球与多面体

《球与多面体的接、切专题讲座》

一、基本知识点：

1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都是半径。球内接多面体也叫做多面体外接球

球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半径。球外切多面体也叫做多面体内切球

2、球与多面体的接、切问题主要指球与正方体、正三棱锥、正四面体的接、切问题；球与其它多面体的接切问题高中不研究

2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：

（1）球心与多面体中心的位置关系

（2）球的半径与多面体的棱长的关系

（3）球自身的对称性与多面体的对称性

（4）能否做出轴截面

3、球与多面体的接、切中有关量的分析：

（1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r，正方体的棱长为a，则：

① 球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处

② 正方体的四个顶点都在球面上

③ 轴截面就是正方体的对角面

④ 在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造一个直角三角形

a 2

（2）球内接正三棱锥：球是中心、轴对称图形，而正三棱锥不具有对称性，设球的半径为r，球心为O，正三棱锥PABC的底面边长为Pa，侧棱长为b，则：

① 球心O到正三棱锥三个顶点A、B、C距离相

等，则球心O在面ABC上的射影为三角形ABC的中

心M处，M是三角形外接圆的圆心，而P在面ABCO

上的射影也是三角形ABC的中心，则球心O在PM上 C ② AM延长与BC交于BC的中点，则⑤ 球半径和正方体棱长的关系：r

332AMa，RtPAM中，PMba，33

则OMPMr 2AMBD

③ RtOAM中，OA2OM2AM2a, b,r的等量关系

④ 设BC中点为D，则PAD所在的面为轴截面

⑤ 球心到各顶点距离相等，但球心到各面距离不相等，原因是底面为正三角形，而侧面是等腰三角形，即正三棱锥外接球的球心和内切球的球心不重合

（3）球内接正四面体：正四面体实际上是正三棱锥的一种特殊情况（各面都是正三角形，各棱都相等），设球的半径为r，球心为O，正四面体的棱长为a，则：

① 球心到各顶点和各面的距离都相等，则正四面体外接球的球心和内切球的球心重合

6a，将球心和各顶点相连，则构造四个体积相等的三棱3

锥，则利用四个三棱锥体积和等于正四面体的体积可得：

664VOABCVpABC4OMPMOMa，在RtOAM中，OAra 124

（4）球外切正方体：设球的半径为PABC，正方体的棱长为a，则：

① 球面和正方体的各面相切，和棱相离

② 球心为正方体的中心

1③ 球的直径是正方体对面中心的连线，则ra 2

（5）球外切三棱锥：设球的半径为r，球心为O，正三棱锥PABC的底面边长为a，侧棱长为b，则： P

① 球面和正三棱锥的底面、三个侧面都相切，和棱相

离

② 由对称性，球心在高PM上，球心到各面距离相等

为r

③ 求球的半径可利用体积

法:3VOPBCVOABCVPABC A

④ 球O和侧面的切点在斜高上，设BC中点为E，过

O向PE做垂线，则垂足N为球面和侧面PBC的切点，

则三角形PAE为轴截面，在PAE中，大圆和AE、PE相切，与PA相离

⑤ 在轴截面内的计算可以利用三角形相似（PON∽PME）或解直角三角形

（6）球外切正三棱锥：就是球外切三棱锥的一种特殊情况，不再重复

二、例题讲解：

例1.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内由一个球与四个面都相切.（1）求棱锥的全面积；（2）求球的面积；（3）求球的体积 解析：球的半径经过计算可得：r2，则 ② 正四面体的高PM

（1）棱锥全面积为：9263

（2）球的面积为：4(62)2 C

4 （3）球的体积为：(62)3 3

例2.一个四面体的所有棱都是2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A 3 B 4 C 33 D 6

答案：A

例3.将半径为R的四个球，两两相切地放在桌面上，求上面一个球的球心到桌面的距离 解析：四个球的球心两两相连恰好组成一个正三棱锥，且各棱长都是2R，所球问题就是正三棱锥顶点到底面的距离（高）. 答案：(21)R 3