【与函数奇偶性有关的结论】
1. 若一个函数具有奇(偶) 性，其定义域必关于原点对称.
判断函数的奇偶性的解题步骤：首先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则必为
非奇非偶的函数. 在定义域关于原点对称的前提下，再看其是否符合奇(偶) 函数的定义式.
2. 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称; 反之，如果一个函数的图像关
于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数
是偶函数．
3. 若奇函数在x=0处有意义，则f(0)=0；偶函数对于定义域内任意a 的值满足f(|a|)=f(a).
4. 已知函数f(x)是奇函数在某一区间上的解析式，求其在关于原点对称的另一区间上的解析
式的方法为，将原函数中的所有自变量x 都用-x 代换, 化简后再各项变号（即-f （-x ））,
当x=0时若有意义，还要注意f(0)=0.而偶函数只需将所有x 都用-x 代换化简后即可.
5. 设F(x)=af(x)+b,若f(x)为奇函数，则对于定义域内的任意x 值，都有F(-x)+F(x)=2b.
例1. 判断下列函数的奇偶性：
-x -x (1)g(x)=x -1+-x . (2)h(x)=(x+1). (3)f(x)=. 2-|x -2|1+x
解:(1)由于此函数的定义域为{1,-1}关于原点对称，又g(x)=0,
∴ 此函数既是奇函数又是偶函数.
(2)此函数的定义域为(-1,1]，不关于原点对称，∴ 此函数既不是奇函数又不是偶函数. 222
⎧1-x 2≥0 (3)此函数的定义域由不等式组⎨确定，解得{x|-1≤x ≤1且x ≠0}关于原
⎩2-|x -2|≠0
2点对称，化简得f(x)=-x ，易知f(x)是奇函数.
x
说明:
(1)本例中的(2)易错误地变形为h(x)=1-x )(1+x ) =-x 2, 从而误认为其为偶函数.
⎧-x 2
x ≥2, x ≠4, ⎪ (2)例中的(3)易错误地变形为f (x ) =⎪4-x 从而误认为是非奇非偶的函数. ⎨2⎪-x x
例2.(1)设函数f(x)= ax7+bx5+cx+5，其中a ，b ，c 为非零常数，若f(-7)=7，则f(7)=( ).
A.7. B.3. C. -7. D. -17.
2 (2)若定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x >0时，f(x)=x-x+1，求f(x)的表达式.
(3)若f(x)，g(x)的定义域为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数. 又
1，求f(x)的表达式. f (x ) +g (x ) =2x -x +1
(4)已知偶函数f(x)在(-∞，0) 上函数值随自变量的增大而减少. 若f(a)≥f(2)，求实
数a 的取值范围.
解:(1)令g(x)= ax7+bx5+cx,则易知y=g(x)是奇函数，∴ f(x)=g(x)+5,由上述5的结论知，
f(7)+f(-7)=10.又∵ f(-7)=7，∴f(7)=3.故应选B.
22 (2)∵ f(x)是奇函数且当x ＞0时，f(x)= x-x+1，∴ 当x
⎧x 2-x +1x >0, ⎪ 由于f(x)的定义域为R ，∴ f(0)=0.故f (x ) =⎨0x =0,
⎪-x 2-x -x x
(3) ∵ f(x)、g(x)的定义域为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ f(-x)=-f(x),
1⎧1f (x ) +g (x ) =2(1) ⎪ g(-x)=g(x).又 f (x ) +g (x ) =2，∴ . x -x +1⎨x -x +11⎪-f (x ) +g (x ) =2(2) x +x +1⎩
(1)-(2)得 f (x ) =x . x 4+x 2+1
(4)∵ y=f(x)是偶函数且在(-∞，0) 上函数值随自变量的增大而减少，由上述结论2知，
y=f(x)在(0，+∞) 上函数图像是上升的，又 由上述结论3，由f(a)≥f(2)，
⇒f (|a |)≥f (2), ⇒|a |≥2, ⇒ a≥2或a ≤-2.
想一想①：
21. 已知奇函数y=f(x)的定义域为(-3，a +2a).求实数a 的值.
2. 已知函数f(x)=2x -2-x lga 是奇函数，则a 的值是( ).
3. 已知函数f(x)为偶函数，y=f(x-2)的图像在区间[0，2]上下降，则( ).
A.f(0)＜f(-1)＜f(2). B.f(2)＜f(-1)＜f(0).
