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假设检验中两类错误的成因 发生概率及其相关问题
以单个总体均值检验为例
李文华， 雷金星
（ 广西师范大学 政管学院，广西 桂林 ５ １０ ） ４０ １
摘
要： 本文以单个均值检验为例， 首先分析了统计检验 中两类理论错误发生的原因： 错误由 Ｏ ｔ
实际推断原理引起； 错误 由逻辑谬误引起； ｐ 之后， 分别计算了它们发生的概率大小并与之相关的问
题做 出了解释 ； 此基础上 ， 在 笔者简要说 明了“ 否证” 思想在 实证研 究 中的合理性。 关键词 ： 两类错误 ； 因； 原 概率 ；否证 ” “
中图分类号：２ ０ １
文献标识码： Ａ
文章编号：０２ ６８（ ０）２０ — ３ １０ —４７ ０５ － １７ ０ ２ ０ １
解释 ， 这种解释是 相关解释 而不 是因果解 释。这 种思想认为
１ 问 题 的 缘 起 如果运用定量的方法来研究社会现象之间是否存在差 异， 需要借助统计学中假设检验这个手段。统计检验的假设 形式为：
科学研究 的 目的不是实证 一个理论 ， 而是竭力去 否证 ～种猜 想。
“ 在统计检验中， 会犯无法避免的错误”这是事实。 ， 但它 不是我们视而不见的理 ， 而是学术懒惰的借 口。本文的宗 旨就是以单个总体均值的检验为例 ， 针对如下几个问题试图 作出回答： １ 、在统计检验中， 为什么会出现错误 Ｏ与 Ｂ ｔ 错误？ ２ 、分别怎样计算出现这两种错误出现的概率？ ３ 、如何理解 Ｏ错误和 Ｂ错误之间关系的一些命题？ ｔ ４ 、统计检验为什么首先关注的是虚无假设， 而不是研
究假设 ？
虚无假设（ 原假设）ｉ 事物之问不存在差异； ｒ： ｏ
研究假设（ 备择假设） ． Ｈ： 事物之间存在差异。 在给定的显著性水平下， 当反映事物的数据之间不存在
显著性差异时， 接受” 则“ 虚无假设，拒绝” “ 研究假设 ， 即认为
现象之间的差异是不存在的； 当数据之间存在差异时， 不 则“ 拒绝” 研究假设 ，拒绝” “ 虚无假设 ， 即认为现象之间的差异是 存在的。 细心的读者也许察觉到了上面这段话语中用词的微 妙： 在数据没有显著性差异的时候 ， 研究者可以果断地“ 拒
统计检验为科学研究特别是实证研究所提供的不仅仅
是数据处理的手段本身 ， 更为重要的是 ， 它可以为研究者和
绝” 研究假设而“ 接受” 原假设； ， 但是 在数据存在显著性差异
的时候， 研究者却谨慎地“ 不拒绝” 研究假设。在后面这种情 况下， 为什么不干脆“ 接受” 研究假设呢？ 还有
一个问题 ， 研究
者的 目的是探寻事 物之间的差异 ， 么把研究假设放 在原 为什
读者树立科学的观念、 端正科学的态度 、 审视研究的结果尽
到一份责任。这正是本篇论文的意义所在。
２ ａ 错 误 和 １ 错 误 产 生 的原 因 ３
Ｏ错误和 Ｂ ｔ 错误都是相对于虚无假设而言的。 ｔ Ｏ错误又 叫弃真的错误 ， 弃真就是否定了研究总体的未知均值的真实 状态。 把实际上为真的虚无假设拒绝了。ｐ错误又叫纳伪错 误， 纳伪就是接受 了未知的不真实状态， 把错误的虚无假设 当成了真。抽象的定义可以通过如下统计检验实例来具体
化。Ｉ ｌ ｌ
假设之后呢？ 或者， 研究者为什么首先关心的是虚无假设呢？ 也许 ， 在一些研究者看来 ， 以上问题似乎显得多余， 甚至有人
认 为这是统计检验 中心照不宣 的约定和共识 。然而 ， 在笔者
看来 ， 这些问题并非空穴来风。第一个问题与统计检验中可
能会犯两种类型的错误有关。在统计检验中， 不管研究的过 程多么完美 ， 都不可避免的会犯 Ｏ错误或者 Ｂ ｔ 错误， 当然对
一
个具体的研究而言， 只可能犯其中之一。这是我们为什么
谨慎的用“ 不拒绝” 而不是“ 接受” 的直接原因。 至于第二个问
题， 则可以用当代著名的科学哲学波普尔的“ 否证” 思想作出
基金项 目： 中国（ 广西） 东盟研 究（４ Ｋ Ｄ ９ 与 ０Ｓ Ｚ ０ ）
