氢原子光谱实验求里德伯常量的数据处理方法

第28卷 第5期

2008年5月

物 理 实 验

PHYSICSEXPERIMENTATION

Vol.28 No.5 May,2008

氢原子光谱实验求里德伯常量的数据处理方法

岳峻峰1,2,常 缨1,朱鹤年1

(1.清华大学物理系,北京100084;2.北华大学公共基础部,吉林吉林132013)

摘 要:分析了氢原子光谱实验中求里德伯常量的多种数据处理方法,得出了以波长为因变量的过原点直线拟合的方法和用各波长求RH后加权平均的方法较为合理的结论.

关键词:里德伯常量;数据处理;直线拟合;加权平均

中图分类号:O562.1 文献标识码:A 文章编号:1005-4642(2008)05-0031-03

1 引 言

氢原子光谱的研究在物理学的发展史上有着相当重要的地位.氢光谱实验是目前多数高校首选的近代物理实验题目之一,实验方法主要有摄谱法、光谱直读比较法等.直读比较法通常用H光谱与已知波长光谱相比较,得出巴耳末线系各波长,再算出真空波长,进而求出里德伯常量.数据处理依据巴耳末线系公式:-i=H R=Ri2i

,i=3,4,5,,,

(1)

是由各波长求RH后再加权平均的方法[1]和以波长为因变量的过原点直线拟合的方法[2],还有一些欠妥的模型方程或算法.

选择合理模型及数据处理方法是教学的重要环节,它直接关系到实验结果与客观实际的符合程度,也关系到结果不确定度的大小.因此有必要对氢光谱实验中求里德伯常量的方法进行讨论.目前教材多以波数为因变量,以

-2或4ii

为自变量作不过原点或过原点的直线拟合.

为了简化本文中取i=3~6,讨论只测4个可见光波长的情形.早期教材曾经建议用作图法,该法较直观,隐含了直线到各实验点的距离绝对值之

和约为最小的判据.计算技术发展以来,多种不同模型方程、不同算法被广泛采用,其中较合理的

2 不同的数据处理方法

不同的里德伯常量的数据处理算法,测量结果和标准差如表1所示.下面对不同的算法进行详细说明.

表1 不同算法的sRH期望值、P=95%的上下限值及分布特征

算法12345678

RHi=KKi=R

-1

H-1i

模型-4i0.25-2

i-24i

-1

方法加权平均一般平均

b0=0,等权b0X0,等权b0=0,加权b0=0,等权等权,RH=b0/4等权,RH=b1

3-1

自由度sRH/(10m)

P=95%

下限2.5%1.620.460.441.40.440.440.511.9

上限97.5%

1.63

3.12.91633.16.323

sRH分布特征近似D函数

VM=

3

比较结论或适用性最佳工科简化尚可错误尚可工科简化常见但错常见但错

33323322

1.631.61.571.61.62.810

-1

-1Ki=RH

VM

=2

近似VM

=3近似VM

=3与VM分布=2有些类似

-1

Ki=

RHRH

-2=4i

b0+b1i-2

收稿日期:2007-10-17

作者简介:岳峻峰(1954-),男,黑龙江伊春人,北华大学公共基础部副教授,清华大学访问学者,从事基础物理教学研究. 通迅联系人:朱鹤年(1946-),男,江苏金坛人,清华大学物理系教授,硕士,从事物理实验教学与计量学、光电子学研

究.Email:[email protected]

32

物 理 实 验

准差分布属于自由度为3的V分布.

如果对方程Ki=b-2

4i

-1

第28卷

2.1 波数为因变量的一般直线拟合

波数为因变量的一般直线拟合方法见表1中算法6~8.这类算法均以波数Ri=1/Ki为因变量,并采用因变量等精密度的假定.具体有:算HH-1法7或8以i=-的为自变量,由直线K4ii截距或斜率求出RH;算法6以4-为自变

i量,由直线Ri=

=RHi

-2的斜率求RH.4i

拟合时错用了

不过原点的直线拟合程序或算式(算法4),斜率标准差分布属于自由度为2的V分布,结果RH=b-1的标准差的期望值及散布性都很大(表1中算法4),结果显然错误.2.3 加权平均法求RH

加权平均法求RH如表1中算法1所示,由测得的各个波长Ki可以分别求出RHi=K

-1i

它们均以波数为因变量作最小二乘拟合,因K

变量的标准差sRi=.对于常用的光栅光谱仪器

i或装置,可见光波段的线色散率近似不变,因而教学中将sK近似看作为常量是教学中可以采用的合理假设.Ki等精密度时因变量Ri明显不等精密度,一般最小二乘直线拟合的前提不满足.至于HH-1

i方程K=4-,则是人为地拆分成两项,截

i距b0与斜率b1成比例,分别计算还会得出有些互相矛盾的结果.当i=3,4,5,6时,分别由4倍截距4b0与斜率b1算得的RH的标准差之比为b1

=

4sb1

44

[2]

33

-12i

-1-4

-24i

-1

.在Ki等精密度,即波长标准差sK

K

,取非归一化权近似为常量时,可得sRH=RH因子wi=RH=

isK

2

,可得加权平均值

Hi

ER

i

=wi

ER

Hi

2Ki

2=iK

10967.7@103m-1,

也可得加权平均值的标准差sH=

(3)

E

i

RHsK-1

U1.6@103m-1.