C.f(-1)＜f(0)＜f(2). D.f(-1)＜f(2)＜f(0).
ax 2+1例3. 已知函数f （x ）(a.b.c∈R ，a ＞0，b ＞0) 是奇函数，当x ＞0时，f(x)有最小=bx +c
值2，其中b ∈N +，且f(1)＜5. 试求f(x)的解析式. 2
ax 2+1ax 2+1=-, 得c=0. 解：∵ y=f(x)是奇函数，∴ f(x)=-f(-x),即 bx +c -bx +c
ax 2+1112a 2, 又当x ＞0时，f(x)有最小值2，∴ a=b. ∴f (x ) ==(ax +) ≥bx b x b
a +1151=b +
说明：对于此题，不能用f(0)=0来求出c=0，因为，题目的条件中不能保证y=f(x)在x=0
处有意义. 故只能由f(x)=-f(-x)再比较系数得出c=0.
【与函数的周期性有关的几个结论】
(1)对于周期函数，若x ∈定义域M ，则必有x+T∈M, 且若T>0则定义域无上界；T
义域无下界. 即周期函数的定义域不可能是一个有限的数集.
(2)周期函数的图像特征为，每隔一定的长度单位(周期长度) 其图像将重复出现.
(3)函数y=f(x)的图像若既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称(a
期函数，且2(b-a) 为其一个周期. 如函数y=sinx的图像既关于直线x=-
直线x=π2对称，又关于πππ对称，则2[-(-)]=2π是其一个周期. 222
π
2，0）对称，又关于点((4)函数y=f(x)的图像关于点(a，0) 和点(b，0) 都对称(a
对称，则2[π，0) 2ππ-(-)]=2π是其一个周期. 22
(5)函数y=f(x)的图像若既关于直线x=a对称，又关于点(b，0) 对称(a
(0，0) 对称，则4[0-(-π2对称，又关于点π
2)]=2π是其一个周期.
22(6)若函数f(x)是周期为T 的奇函数, 当x=T 有意义时，必有f(T )=0.(奇函数的半周期现
象——若T 是零点，则T 也是零点). 如函数f(x)=sinx的周期T=2π，且f(2π)=0，
2
则f(T )=f(π)=0.
2
(7)若函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+a)=-f(x)、f(x+a)=±k (k为非零的常数) 之f (x )
中任何一个，均可知T=2a是其一个周期.
想一想②：
你能利用周期函数的定义证明上述结论中的(6)、(7)吗？
例5. (1)已知奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(1)=-2,求f(2015)的值.
(2)已知函数f(x)的定义域为R ，且以2为周期，当x ∈[0，2]时，f(x)=|x-1|.作出 f(x)
在(-∞，+∞) 上的图像.
解:(1) ∵ 奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x), ∴ f(x+4)=f[1+(x+3)]=f[1-(x+3)]=f(-x-2) =-f(x+2)=-f[1+(x+1)]=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x),由周期的定义知，f(x)是一
个周期T=4的周期函数.(若是选填题，也可直接利用上述(5)的结论得到，即f(x)的图像既关于(0,0)对称，又关于直线x=1对称，所以T=4(1-0)=4).
∴ f(2015)=f(504×4-1)=f(-1)=-f(1)=2.
(2)∵ 当x ∈[0，2]时，f(x)=|x-1|=⎨⎧x -11≤x ≤2, 先作出x ∈[0，2]时，y=f(x)图像，
⎩-x +10≤x
再利用周期函数的图像特征，每个2个长度单位将已作出的图像平移即可. 如图 1.6—1. 图1.6—1 例6.(1)已知奇函数f(x)满足f(1)=2，且有f (x +1) =1+f (x ) ，则f(2015)=___ _. 1-f (x )
(2)已知奇函数f(x)满足f(3)=0，且f(x+1)= f(1-x) ，f(x)=f(5-x) ，则当x ∈[-6,6]时，使
得f(x)=0的x 值有( )个.
A.4. B.5. C.7. D.9.
1+f (x )
1+f (x +1) 11-f (x ) 1+f (x ) ==-解:(1) ∵f (x +1) =，∴ f (x +2) =f [(x +1) +1]=，
1+f (x ) 1-f (x +1) 1-f (x ) 1-f (x )
1-f (x ) 1+
∴ f(x+4)=f[(x+2)+2]==-1=f (x ). 即y=f(x)是一个周期为4的周期函数. f (x +2)
∴ f(2015)=f(504×4-1)=f(-1)=-f(1)=-2.