例子： 一个公 司有员工 ３０ 人（ ００ 研究的总体）为了检验 ，
公司员工工资统计报表的真实性 ，研究者作了 ５ 人的大样 ０
统计与决策 ２０ ２ 下） ０５年 月（
１７ １
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本随机抽样调查 ， 收入的调查结果是 ： 人均
能是真实的。 相反， 如果结果 Ｂ 是真实的， 那么能否就此得出
Ａ必定是真 实的结论呢？我们 的回答是不能 。如果我们这么 做 ，就会犯逻 辑学家称 之为 以推论结 果来证实 前提 的谬误 。 如果 Ｂ 是真实 的 ， 我们可 以说 Ａ也许 是真的。因为可以有许
ｘ 样本均值）８ １ ｓ标准差 ）２ 元 （ ＝７ 元；（ ＝１
问能否认 为统计报表 中人均 收入 Ｉ＝８ ｘ ８０元的数据是 真 ｏ 实的？（ 显著性 水平 ５ ０ ５ 。 ＝． ） ０ 研究假设 ： 虚无假设 Ｈ ： 。调查数 据 ８ １ ７ 元与报表数据 ８０元之间没 ８
多其它的前提 ， 也都能推出 Ｂ之正确来。我们不能肯定 Ａ必 定是真的， 除非我们同时还能证明不存在其他有效的备择理
论 Ｄ 使 Ｄ ＋。 ， ＩＢ 遗憾 的是这几乎不 可能做 到。如果 Ｂ是真实 的 ，
我们 又没有 否定 Ａ 我 们就 会 冒犯“ 而 ， 纳伪 ” 的错误 的风
有显著性差异， 公司员工工资均值的真实情况为 ８０ ８ 元；
研究 假设 Ｈ ：调 查数据 和报 表数 据之间有 显著性 的差 。
异， 公司员工工资均值的真实情况不是 ８０ ８ 元。
完成 以上统计检验遵循这样 的法则 ：
险， 因为 Ａ实际也许是错的。这就是 Ｂ错误出现的原因。田
对 以上两 种错误 的出现 ， 我们还应作如下说 明。 首先 ， 在
命题 Ａ 大样本平均数（ 的分布服从正态分布。 ： ｘ） 如果被
假设的真实情况 ８０元确实为真 ， 样本平均数 的区间估 ８ 那么
Ｃ
第一次具体的检验中， 只可能犯两类错误之中的一种或没犯
错误 ， 但到底是 哪种情况发生是 不知道 的。我们分析错误 的 发生是指 “ 错误 的发 生的可能性 即概率 ” 。其次 ， 发生 错误
计为：￣ ． ÷ ２ １６ ９
Ｖ ｎ
， ８４１ 元－ ８５ ２ 即 ７． － ８． 元； ８ ８
和Ｂ 错误的前提条件是不同的。 错误发生的前提条件是虚
无假设 为真 ； 相反 ， 错 误发生的前提 条件 是虚无假设为伪 。 Ｂ
命 题 Ｂ 如果在 一次抽 样调查 中 ， 本 的平均 数落 在 以 ： 样 上 区间之 内 ， 么就认 为被 假设 的真实情 况 为真 ， 那 即接 受虚 无假设 ， 研究 假设 ； 拒绝 反之 ， 拒绝虚无 假设 ， 则 不拒绝 研究 假设 。
３ 出 现 两 类 错 误 的 概 率 ｉ－ －算 ｉ
旦了解 了统计检 验 中两种错误 发生 的原 因 ， 为我们 就
命题 ｃ 由于在这次实际的抽样调查中， ： 样本的平均数 为 ８１ 没有超出以上估计区间， ７ 元， 所以， 接受虚无假设 ， 拒
绝研究 假设 ， 即认 为这 个公 司员工工 资的实 际平均数 为 ８０ ８
兀 。
一
对它们出现的概率的计算奠定了基础。从前面的分析中， 我
们 知道 ， 错误是 由实 际推断原理 引起 的 ， 小概率事 件不 即“ 会发生 ” 的假 定所引起 的 ， 以有理 由将所 有小概 率事件 发 所 生 的概 率之 和或者 即显著性 水 平 （＝ ． ） ５ ０ ５看作 错误 发生 ０ 的概率 ，换 言之 ， 错误 发生的概率 为检验所选 择的显 著性
从上 面的检验逻辑 和操 作过程 中 ， 可以看到 如下两 我们 个 方面的 问题 ， 正是 由于这 两个 问题 ， 分别产 生 了 错误 和 Ｂ 错误 第一个 问题是 ， 们只抽 了一个 样本 ， 我 而个别 的样本 可 能是特殊 的 ， 管你的抽样 多么符合科学抽 样的要求 。理论 不 上 讲 ， ３０ 个员 工 中随机抽取 ５ 人作 为调查 样本 ， 很 在
