14一元一次方程及其解法
1.(2015年广州中考) 已知2是关于x 的方程x -2mx +3m =0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为( ) A.10 B.14 C.10或14 D.8或10
【考查内容】一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质. 【答案】B
2
【解析】将x =2代入方程x -2mx +3m =0中可得m =4，方程化简后为
2
x 2-8x +12=0，解得x 1=2, x 2=6. 因此等腰三角形的三边长分别为2，2，6(舍去) 或者
2，6，6. 因此计算可得周长为14，故选B. 2.(2015年广州中考) 解方程：5x =3(x -4). 【考查内容】解一元一次方程.
【解】原方程解得5x =3(x -4)，5x =3x -12，12=3x -5x ， 12=-2x ，x =-6. 3. (2015年广东深圳中考) 某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为( ) 元.
A. 140 B. 120 C. 160 D. 100 【考查内容】一元一次方程的应用． 【答案】B
【解析】设商品的进价为每件x 元，售价为每件0.8×200元，由题意，得 0.8×200-x =40，解得：x =120．故选B.
/m3).
(1)(2)在(1)的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？ 【考查内容】一元一次方程的应用．
【解】(1)由题意可得：10a =23，解得：a =2.3， 答：a 的值为2.3；
(2)设用户用水量为x 立方米，∵用水22立方米时，水费为：22×2.3=50.6＜71，∴x ＞22，∴22×2.3+(x -22)×(2.3+1.1)=71，解得：x =28. 答：该用户用水28立方米．
5.(2015年泰州中考) 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件， 并以每件120元的价格销售了400件. 商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售. 请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ 【考查内容】一元一次方程的应用.
【解】设降价x 元，则 400⨯120+100(120-x )=500⨯80⨯(1+45％) ，解得x =20. 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.
6.(2015年无锡中考) 方程2x －1＝3x ＋2的解为 ( )
A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝3 D ．x ＝－3 【考查内容】解一元一次方程. 【答案】D
【解析】方程2x －1=3x +2，移项得：2x －3x =2+1，合并得：-x =3,解得：x =－3，故选D. 7.(2015年大连中考) 方程3x +2(1-x ) =4的解是( ) A. x =
25
B. x = C. x =2 D. x =1 56
【考查内容】解一元一次方程. 【答案】C
【解析】3x +2(1-x ) =4，去括号得：3x +2-2x =4，移项合并得：x =2. 故选C. 8.(2015年大连中考) 甲乙两人制作某种机械零件. 已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？ 【考查内容】一元一次方程应用.
【解】设乙每小时做x 个零件, 则甲每小时做(x +3)个零件，经检验x =21是方程的解，x +3=24.
答：甲乙两人每小时各做24个和21个零件. 9.(2015年山东济南) 若代数式4x -5与A.1 B.
9684
=，解得x =21,x +3x
2x -1
的值相等，则x 的值是( ) 2
32
C. D.2 23 3
2
2x -13
8x -10=2x -1，6x =9，x =
2. 2，
【考查内容】解一元一次方程. 【答案】x =
【解析】4x -5=
10.(2015年嘉兴中考) 公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，
加上它的七分之一，其和等于19.”此问题中“它”的值为________. 【考查内容】一元一次方程的应用．
【答案】
133
8
1133133x =19，解得：x =，则“它”的值为，故答788
【解析】设“它”为x ，根据题意得：x +案为：
133
． 8
11. (2015年宁波中考) 宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A 、B
两种花木共6600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵. (1)A 、B 两种花木的数量分别是多少棵？
(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？ 【考查内容】一元一次方程和分式方程的应用.
【解】(1)设B 种花木的数量是x 棵，则A 种花木的数量是(2x -600)棵. 根据题意，可得
=x +(2x -600)=6600，解得x =2400, 2x -600
42 0. 0
答： A 种花木的数量是4200棵，B 种花木的数量是2400棵.
(2)设安排y 人种植A 种花木，则安排(26-y )人种植B 种花木. 根据题意，得
42002400
，解得y =14. 经检验，y =14是原方程的根，且符合题=
60y 4026-y 意. 26-y =12.
答：安排14人种植A 种花木，安排12人种植B 种花木，才能确保同时完成各自的任务.