(2)由f(x+1)= f(1-x) ，f(x)=f(5-x) 知函数y=f(x)的图像既关于直线x=1对称，又关于直线 x=2.5对称，∴ 函数y=f(x)是一个周期T=3的周期函数且为奇函数.
∵ f(3)=0， ∴ f(3)=f(-3)=f(6)=f(-6)=f(0)=0.又由半周期现象知，
f(1.5)=f(-1.5)=f(4.5)=f(-4.5)=0.
∴ 则当x ∈[-6,6]时，使得f(x)=0的x 值有9个. 故应选D.
习题1.6
1. 函数y ＝f (x ) 与y ＝g (x ) 有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有
2f (x )f (x ) ＋f (－x ) ＝0，g (x ) g (－x ) ＝1，且x ≠0，g (x ) ≠1，则F (x ) ＝＋f (x )( ). g (x )－1
A. 是奇函数但不是偶函数. B. 是偶函数但不是奇函数.
C. 既是奇函数又是偶函数. D. 既不是奇函数也不是偶函数.
2. f(x)是定义在(-1，1)上的函数，对于∀x , y ∈(-1，1)，有f (x )-f (y )=f (x -y ) 成立，1-xy 且当x ∈(-1,0)时，f (x )>0．给出下列命题:①f (0)=0； ②函数f (x )是偶函数； ③函数f (x )只有一个零点； ④f () +f ()
3. 函数 f (x ) 满足 f (x )·f (x ＋2) ＝13，若 f (1)＝2，则 f (99)＝ ..
4. 已知函数f(x)，g(x)在R 上有定义，对任意的x ，y ∈R 有f(x－y) ＝f(x)g(y)－g(x)·f(y)，且f(1)≠0，则f(x)的奇偶性是________．
5. 设g(x)是定义在R 上以1为周期的直线型函数，且在每个周期内单减. 若函数f(x)=x+g(x) 在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，则f(x)在区间[-10，10]上的值域为 .
【与单调性有关的几个结论】
1.若f(x)和g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)为增函数；若f(x)和g(x)均为减函数，则f(x)+g(x)也为减函数.
2.函数f(x)与-f(x)的增减性相反；函数f(x)与
f(x)与-1213141(f(x)恒正或恒负) 的增减性相反；函数f (x ) 1(f(x)>0) 的增减性相同. f (x )
3. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.
4. 复合函数的单调性：若记减函数为：“—”，增函数为“+”，则复合函数的单调性等同于实数的符号运算规则. 即，若减函数的个数为奇数个，则复合后的复合函数为减函数. 若减函数的个数为偶数个，则复合后的复合函数为增函数.
5. 互为反函数的两个函数的增减性相同.
例3. 求证函数f(x)=x+a (a >0) 在(0，a ]上单减，在[a ，+∞) 上单增. 并说明在 x
[-a ，0) 及(-∞，-a ]上，其单调性是怎样的？
证明: 设任意的x 1，x 2∈(0，a ], 且x 1
=(x 1-x 2)(x 1x 2-a ) , ∵ x 1，x 2∈(0，a ], 且x 10， x 1x 2
a (a >0) 在(0，a ]上单减. x x 1x 2-a0，即f(x1)>f(x2). 由定义知，函数f(x)=x+
再设任意的x 1，x 2∈[a ，+∞) ，且x 1
=(x 1-x 2)(x 1x 2-a ) , ∵ x 1，x 2∈[a ，+∞), 且x 10， x 1x 2
a (a >0) 在[a ，+∞)
x x 1x 2-a>0，∴f(x1) -f(x2)
又∵ f(-x)=-x+a =-f(x)对定义域内任意的x -x a ∴ 函数f(x)=x+(a >0) 是奇函数. x a ∴ 函数f(x)=x+(a >0) 在[-a ，0) 上单减， x
在(-∞，-a ]上单增. 其图像如图1.7—2所示. 图1.7—2
说明:此函数是在高中数学中应用非常广泛的函数之一——“对钩函数”，尤其是在求函数的
值域、最值等问题中经常要用到它.
例4. 已知奇函数y=f(x)在(0，+∞) 上单增且恒为正，试讨论函数y=-1, 在(-∞，0) 上f (x )
的单调性.
解:设任意的x 1，x 2∈(-∞，0) 且x 1-x 2∈(0，+∞).