００ ０ 有 多种构 成样 本 的可能性 ， 当于 ３０ 选 ５ ， 个数 目是 很 相 ００ ０这 大 的。 这样 ， 在理论上就有存在很 多个样本平 均数 。 样理论 抽
水平。如果是单侧检验 ， 弃真错误的概率则为 ５ ２ ／。 犯Ｂ 错误的概率的计算是比较复杂的， 由于 Ｂ错误的出 现原因是纯属逻辑上的， 所以在总体参数不知道的情况下是
无法计算它 出现概率 的大小的。
为此 ， 我们在以上例子的基础上进一步设计： 这个公司 职员的实际工资不是 ８０ ， ８ 元 而是 ８０ 虚无假设为伪 ， ７ 元， 仍 然假设实际工资是 ８０ ８ 元。这样我们就可以在总体均值为 ８０ ７ 元和 ８０ ８ 元两种情况下 ， 分别作出两条正态分布曲线（ Ａ 线和 Ｂ ， 线）见图 １ 。
图１
告诉我们， 这些平均数的分布是正态的。如果真实的情况是
８０ ， ８ 元 那么这些样本平 均数 的平均数也就是 ８０ 。但是 ， ８元
这不等于说任何一个样本的平均数都是 ８０ 按照正态分 ８ 元。 布的理论， 在这些平均数中， 也有 ５ ％的样本平均数不在（ ± Ｘ
１６ ． ９
Ｖ ｎ
， ４１ 元－８５ ２元 ）ｇ ８ ． ７ ８ － ８． ８ ｆ 围之 内 ， 样 的事 件称 这
为小概率事件 。由于我们实 际上 只作 了一次 调查 ， 只有一个
样本平均数 ， 所以我们无法知道 ， 这个样本平均数是否为小
概率事件 。 如果这个平均数超 出了（７ ． 元一 ８５ ２ ） ８４１ ８ ８． 元 的 ８
范围， 而且是小概率事件发生的结果（ 是否小概率事件我们
并不 知道 ， 在操作 上 ， 我们假 设 了小 概率 事件是 不发 生 的） ， 那么我们必然要根据 前面提到的检验逻辑拒绝 虚无假设 。 也
就是说， 由于小概率事件的出现， 我们把本来真实的虚无假
在图 １ 我们可以很清楚的看到， 中， 在理论上存在的若 干个样本均值中， 只要某个样本均值 Ｘ ８４１ 时， ．７． ＞ ８ 我们将误 认为总体均值为 ８０ ， ８ 元 也就是不拒绝虚无假设 。由于总体
的真实情 况是 ８０元 ， ７ 这样我们 就犯 了 Ｂ错误 ， 即纳伪 的错
误。
设拒绝了。这就是 错误出现的原因。
第二 个问题是 ， 统计检验 的逻辑犯 了从结 论推断前提 的
错误。命题 Ｂ 是由命题 Ａ经演绎推论出来的，或写作符号 Ａ ， —Ｂ 命题 Ｃ是我们在检验中所依据操作法则。 如果 Ａ是真
的， 且我们从 Ａ到 Ｂ的演绎推论如果也是正确的， 那么 Ｂ可
犯Ｂ 错误的概率大小就是相对正态曲线 Ａ而言，图 １ 中阴影部分的面积 ：
１ ８
统计 与决策 ２０ １ ０５年 ２月（ ） 下
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Ｚ ｌ １４１ ； Ｚ ２ ５ ５ ｘ＝ ． ｘ ．９ ＝
论 。】 果笔者的判断没有错误 的话 ， 的“ 女 口 他 否证 ” 想主要受 思 到了爱 因斯 坦理论 ， 准确 的说 是爱 因斯坦 广义相对论 的命运 的影 响。我们知道 ， 因斯坦 的广义相 对论发表 于 １１ 年 ， 爱 ９５ 刚开 始 ， 人们无法 用实验或者观察来实证 它的正确性。 为此 ， 爱因斯坦声称 ：如果广义相对论 是对 的， “ 那么光线通 过引力
查标准正态分布表可知， －， 一 ｚ ）０ ７３ ３ ｔＺ １ ｃ（ ） （ ＝ ． ９ ０ 结果表明，如果总体的真值为 ８０ ，而虚无假设为 ７元 ８０ ８ 元的话， 那么 ， 平均而言每 １０次抽样中， ０ 将约有 ８ 次把 真实情况当作 ８０ ８ 元被接受 ，即犯 Ｂ错误的概率大小是
００ ９ ．７ ３。
场时， 就会发生弯曲。 反言之 ， ” 如果实证资料表明， 光线通
过 引力场时 没有发生 弯曲 ， 那么理 论就是错 误 的。１１ 年 ， ９９ 英国皇家学 会 和皇家天文学会利用 全 日 的机 会 ， 量出太 食 测
和前面几个命题联系起来看， Ｂ错误确实是逻辑上的谬
误所致 ， 因为不 同的样本 均值 （ 统计结果 ） 以对 应 同一个假 可 设前提 （ 虚无假设 ） 。