12.(2015年绍兴中考) 实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高) ，底
面半径之比为1:2:1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通(即管子底端离容器底5cm) ，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升量后，甲与乙的水位高度之差是
0.5cm.
5
cm ，则开始注入分钟的水6
第12
【考查内容】一元一次方程的应用． 【答案】
333171，， 52040
510
cm ，∴注水1分钟，丙的水位上升cm ，设开始注入t 分钟的水量后，63
【解析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高) ，底面半径之比为1:2:1，∵注水1分钟，乙的水位上升
甲与乙的水位高度之差是0.5cm ，甲与乙的水位高度之差是0.5cm 有三种情况：
53t =0.5，解得：t =； 65
59
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，∵t －1=0.5，解得：t =，
56
1091035353∵=6＞5，∴此时丙容器已向甲容器溢水，∵=，⨯=，即经过分钟35326242
①当乙的水位低于甲的水位时，有1－丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升
53355⎛15⎫
cm ，∴+2⨯ t -⎪=0.5，解得：t =； 42046⎝4⎭
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，∵乙的水位到达+ 5-综上所述开始注入14上海松江月考
13. 如果关于x 的方程ax -3x =4有实数根，则a 的取值范围是____________. 【考查内容】一元一次方程的根. 【答案】a ≠3
【解析】原方程可化为(a -3)x =4，移项得x =
3⎛
2⎝10151715⎫515
t =，∴5－1－2×(t －)=0.5，解得：. ÷÷2=⎪34404⎭64
333171
，，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm ． 52040
4
，a -3有意义即为所求，即a ≠3. a -3
14上海杨浦测验
14. 下列关于x 的方程一定是一元一次方程的是( ) A.
1
－x =1 x
2
B. a +1x =b
()
C. ax =b
=3
【考查内容】一元一次方程的定义. 【答案】B
2
【解析】－x =1不是一元一次方程，故A 选项错误；a +1x =b 是一元一次方程，故B
1x
()
本选项正确；当a =0时，不是一元一次方程，故C
=3不是一元一次方程，故D 选项错误；故选B. 14浙江温州1
15. 某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润．若该商品标价为28元，则商品的进价为( )
A.21元 B.19.8元 C.22.4元 D.25.2元 【答案】A
【解析】设商品的进价为x 元，则有28⨯90%=x ⋅(1+20%)，解得x =21，故答案为A . 16. 希望学校把捐赠的一批课外书分给某班同学，若每人3本，那么还剩75本，若每人5本，那么最后一位同学分到课外书但不足4本，则这批课外书共有 本 . 【答案】192
【解析】设某班有x 名同学，则3x +75=5x -4，解得x =
79
；3x +75=5x -3，解得2
x =39；3x +75=5x -2，解得x =
77
；因为x 取正整数，所以解得x =39，则这批课2
外书共有3⨯39+75=192(本).
17. 某轮船顺流航行的时速为30千米/时，逆流航行的时速为20千米/时，则水流的速度 为 千米/时. 【答案】5
【解析】设水流速度为x 千米/时，则有30-x =20+x ，解得x =5. 14浙江温州2
18. 写出一个解为x =2的一元一次方程： 【答案】x -2=0(答案不唯一)
【解析】答案不唯一，例如x -2=0. 14浙江温州5
19. 已知方程3x -3=2x 的解为a +2，则关于x 的方程3x -2(x -a ) =3a 的解为( )
A.1 【答案】A
【解析】由方程3x -3=2x 的解为a +2, 解得a =1, 代入3x -2(x -a ) =3a , 解得x =1故选A.
20. 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元. 该店在“6⋅1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元. 若设铅笔卖出x 支，则依题意可列得的一元一次方程为( ) A. 1.2×0.8x +2×0.9(60+x )=87 B. C. 2×0.9x +1.2×0.8(60+x )=87 D. 【答案】B
【解析】若设铅笔卖出x 支，由题意可得1.2⨯0.8x +2⨯0.9(60-x )=87. 故选B. 14浙江温州5
21. 情景：试根据图中信息，解答下列问题：
1.2×0.8x +2×0.9(60-x )=87 2×0.9x +1.2×0.8(60-x )=87
B.
-1 C. －5 D.5
第24题图
(1)购买6根跳绳需12根跳绳需.