∵ 函数y=f(x)在(0，+∞) 上单增且恒为正，∴ f(-x 1)>f(-x 2)>0，又∵ y=f(x)为奇函数, ∴ -f(x1)>-f(x2)>0，即f(x1)
即y 1
例5. 已知定义在(a，b) 的增函数y=f(x)的值域为(c，d) ，函数y=g(x)在(c，d) 上为减函数，
试说明函数y=g[f(x)]在(a，b) 上的单调性.
解: 设任意的x 1，x 2∈(a，b) 且x 1
∴ cg[f(x2)], 由定义知，函数函数y=g[f(x)]在(a，b) 上单减的函数.
想一想③：
1. 若函数y =f (x ) 的值域是[,3]，则函数F (x ) =f (x ) +1
21的值域为_____ . f (x )
2. 设偶函数y=g(x)在(a，b) 上单减，求证：函数y=g(x)在(-b，-a) 上单增.
【求函数单调区间的途径】 (1)利用单调性的定义求.
(2)利用图像求.
(3)利用复合函数单调性的规律求. 2例6. 求函数f(x)=|x-2x-3|的单增区间.
2解:作出函数f(x)=|x-2x-3|的图像，如图1.7—3.
利用增函数的图像特征——上升，易知其单增区间为[-1,1]，[3，+∞).
例7. 求函数函数y=x 2-3x +2的单减区间.
解:令u=x2-3x+2≥0，则原函数可看成是由y=，u=x2-3x+2≥0两个函数复合而成. ∵ y=是u 的增函数，∴ 原函数的单减区间即u=x2-3x+2≥0的单减区间(-∞，1]. 一般地，求由基本初等函数复合而成的复合函数的单调区间的步骤为：①将原函数分解成若干个基本初等函数；②求出原函数的定义域；③确定奇函数的个数；④利用复合函数单调性规律找出在定义域范围内的单调区间.
想一想④：
1. 函数y=log 0 . 5(-x 2+3x+1)的单增区间是( ).
2. 已知y=log a (2-ax) 在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ).
A.(0，1). B.(1，2). C.(0，2). D.(2，+∞).
【函数单调性应用举例】
(一) 比较大小.
例8.(1)若函数f (x ) 在(4，＋∞) 上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x ) ＝f (4－x ) ，则( ).
A. f (2)>f (3). B. f (2)>f (5). C. f (3)>f (5). D. f (3)>f (6).
(2)当0
A. a >a >a . B. a >a >a . C. a >a >a . D. a >a >a . 解:(1) ∵ 对任意的x ∈R ，有f (4＋x ) ＝f (4－x ) ，∴ f(3)=f(4-1)=f(4+1)=f(5)，
又∵ 函数f (x ) 在(4，＋∞) 上为减函数，f(3)=f(5)>f(6). 故应选D.
(2)考查函数y=ax ，当0a >0，∴ a 1a
(二) 求函数的值域或最值.
例9.(1)求函数y=a a a a a a a a a a a a a a a a >a . 故选B. x +1(x >-1) 的值域. x 2-2x +3
(2)已知y=f(x)是定义域为R 的函数，且对任意的x 、y 恒有：f(x+y)=f(x)+f(y)，又
当x ＞0时，f(x)＜0，f(1)=-1，求f(x)在[-3，3]上的最值.
解:(1)令x+1=t>0. ∴ y=x +1t t ===222x -2x +3(t -1) -2(t -1) +3t -4t +61， 6t +-4t
66(t >0) 知，u ≥2，∴ t +-4≥26-4>0， t t
x +16+2(x >-1) 的值域为(0，结合反比例函数的图像知函数y=2]. x -2x +34考查“对钩函数”u=t +
(2) ∵ 对任意的x 、y 恒有：f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0,可得 f(0)=0.
设任意的x 1、x 2∈R, 且x 1
又∵ x＞0时，f(x)＜0， ∴ f(x2)- f(x1)= f(x2-x 1)
∵ f(1)=-1, ∴ f(3)=f(1+2)=f(1)+f(1+1)=3f(1)= -3，f(-3)=-f(3)=3.
故f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)=3,最小值为f(3)=-3.
想一想⑤：
1. 定义在(-∞, +∞) 上的函数y =f (x ) 在(-∞, 2) 上是增函数，且y =f (x +2) 为偶函数，则f (-1), f (4),f (6)的大小关系为____________.
2. 已知函数f (x ) 是定义域为R 的偶函数，x 0， 且|x 1|
(三) 解不等式.
