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第27卷 第12期电 力 系 统 自 动 化V o l. 27 No. 12
2003年6月25日A uto matio n of Elect ric P ow er Sy stems June. 25, 2003
电压稳定和功角稳定关系的平衡点分析
吴 浩, 韩祯祥
(浙江大学电气工程学院, 浙江省杭州市310027)
摘要:分析了一个典型系统的平衡点与负荷功率、发电机功率的关系, 表明静态电压稳定和功角稳
定本质上都可视为一种不稳定平衡点的模式, 揭示了系统失稳模式随潮流改变而转变的现象, 还指出了P -V 曲线的下半分支和其他分支蕴含了丰富的系统分岔信息, 可从中了解系统不稳定平衡点的产生和消失情况。对不同负荷模型的分析结果则说明了不同负荷模型会导致不同的失稳模式。所得结论具有普遍性, 对深入研究复杂系统下电压稳定和功角稳定关系有一定的价值。关键词:电力系统稳定性; 电压稳定; 功角稳定; 电压崩溃中图分类号:T M712
0 引言
目前, 电压稳定和功角稳定关系的研究途径主要有2种。一种是奇异摄动法, 文献[1]利用奇异摄动理论将包含E q ′动态的功角稳定模型进行时间框架分解, 指出E q ′的动态是慢动态, 与电压稳定相联系, 而功角的动态相对较快, 与功角稳定相联系。另一种途径是小扰动分析法, 文献[2]将描述系统的微分代数方程线性化, 利用线性化矩阵的2种约化矩阵接近奇异的程度来表征系统倾向于功角失稳或电压失稳的程度。这2种途径的共同之处在于都认为可以使用描述系统功角稳定问题的模型来研究电压稳定问题。
能量函数法是电力系统稳定性研究的一般方法, 电力系统模型的各个平衡点在能量函数法中具有特殊的意义。根据能量函数法的经典理论, 稳定平衡点位于势能阱的最低点, 各相关不稳定平衡点在势能阱的阱壁上, 其中I 类不稳定平衡点(UEP ——unstable equilibrium po int ) 对应于阱壁上最小势能点, 临界稳定时, 系统将在I 类UEP 附近逸出势能阱。因此, 在把握了平衡点的类型和分布后, 就可以大致了解系统的可能失稳模式。文献[3, 4]提出电压稳定和功角稳定关系研究的统一能量函数框架, 在一个采用恒功率负荷模型下的2机3节点系统中, 发现I 类U EP 可能具有大功角、高电压的特点, 也可能具有小功角、低电压的特点, 并将这2种不同特点的I 类U EP 分别与功角稳定和电压稳定联系起来, 同时指出系统的暂态失稳随系统条件的不同, 可通过功角失稳或暂态电压失稳表现出来。
本文将详细考察负荷大小、发电机出力、负荷模
型等3种因素对系统平衡点的影响。通过这些分析,
表明电压稳定问题和功角稳定问题可统一于能量函数法的思想下, 揭示了系统失稳模式随系统潮流而转变的现象, 解释了电力系统P -V 曲线下半分支情况复杂的原因。
1 系统平衡点的分析
在文献[5]中, 针对功角稳定问题提出了不稳定模式的概念和计算方法。其原理是当系统状态越出稳定域后, 系统的状态变化将被主导UEP 的不稳定流形所捕获。对I 类U EP, 此不稳定流形是一条曲线。在U EP 处, 该曲线与正特征值对应的右特征向量相切, 失稳后系统将近似沿此曲线运动, 如图1所示。图中X s 为稳定平衡点, X u 为不稳定平衡点, W u (X ) 为不稳定平衡点的不稳定流形, A (X s ) 为稳定平衡点X s 的吸引域。对k 类U EP(k >1) , 此不稳定流形是一个k 维曲面, 失稳后系统的状态近似在此曲面内移动。
图1 I 类UEP 及其不稳定流形Fig . 1 Type -I UEP and its unst able manifold
显然可以将文献[5]和能量函数法的思想应用于文献[3, 4]的思路中, 为后者提供进一步的理论依
・学术研究・ 吴 浩等 电压稳定和功角稳定关系的平衡点分析
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沿负荷节点电压的变化方向, 当系统状态被此不稳定流形捕获后, 将导致电压的迅速下降, 而发电机的功角则相对保持不变, 从而该UEP 具有电压失稳模式, 本文称之为电压稳定模式的U EP 。同理, 高电压、大功角的UEP 的不稳定流形主要是沿发电机节点功角的变化方向, 当系统状态被此不稳定流形捕获后, 将导致功角迅速增大, 从而该UEP 具有功角失稳的模式, 本文称之为功角稳定模式的U EP 。