(2)小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由. 6=150(元) ，25×12×0.8=300×0.8=240(元). 【解】(1)25×
答：购买6根跳绳需150元，购买12根跳绳需240元.
(2)有这种可能. 设小红购买跳绳x 根，则25×0.8x =25(x -2)-5，解得x =11.故小红购买跳绳11根.
22. 已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x . (1)数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为8？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；
(2)若点A 、点B 分别以3个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P 以5个单位长度/分的速度从O 点向左运动. 当遇到A 时，点P 立即以同样的速度向右运动，当遇到B 时，点P
立即以同样的速度向左运动，并不停地往返于点A 与点B 之间，求当点A 与点B 重合时，点P 所经过的总路程是多少？
第25题图
【解】(1)当点P 在B 的右边时得 x -(-1)+x -3=8 , 解得：x =5 . 当点P 在A 的左边时得
-1-x +3-x =8,解得：x =-3. ∴x =-3或x =5 .
(2)解：设经过y 分钟点A 与点B 重合, 根据题意得： 3y =4+y 解得：y =2 ，∴5y =10. 答：点P 所经过的总路程是10个单位长度. 15安徽省宿州萧城联考
23．已知x =-3是关于x 的方程2x -a =1的解，则a 的值是( ) A. -5 B. 5 C. -7 D. 2 【考查内容】一元一次方程式的求解 【答案】C
【解析】把x =-3代入方程式2x -a =1中可得a =-7，故选C. 15安徽芜湖模拟
24. 随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器
的销量也大增，商社电器从厂家购进了A ，B 两种型号的空气净化器，已知一台A 型空气净化器的进价比一台B 型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A 型空气净化器和用6000元购进B 型空气净化器的台数相同.
(1)求一台A 型空气净化器和一台B 型空气净化器的进价各为多少元？
(2)在销售过程中，A 型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎。为了增大B 型空气净化器的销量，商社电器决定对B 型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B 型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出l 台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B 型空气净化器的售价定为多少元? 【考查内容】应用题的解法.
【解】(1)设B 型空气净化器的进价为x 元，则A 型空气净化器进价为(x +300) 元，
75006000
=， 解得：x =1200. 则B 型空气净化器进价为1200元. ∴A 型空气
x +300x
净化器进价为x +300=1500(元).
由题意
答： A 型空气净化器进价为1500元，B 型空气净化器的进价为1200元. （2）设B 型空气净化器的售价在1800元的基础上降低50a 元. 由题意：
（1800-50a -1200)(4+a ) =3200，解得a 1=a 2=4，∴B 型空气净化器的售价为
1800-50a =1600元.
答：B 型空气净化器的售价为1600元. 15广东预测(2)
25. 已知关于x 的方程2x +4=m -x 的解为负数，则m 的取值范围是( ) A. m
44
B. m > C. m 4 33
【考查内容】解一元一次方程
【答案】C
【解析】解方程可知x =15广东中考预测(三)
26. 方程2x -1=3的解是【考查内容】求解方程 【答案】x =2
【解析】原方程可化为2x =4，所以x =2.
15江苏南京建邺二模
27. 端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子花费300元，乙种粽子花费400元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是
m -4m -4
33
多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？ 【考查内容】一元一次方程及其解法
【解】设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为(1+20%)x 元，由题意得，
300400
解得：x =2.5，经检验：x =2.5是原分式方程的解. (1+20%)x =3，+=260，
(1+20%)x x
则买甲粽子为：
400300
=160个. =100个，乙粽子为：x (1+20%)x
答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个.
15江苏南京玄武区二模 28．小明与家人和同学一起到游泳池游泳，买了2张成人票与3张学生票，共付了155元．已知成人票的单价比学生票的单价贵15元，设学生票的单价为x 元，可得方程 ． 【考查内容】一元一次方程解应用题
(x +15)=155 【答案】3x +2
【解析】由题意知，分别计算出学生票和成人票的金额分别为3x ，2(x +15) ，然后两者相
(x +15)=155． 加得到总金额155，所以方程为3x +2
15济南槐荫二模
29．已知关于x 的方程2x ＋a －9=0的解是x =2，则a 的值为( )
A. －7 B.7 C. －5 D.5 【考查内容】解方程. 【答案】D
【解析】把x =2代入方程得2⨯2+a -9=0，解得a =5，故选D.