因式分解方法大全

因式分解方法大全（一）

因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中。因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。它与整式乘法是方向相反的变形，是有效解决许多数学问题的工具。因式分解方法灵活，技巧性强。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

因式分解的主要方法： ⑴提公因式法； ⑵运用公式法； ⑶分组分解法；

⑷十字相乘法；

⑸添项折项法；

⑹配方法；

⑺求根法；

⑻特殊值法；

⑼待定系数法；

⑽主元法；

⑾换元法；

⑿综合短除法等。

一、提公因式法： mambmcm(abc)

二、运用公式法： ⑴平方差公式：ab(ab)(ab)

⑵完全平方公式：a2abb(ab)

⑶立方和公式：ab(ab)(aabb)（新课标不做要求）

⑷立方差公式：ab(ab)(aabb)（新课标不做要求）

⑸三项完全平方公式：abc2ab2ac2bc(abc)

⑹ abc3abc(abc)(abcabbcac) [***********]22222

三、分组分解法.

㈠分组后能直接提公因式

例：分解因式：2ax10ay5bybx

解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。第二、三项为一组。

解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by) =2a(x5y)b(x5y) =x(2ab)5y(2ab) =(x5y)(2ab) =(2ab)(x5y)

㈡分组后能直接运用公式或提公因式

例：分解因式：a2abbc

解：原式=(a22abb2)c2

=(ab)c

=(abc)(abc)

四、十字相乘法.

凡是能十字相乘的二次三项式axbxc，都要求b22222224ac0而且是一个完全平方数。

㈠二次项系数为1的二次三项式：xbxc，

条件：如果存在两个实数p、q ，使得cpq且bpq，那么2x2bxc(xp)(xq)

例1、分解因式：x5x6

分析：将6分解成两个数的积，且这两个数的和等于5。 2

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适

合，即2+3=5。

1 2

解：x5x6=x2(23)x23 =(x2)(x3) 1×2+1×3=5

㈡二次项系数不为1的二次三项式——axbxc

条件：（1）aa1a2 a1 c1

（2）cc1c2 a

2 c2

（3）ba1c2a2c1 ba1c2a2c1

分解结果：axbxc=(a1xc1)(a2xc2)

例2、分解因式：3x11x10

分析： （-6）+（-5）= -11

解：3x11x10=(x2)(3x5)

㈢二次项系数为1的齐次多项式

例3、分解因式：m6mn8n

解：原式=m[(2n)(4n)]m(2n)(4n) 1 -2n

=(m2n)(m4n) 1 -4n

（-2n）+（-4n）= -6n

㈣二次项系数不为1的齐次多项式

例4、2x7xy6y

2222222222

2 -3y

(-3y)+(-4y)= -7y

解：原式=(x2y)(2x3y)

五、添项、拆项法：

（1）、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解a2b24a2b3

解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），

解：a2b24a2b3

a2b24a2b41

(a24a4)(b22b1)

(a2)2(b1)2

(ab1)(ab3)

32例2、因式分解 x6x11x6

222解析：根据多项式的特点,把6x拆成2x4x；把11x拆成8x3x

32解：x6x11x6

(x32x2)(4x28x)(3x6)

x2(x2)4x(x2)3(x2)

(x2)(x24x3)

(x1)(x2)(x3)

（2）、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解x44y4

解析：根据多项式的特点,在x44y4中添上4x2y2,4x2y2两项，

解：x44y4

(x44x2y24y4)4x2y2

(x22y2)2(2xy)2

(x22xy2y2)(x22xy2y2)

例4、因式分解 x33x24

222解析：根据多项式的特点，将3x拆成4xx，再添上4x,4x两项，则

32解：x3x4

x34x24xx24x4

x(x24x4)(x24x4)

(x24x4)(x1)

(x1)(x2)2

六、配方法。

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例：分解因式x6x72 2

解：x6x72 2

x26x9972 (x3)292

(x39)(x39) (x12)(x6)