根据潮流多解的理论和研究结果, 系统的平衡点总数可达2n -1个(n 为系统节点数) , 故在实际系统中很难全面地研究各不稳定平衡点的模式特征。但潮流多解的研究结果指出, 系统平衡点数随负荷功率的增长会一对一对地减少, 最终由2对变为1对; 如果负荷进一步增长, 则最后一对平衡点也会融合消失, 这对应于临界静态电压稳定。显然, 复杂系统在静态失稳前总会经历2对平衡点的情况, 所以, 研究具有2对平衡点的2机3节点系统具有一定的代表性, 可以启示系统的模式变化特点, 有助于理解电压稳定和功角稳定的关系。
本文研究图2所示的2机3节点系统, 其中节点2是P -V 节点, 节点4是平衡节点, 节点3是负荷节点, 发电机暂态电抗后的电势E ′对应节点1。近似考虑发电机的励磁调节作用, 认为稳态时节点2的电压幅值为1. 0。忽略线路电阻, 线路电抗和发电机暂态电抗如图2
所示。
附近逸出势能阱, 从而导致电压失稳。此外, 该U EP 也是电压稳定的潮流多解法研究的对象。
表1 P m =3. 0, P L =2. 0下典型系统的4个平衡点Table 1 Four equilibriums under P m =3. 0and P L =2. 0
平衡点1234
E ′1. 051. 941. 361. 86
) 1/(°22. 8157. 434. 3149. 7
V 21. 01. 01. 01. 0
) 2/(°14. 6153. 028. 0145. 1
V 30. 950. 390. 100. 21
) 3/(°-1. 4-10. 9-51. 3-29. 1
图3 不同P m 下, 系统平衡点随P L 的变化Fig . 3 Equilibriums ' movement with P L ' s variance under diff erent P m
图2 某2机3节点系统
Fig . 2 The 2generator 3bus sample system
设负荷采用恒功率模型, 无功功率为有功功率的1/2, 考察发电机有功出力P m =3. 0(标幺值) 时, 不同负荷水平下系统各平衡点的分布情况。计算表明, 当负荷较小(P L =2. 0(标幺值) ) 时, 有4个平衡点, 如表1所示。其中:平衡点1对应于正常运行点; 平衡点2具有较大的发电机功角和较高的负荷节点电压, 为功角稳定模式的U EP ; 平衡点3具有较小的发电机功角和较低的负荷节点电压, 为电压稳定模式的U EP ; 平衡点4具有较大的发电机功角和较低的负荷节点电压, 是一个Ⅱ类UEP 。
如图3所示, 当负荷增加时, 平衡点2和平衡点4互相趋近, 最终通过鞍结分岔融合并消失, 这时该系统仅有一个功角较小、电压较低的不稳定平衡
[6, 7]
点
3。中长期电压稳定的能量函数分析方法认为, 图3(a) 是P m =3. 0时各平衡点随负荷增长的变化情况, 其横坐标取为节点3的电压幅值V 3, 纵坐标取为发电机内电势的相角 1, 负荷功率由0开始增加, 图中曲线由负荷有功功率P L 逐次步进0. 2的方式绘出, 圆圈表示负荷有功功率为2. 0, 4. 0等处平衡点位置。图3(b) 和图3(c) 为P L -V 3和P L - 1曲线图, 从图中可见, 在P L =2. 4稍大处, 平衡点2和平衡点4通过鞍结分岔融合并消失; 在P L 为8. 2～8. 4的某一负荷水平上, 系统正常运行点和平衡点3融合并消失, 这就是系统的最大传输功率。
为考察发电机功率P m 的影响, 绘制图3(d ) ～图3(i) , 它们分别对应P m =6. 0和P m =7. 0的情况。由图3(d) ～图3(f) 可见, 在较小负荷下, 系统仅有2个平衡点, 对应于正常运行点和功角稳定的U EP; 随负荷的增大, 系统在P L =3. 0左右分岔出一对UEP, 其中Ⅱ类UEP 很快地与功角稳定的U EP 融合, 而电压稳定的U EP 将在P L 为7. 6～7. 8时与正常运行点融合。图3(d ) ～图3(f ) 表明, 在
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题, 无电压稳定问题, 而大负荷时系统无功角稳定问题, 仅有电压稳定问题。