(4)

ExEi

=U3.664.

(2)

如果只是简单地作一般的等权平均,也是一种工科可用的简化算法(表1中算法2).

2.4 波数为因变量的过原点直线的加权拟合

上文已经说明了以波数为因变量的等精密度直线拟合式Ri=

HH

-2欠当,并指出因变量Ri4i

以波数为因变量的等精密度直线拟合算法原则上是不宜采用的.在设波长的总体标准差sK=0.15nm的情况下,以波数为因变量的几种拟合

结果的标准差见表1,不确定度的概率密度分布曲线见图1.对于以波数为因变量不过原点直线拟合,表1中算法7与8的标准差的期望值及散布范围都很大,表明该方法是错误的.按如下讨论的一些方法处理数据较为合理.

2.2 波长为因变量的直线拟合

波长为因变量的直线拟合如表1中算法3所示,取Ki为因变量,自变量xi=

-4i

-1

-1

不等精密度,因此需对过原点直线模型Ki=Ri=

-4i作加权直线拟合(表1中算法5).因变量的标准差sRi=sK/K,加权拟合的具体算法可RH

参阅文献[2]的第5章.

2.5 几种方法的标准差和不确定度的比较

模型和算法不同,测量结果的标准差(或不确定度)也不同.表1中列出了8种算法的标准差sRH的主要分布特征.其中算法3或4的标准差sRH服从自由度为3或2的V分布.其余6种算法的结果均用蒙特卡罗法算得,计算时采用了25000组、波长个数为4、各波长总体标准差均为0.15nm的正态分布随机变数.

对6种直线拟合算法,图1画出了RH的不URH,3和5的曲线

,i=

i

3,4,5,6.根据巴耳末线系的规律,拟合直线K=bxi=b-2

4i

-1

,在Ki等权的假定下,得到斜

率b及其标准偏差sb,进而可得RH=b-1,其标准

偏差为sRH=RH

b

,根据数理统计理论,斜率标

第5期 岳峻峰,等:氢原子光谱实验求里德伯常量的数据处理方法33

几乎完全重合,曲线下面积均为1.部分曲线不平滑是由于模拟计算时样本数不够大所致.这里URH=tvsRH,表示置信水平约95%的不确定度

.

不确定度;

3)加权平均的概念方法理科教学中应当引入且不难实现;

4)算法1的结果分散性最小,在8种算法中与测量过程的实际情况最为接近.

算法选择首要考虑测量操作过程所反映的物理规律与事实本身,而不是看标准差或不确定度是否最小.算法1中式(4)的结果是组内符合的标准差,过程有一定简化,更严密的计算要用伯奇比等概念,这对理科教学可能是偏高的要求

2

[2]

.

本文多次用到了V分布的导出结果,陈希孺在5拟合优度检验6一书的序中说:/K.Pearson在

图1 6种直线拟合算法的不确定度的概率密度曲线

1900年发表的关于拟合优度V2检验的论文,常被学者们认为是近代数理统计学的发端.0

本文参考了北京大学师生在内部通讯中的对表1中算法7和8的合理批评意见,并受到他们研究工作的启发,在此谨致谢意.

算法1的加权平均法,标准差sRH几乎不变;2,3,5和6四种算法的自由度均为3,sRH的期望值及置信水平P=0.95的区间都差不多.4,7和8三种错误算法的自由度均为2,sRH的期望值及置信水平P=0.95的区间都很大.我们认为工科教学从简化考虑可采用算法2或6,理科教学可用算法3或5,但最好采用算法1.理由是:1)标准差sK能综合反映波长测量的合成不确定度;

2)其他拟合方法一般只能计算结果的A类

参考文献:

[1] 贾玉润,王公治,凌佩玲.大学物理实验[M].上

海:复旦大学出版社,1987:346-347.

[2] 朱鹤年.基础物理实验教程#物理测量的数据处理

与实验设计[M].北京:高等教育出版社,2004:77-83.

DataprocessingmethodfordeterminingRydbergconstantin

hydrogenatomspectroscopyexperiment

YUEJun-feng1,2,CHANGYing1,ZHUHe-nian1

(1.DepartmentofPhysics,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China;2.DepartmentofBasicScience,BeihuaUniversity,Jilin132013,China)

Abstract:SeveraldataprocessingmethodsfordeterminingRydbergconstantinthehydrogenat-omspectroscopyexperimentareanalyzed.TheresultshowsthatthemethodoflinearfittingthroughzeropointwhichtakeswavelengthasvariableandthemethodofcalculatingtheweightedaverageofRydbergconstantsdeterminedatallwavelengthsaremorereasonable.

Keywords:Rydbergconstant;dataprocessing;linearfitting;weightedaverage

[责任编辑:郭 伟]


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