教学过程
一、课堂导入
如下图所示，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、复习预习
复习：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如下图所示，在
Rt ∆ABC 中，设BC =a , AC =b , AB =c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有a c =sin A ，b c =sin B ，又sin C =1=c a b c a b c c , 则sin A =sin B =sin C =c , 从而在直角三角形ABC 中，sin A =sin B =sin C
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
预习：正弦定理、余弦定理的内容
三、知识讲解
考点1 利用正弦、余弦定理解三角形
考点2 三角形形状的判定
判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．
考点3 与三角形面积有关的问题
正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面11
积公式S ＝absin C＝＝acsin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．
1
222
考点4 应用举例、生活中的解三角形问题
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①) ．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②) ．
四、例题精析
考点一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 在△ABC中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B的值；
(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin Asin C的值．
1
【规范解答】(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B＝．
2(2)由已知
b 2＝ac ，及
1
cos B，
2
3c 2+a 2-b 2
根据余弦定理得cos B＝，解得a ＝c ，所以B ＝A ＝C ＝60°，故sin Asin C＝
42ac
【总结与反思】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．
考点二 三角形形状的判定
例2 △ABC 满足sin B＝cos Asin C，则△ABC 的形状是( ) ． A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【规范解答】∵sin B＝cos A·sin C，
b 2+c 2-a 2
∴b＝·c．∴b2＋a 2＝c 2．
2bc
∴△ABC为直角三角形，选A ．
【总结与反思】判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．
考点三 与三角形面积有关的问题
例3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π
3(1)若△ABC 的面积等于
3，求a ，b ；
(2)若sin C＋sin(B－A) ＝2sin 2A，求△ABC 的面积．
【规范解答】(1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC的面积等于
3，所以absin C2
1
3，得
⎧⎪a ＝2，
ab ＝4．联立方程组解得⎨（2）由题意得sin(B＋A) ＋sin(B－A) ＝4sin Acos A，即sin Bcos A＝2sin Acos A．
⎪⎩b ＝2. ππ433123
当cos A＝0时，A ＝，B ＝，a ＝b ＝的面积S ＝＝；当cos A≠0时，得sin B
263323
⎧2a =123⎪⎪3＝2sin A，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组解得⎨。所以△ABC的面积S ＝absin C2343⎪b =
⎪3⎩
的面积为
3
3
【总结与反思】正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三11
角形问题中，面积公式S ＝＝＝acsin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦
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1
定理联系起来．
考点四 应用举例、生活中的解三角形问题
例4 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
【规范解答】依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的距离最短，即BE⊥CD时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝
AB BE
AB 为定值，BE 最
小时，仰角最大．
40sin 30°
在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴BD＝＝sin∠DBCsin∠BCDsin 135°15°＝CD
BD
2；在Rt△BED中，∠BDE＝15°，BE ＝BDsin
10
3)(米) ．∴所求的塔高为3
10
3－1) ．在Rt△ABE(3－
3
3) 米．
【总结与反思】测量距离问题，需注意以下几点：
(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型； (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解
五、课堂运用
【基础】
1．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) ． A ．4
3 ．2
3 C ．
3 D ．
32
B
【答案】B
【规范解答】由正弦定理得
＝，解得AC ＝sin Asin Bsin 60°sin 45°BC
AC
3
2
AC
3．
2．在△ABC 中，cos 2B 2a ＋c 2c ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边) ，则△ABC 的形状为( ) ．
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】B
【规范解答】∵cos2B 2＝a ＋c 2c ，
∴2cos2B a ＋c 21＝c 1，
∴cos B＝a c ∴c 2+a 2-b 2a 2ac ＝c ，∴c2＝a 2＋b 2．
bsin B3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ，b ，c 成等比数列，A ＝60°，则＝( ) ． c
A B ．1 12
C ．2
2
．32 D
【答案】D
【规范解答】∵b2＝ac ，∴b ． c b a bsin Basin B3∴＝＝sin A＝ c
故选D ．
b 2
4．如图，为了测量隧道AB 的长度，给定下列四组数据，无法求出AB 长度的是( ) ．
A ．α，a ，b B ．α，β，a
C ．a ，b ，γ D ．α，β，γ
【答案】D
【规范解答】利用余弦定理，可由a ，b ，γ或α，a ，b 求出AB ；利用正弦定理，可由a ，α，β求出AB ， 当只知α，β，γ时，无法计算AB ．
【巩固】
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos 2B ＝( ) ．
A 1 B ．122 C ．－1 D ．1
【答案】D
【规范解答】根据正弦定理a b sin Asin B2R 得，a ＝2Rsin A，b ＝2Rsin B，
∴acos A＝bsin B可化为sin Acos A＝sin 2B ．
∴sin Acos A＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1．
2．在△ABC 中，(a＋b ＋c)(a＋b －c) ＝3ab ，且acos B＝bcos A，则△ABC 的形状为__________．
【答案】等边三角形
【规范解答】∵(a＋b ＋c)(a＋b －c) ＝3ab ， ∴(a＋b) 2－c 2＝3ab ．
∴a2＋b 2－c 2＝ab ．
∴cos C＝a2＋b2－c22ab 12．∴C＝π3．
∵acos B＝bcos A，
∴sin Acos B＝sin Bcos A．
∴sin(A－B) ＝0．
∴A＝B ．
故△ABC为等边三角形．
【拔高】
π1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c. 若a ＝2，B ＝c ＝63，则b ＝______.
【答案】2
【规范解答】∵b2＝a 2＋c 2－2accos B＝4＋12－2×2×2
∴b＝2． 3×32＝4，
2．在△ABC中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.
(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；
(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC的面积S.
【规范解答】在△ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C，
sin Asin Csin A sin C （+）所以sin B＝·sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C， cos Acos Ccos A cos C
所以sin Bsin(A＋C) ＝sin Asin C，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A＋C) ＝sin B，因此sin 2B ＝sin Asin C．
由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．
(2)解：因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝
17c 2+a 2-b 232，由余弦定理得cos B＝＝，因为0＜B ＜π，所以sin B＝故△ABC442ac 177的面积S ＝acsin B＝×1×2×＝ 2244
课程小结
（1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A＞sin B.
（2）在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其它边或角；②已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况②中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．
余弦定理可解决两类问题：①已知两边及夹角求第三边和其他两角；②已知三边，求各角．
（3）根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦) 定理实施边、角转换．