由图3(g) ～图3(i) 可见, P m 大到一定程度时, 系统不再分岔出平衡点, 而是随负荷的增加, 图3(h) 曲线在P L =4. 8处发生转折, 该点对应于图3(g ) 曲线的左侧顶点, 这就是功角稳定的UEP 向电压稳定的U EP 转化之处。图3(g ) ～图3(i ) 表明, 功角稳定问题随负荷的增加有可能向电压稳定问题转化。
显然, 当同时存在电压失稳模式和功角失稳模式的UEP 时, 系统在大扰动中将以什么方式失稳, 取决于故障中系统状态的变化情况:如果电压失稳模式的UEP 为主导UEP , 则系统的暂态失稳方式将是暂态电压失稳; 反之, 功角失稳模式的U EP 为主导UEP 时, 系统的暂态失稳方式将是功角失稳; 特别地, 如果主导U EP 同时具有低电压、大功角的特点时, 系统的暂态失稳过程将同时具有电压不稳定和功角不稳定的特点。
在图3中, 负荷由0开始增加, 最初的潮流方向对应于图4(a) , 从物理条件上来说, 这时系统主要面临功角稳定问题, 具有功角稳定模式的UEP; 随着负荷的逐渐加大, 最终在失稳前潮流方向都定性地变为对应于图4(b) , 系统将面临电压稳定问题, 应具有电压稳定模式的UEP 。这种物理解释对于理解上述计算结果有所帮助, 但却不能定量地解释系统为何、何时一对U EP 分岔产生和消失, 以及稳定模式的转变, 其原因是系统正常平衡点的状态信息不能确切地体现所有UEP
的状态信息。
径。显然, 实际系统的分岔情况非常复杂, 绘制不含正常运行点的其他P -V 曲线分支仍有一定困难, 使用通常的连续潮流法可能会出现跨分支等错误, 如何改进现有的连续潮流方法或者研究出新的数值方法, 仍有待于众多研究人员的努力。
3 负荷静特性对平衡点变化的影响
3. 1 恒电流负荷模型
网络参数同前, 负荷模型为P L =aV 3, Q L =bV 3, 无功功率保持为有功功率的1/2。分别绘制发电机出力为3. 0和6. 0时的系统平衡点随负荷功率增长的变化图, 如图5所示。图中横坐标为节点3的电压幅值V 3, 纵坐标为节点1的相角 1, 负荷功率由0开始增加, 图中曲线由a 逐次步进0. 5的方式绘出, 此时图中的点不再有准确的负荷功率含义。
图5 恒电流负荷模型的结果
Fig . 5 Result of constant current load model
图4 不同的潮流方向
Fig . 4 Diff erent direction of power f low
2 P -V 曲线的多样性
图3显示了不同条件下系统完整的P L -V 3曲线
和P L - 1曲线, 由此可见, P -V 曲线的上半分支是类似的, 除了给出最大功率的信息外, 没有多少其他信息, 但下半分支和其他分支却给出丰富的系统分岔信息, 可从中了解系统UEP 的产生和消失情况。显然, 大系统平衡点的分岔情况较图2所示系统的情形复杂得多, 其P -V 曲线的下半分支将非常复杂。
对于较大的系统来说, 难以计算系统的全部平
衡点, 但却有可能绘制出系统的完整P -V 曲线图,
图5表明, 系统在给定的P m 和P L 下始终只有2个平衡点。在P m 较小时, 这2个平衡点不会通过融合消失; 而在P m 较大时, 这2个平衡点随P L 的增大最终会通过鞍结分岔消失。由于采用了恒电流负荷模型, 系统的最大负荷功率不再等于鞍结分岔发生时的负荷功率, 而是在正常运行点分支上的某一点。从图5可见, 在不同的系统负载下, 惟一的U EP 相对于正常运行点电压都较低, 而功角较大, 从而系统同时具有电压稳定问题和功角稳定问题。3. 2 恒阻抗负荷模型
2
网络参数见图2, 负荷模型为P L =GV 3, Q L =2
B V 3, 无功功率保持为有功功率的1/2。图6(a) 和6(b) 分别为P m =3. 0和6. 0下系统平衡点随负荷功率增长的变化图, 坐标说明同前, 图中曲线由G 逐次步进3. 0的方式绘出, 此时图中的点可解释为负荷的电导大小。
图6表明, 系统在给定的P m 和P L 下始终只有2个平衡点。在P m 较小时, 这2个平衡点不会通过鞍结分岔融合消失; 而在P m 较大时, 这2个平衡点随P L 的增大最终会通过鞍结分岔消失。显然, 由于
・学术研究・ 吴 浩等 电压稳定和功角稳定关系的平衡点分析
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含有UEP 随功率P 变化的丰富的信息。
