）
4、
表3 直径的测量表
d （mm ）
5、计算电阻率ρ：
根据公式ρ=(RS)/L得出电阻率为：ρ铜 = 2.066* 10-8 Ω*m
ρ铝= 2.767* 10
-8
Ω*m
不确定度分析：
对40cm 的铜棒数据做不确定度分析
n
∑(R -R )
i 1. D:Ua ==0.008mm
i =1
_
2
n -1
, Ub =0.01/
3
=0.006mm ,
U D =0.010mm 2. L: UL =2mm 3. R: UR = 10
-5
Ω
由误差分析公式知道：△ρ/ρ=△D/D+△L/L+△R/R=0.023
△ρ 铜=0.047*10
-8
Ω.m
ρ铜=(2.066±0.047) *10-8 Ω.m 对40cm 的铝棒数据做不确定度分析
n
∑(R -R ) i 4. D: Ua == 0.011mm , Ub = 0.01/
i =1
_
2
3
=0.006mm ,
n -1
U D =0.013mm 5. L: UL = 2 mm 6. R: UR = 1.2* 10
-5
Ω
由误差分析公式知道：△ρ/ρ=△D/D+△L/L+△R/R= 0.024
△ ρ铝 =0.066 * 10
-8
Ω*m
-8
ρ 铝 =(2.767
±0.066)* 10Ω*m
【实验总结】
通过此次试验，我详细的了解了双臂电桥的工作原理。虽然试验是有现成的双臂电桥，但我还是通过对双臂电桥工作原理的了解自己组装了一台简易的双臂电桥，但由于自己组装的电桥中使用的电阻箱导线等的不理想，导致试验结果有较大误差。但通过自己的动手制作使自己更能了解仪器的工作原理。
【参考文献】
1. 王锁明 朱二旷《普通物理实验》电磁学部分.
2. 刘少杰. 《大学基础物理实验：电磁学分册（第2版）》. 3. 杨述武. 普通物理实验. 高等教育出版社. 4. 张洁天. 电磁学实验. 北京大学出版社.