1例10. 定义在(0，+∞) 上的函数f(x)满足：f(xy)=f(x)+f(y)，f () =1，且当x ＞1时， 3
1f(x)＞0. 问f () =？并解不等式：f(x)+f(2-x)>2. 9
解:令x=y=1，代入f (xy ) ＝f (x)+f (y)得，f (1) =f (1) +f (1) =2. 3933
x x 设任意的x 1、x 2∈(0,+ ∞), 且x 1
x x ∵ 01, 由已知得f(2) >0, ∴ f(x2) >f(x1), x 1x 1
即函数f(x)在(0，+∞) 上是增函数.
1⎧x (2-x ) >, ⎪92222). ∴ 由f(x)+f(2-x)>2， ⇒⎪, 1+x >0, ⇒x ∈(1-⎨33⎪2-x >0, ⎪⎩
【参考答案】
想一想①：1.a=-3或1. 2.利用f(0)=0得a=10. 3.A.
想一想②：(6) ∵ 函数f(x)是周期为T 的奇函数, ∴ 一方面 f(-T )=-f(T )(1)，另一方面2
222f(-T )=f(T-T )=f(T )(2). 由(1)、(2)得-f(T )=f(T ) ，∴ f(T )=0. 2222
(7) ∵f(x+a)=-f(x), ∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),由周期函数的定义知，T=2a
为其一个周期. 类似地可得另外的结论.
习题1.6.1.B. 2. 令x=y=0,得f(0)=0.对于∀x 、y ∈(-1,1)，令x=0, 由
x -y f (x )-f (y )=f () 得，f(0)-f(y)=f(-y),即f(-y)=-f(y), ∴ f(x)是奇函数. 1-xy
设∀x 、y ∈(-1,1)，且x 0,x-y 0, 1-xy 1-xy
即f(x)>f(y), ∴ f(x)在(-1,1)上是减函数. 则易知①、③正确，②错误. 再由f(x)在
11-11111) =f (-2) >f (1), ∴ f () +f ()
即④也正确. 故应选C.
13133. 由已知可得T=4，∴ f(99)=f(24×4+3)=f(3)=f(2+1)==. f (1) 2
4. 奇函数. 提示：令x=y=0,得f(0)=0;再令x=1,y=0,得g(0)=1;令x=0,得f(-y)=-g(0)f(y)=-f(y).
5.[-15，11].由已知可得-6≤g(x)≤2，因为g(x)是周期为1的减函数，结合图形知，当-10≤x ≤-9时，f(x)取得最小值(-9)+(-6)= -15. 当9≤x ≤10时，f(x)取得最大值9+2= 11. 想一想③：1. [2,10]. 2. 略. 想一想④：1. [, ]. 2. B. 223
想一想⑤：1.f(6)f (-x 2) .
习题1.7 1. B. 2. B. 3. {x|8
4. 解： 11), ∴f (x ) =log 2[(x +1)(p -x )] 33+p -12(p +1) 2
=log 2[-x +(p -1) x +p ]=log 2[-(x -) +]， 242
(1)当，即1
∴f (x )
p -1≤p ，即p>3时，f (x ) 值域为(-∞, 2log 2(p +1) -2]. (2)当1
p -1>p ，即p1. (3)当2
5. 13
26. 2a >3-2a >0⇒(-∞,
7. 解:(1)令a=b=0，代入f (a ＋b ) ＝f (a )·f (b ) 得，f(0)=f2(0)，∵ f (0)≠0，∴ f(0)=1.
(2)令a=b=-1--1+3) (, ) . 222x 2x ，代入f (a ＋b ) ＝f (a )·f (b ) 得，f (x ) =f () ≥0, 又令a+b=0，即b=-a， 22
1∴ f(0)=1=f(a)f(-a) ⇒f (-a ) =，当x>0时，f (x)>1，∴ 当x
2x ∵ f (0)≠0，∴ f (x ) =f () >0. 2
22 (3)设任意的x 1、x 2∈R, 且x 1f(x1). 由单调性的定义知y=f(x)是R 上的增函数. (4)由f (x )·f (2x －x 2) ＞1，⇒f (3x -x ) >f (0), ⇒3x -x >0, ⇒x ∈(0, 3).
8. 由xf(x+1)=(x+1)f(x)， 得a n f (x +1) f (x ) {是常数列，，相当于数列可得f(n)=nf(1)=0,(n=n x +1x
k =20131k 为整数). 又令x=-, 可得，f(1/2)=0,从而可得f((2k-1)/2)=0(n为整数). ∴∑f () =0. 22k =0