d . 同一系统在相同功率分布下, 不同的负荷模型具有不同的U EP 数目和分布。如果遵循经典的能量函数法基本理论, 认为系统失稳临界点在主导U EP 附近, 则不同的负荷模型会导致不同的系统暂态失稳方式, 从而, 在某种负荷模型(如恒阻抗负荷模型) 下会突出功角稳定问题, 而在另一种负荷模型(如恒功率负荷模型) 下会突出电压稳定问题。
图6 恒阻抗负荷模型的结果
Fig . 6 Result of constant impedance load model
参考文献
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IEE E T rans on
在正常运行点分支的某一点上取得。与恒功率、恒电流负荷模型下的结果相比, 系统在相同发电机出力条件下对应的最大负荷功率是一致的(这里采用离散点的计算方法, 实际结果存在不到2%的误差) 。从图6还可看出, 负荷功率小于最大负荷功率时, 系统正常运行点的U EP 相对于正常运行点的功角较大、电压稍低, 故系统一直由功角稳定问题所主导。
4 结论
本文考察了负荷模型、负荷大小、发电机出力对典型系统平衡点的影响, 得到以下结论:
a . 在能量函数法的思想下, 功角稳定问题和电压稳定问题本质上都可视为一种UEP 的模式, 由
在不同的功率分布UEP 模式的不同而区分出两者。
和功率变化方式下, 两者可能同时出现, 可能单独出现, 也可能相互转化。
b . 从平衡点分布变化的角度来分析电力系统稳定性, 不仅能表明系统静态失稳的方式, 也为定性评估系统暂态稳定情况提供了一个基础。即通过系统正常运行点参与的分岔, 可了解系统的静态失稳方式; 而在非临界点处, 通过U EP 的数目、类型和分布, 可了解系统可能具有的暂态失稳方式, 失稳时系统变量变化的特点等。
c . P -V 曲线的上半分支形式较单一, 主要体现了系统的最大负荷功率, 但其下半分支却较复杂, 包
吴 浩(1973-) , 男, 博士研究生, 主要从事电力系统电压稳定性的研究工作。E-mail:v uhao@cee. zju. edu. cn
韩祯祥(1930-) , 男, 教授, 博士生导师, 中国科学院院士, 主要研究领域为电力系统电压稳定、人工智能在电力系统中的应用、电力市场等。
ANALYSIS OF THE RELATIONSHIP BETWEEN VOLTAGE
STABILITY AND ANGLE STABILITY THROUGH EQUILIBRIUMS
W u H ao , H an Zhenx iang (Z hejiang U niver sity , Hangzhou 310027, China)
Abstract :T hro ugh investigating equilibr ium po ints of a typical po wer system, t his paper show s t hat vo lta ge stability and angle stabilit y can be linked by the unstable equilibrium po ints (U EPs ) o f the sy st em. T he unstable mo de chang es with the pow er flo w mode o f the sy st em. T he low er part and the o ther br anch of the P V curv e contain abundant info rm atio n about system bifurcating , fro m w hich t he situation o f t he U EPs ca n be learned. T he ana ly zed r esults indica te t hat differ ent load model can lead to different system unstable mo de . T he conclusio ns ar e gener al , and pro vide deeper understa nding o f the relationship betw een vo lt age stabilit y and a ng le stability in co mplex po wer systems . Key ;