阳附近（ 一个很强大的引力场） 的光线是弯曲的。 ｌ ， 从此 爱因
斯坦的广义相对论才被逐 渐科 学界所认可 。 处在这个时代并
４ 对 相 关 命 墨 的 说 ｎ！ ／ 命题 １在统计检验中， ： 在样本容量一定的条件下， 错 误和 Ｂ错误不可能同时减小。 这个命题可以借助前面的图形
１ 来理解 ，一旦正态分布 Ａ的拒绝域 减小 即 错误 减小 ， 则 （ 叉） Ｘ一 这个 区域将 增 大 ， 图 Ａ上 阴影 部 分 的面积 （ 而 Ｂ错
误） 也将增 大 。
拜会过爱因斯坦的波普尔不会不知道这个经典的科学故事。
他显然受到这个 事件 的启 发 ： 的正确性 和是否存在实证 理论
的观察没有关系， 因为即使没有天文资料 ， 爱因斯坦的理论 也是对的。 换言之， 能否被经验的事实所证实， 并不是衡量理
论 的科学性 的标准 。在这样 的起点上 ， 尔的思想走 的更 波普
远。认为即使理论被一个有限的经验所证实， 也不能肯定其
在任何 条件 下正确 ， 因为归纳 法的作用是有 限的 ： 理论 ， 一个
一
命题 ２ 真实的总体参数（ 与假设 的总体参数（ 之 ： ） ） 间的差异（ ） △ 越小 ， Ｂ错误的概率越大。这个命题也可 犯
以从
图形 １ 得到说 明。因为 △ 越小 ， 两个正态 图就相距 越 近， 阴影部分面积就增大 。
万次被证实． 不能说明它的正确； 相反， 一次否证就完全可
以摧毁整个理论大厦。 在这样的逻辑下， － 习 波普尔决心与传统
的实证主义分道扬镳 ， 出“ 提 否证 ” 才是 评判理论科学性 的标
准。
命题 ３犯 错误的概率和犯 Ｂ错误的概率之和不为 １ ： 。 错误的概率是在图 Ａ上被指示的显著性水平的大小， Ｂ 而 错误的概率是图 Ａ上阴影部分的面积。既然假设的总体均 值并不与真值相等 （ 这是错 Ｂ 误产生的前提） ，图 Ａ与图 Ｂ 就不可能重合， 因此 和之 Ｂ和不可能为 １ ５ 虚 无 假 设 优 先 －－ 究 假 设 — — 统 计 检 验 ｑ研 ＇ Ｖ
中的否证思想
确实探寻事 物之间差异 的存 在是研究 的 目的 ， 我们 也是
的研究假设， 但是， 在研究的策略上， 我们必须以差异的不存 在作为出发点。 所以我们把虚无假设放在较研究假设更为优 先的地位， 这与从波普尔的“ 否证” 思想不谋而合。这个问题 的另一方面还在于，即使统计检验的结果表明差异是显著
的， 我们也不能草率地“ 接受” 研究假设， 充其量 ， 我们只能
“ 不拒绝” 研究 假设 。这不仅仅是 因为有 Ｂ错误 出现 的可能 ， 而且 ， “ 按照 否证 ” 想 的精神 ， 的正确性都是相 对的 ， 思 理论 暂 时正确的理论 ， 被更为有效的理论所否证 。１ 必将 ６ ］
在假设检验中， 我们把“ 不存在显著性差异” 作为首先要
检验 的假设 ， 而且 ， 于检验的结果 ， 对 如果统 计上不存 在显 著
参考文献 ：
性差异 ， 就果断“ 接受” 而不是“ 不拒绝” 虚无假设。为什么要
首先考虑的是虚无假设 呢？
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１ ８７ ９ ．
在科学史上， 一些重要的研究假设其实都是以否定的形 式提出的。 例如， 热力学就是以不存在永动机为前提的； 爱因 斯坦的相对论的基本假设就是不存在绝对运动等。 当代著名 的科学哲学家波普尔发现了这一点， 并提出了“ 否证” 思想。 那么， 什么是“ 否证”呢？ 它反映了波普尔关于科学划界
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∞ ０．
问题中的重要思想。波普尔自己承认 ， 他的哲学思想的来源
有三 ： 马克思 主义 ， 一是 二是弗洛伊德 学说 ， 三是爱因斯 坦理
（ 任编辑／ 责 李友 平）
统计与决策 ２０ 年 ２ （ ０５ 月 下）
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