第四章：曲线运动
本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。（4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。
1、记住物体做匀速圆周运动的条件，能判断物体是否做匀速圆周运动。
2、记住匀速圆周运动的v、ω、T、f、a、向心力等运动学公式。
3、知道解匀速圆周运动题的一般步骤（与牛顿第二定律解题思中相同）。
4、掌握几种情景中的圆周运动：①重力场中竖直面内圆周运动（注意临界条件）。
②天体的匀速圆周运动。③点电荷的电场中带电粒子可以做匀速圆周运动。④带电粒子只受洛仑磁力作用下的圆周运动（注意有界磁场中的圆周运动的特点和解法）。⑤复合场中的圆周运动。
一．夯实基础知识
1．曲线运动的特征
（1）曲线运动的轨迹是曲线
（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。
（3）由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。
2．物体做曲线运动的条件
（1）物体做一般曲线运动的条件
物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。
（2）物体做平抛运动的条件
物体只受重力，初速度方向为水平方向。
可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。
（3）物体做圆周运动的条件
物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）
例：（1991年上海高考题） 如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由Ｆ变为－Ｆ。在此力的作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ A、B、D ）
A．物体不可能沿曲线Ｂa运动
B．物体不可能沿直线Ｂb运动
C．物体不可能沿曲线Ｂc运动
D．物体不可能沿原曲线由Ｂ返回A
3．运动的合成与分解
物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解基本关系：
1分运动的独立性；
2运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；
3运动的等时性；
4运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）
4．平抛运动
（1）平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。
（2）研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
①水平速度：vx=v0，竖直速度：vy=gt
合速度（实际速度）的大小：
物体的合速度v与x轴之间的夹角为：
②水平位移： ，竖直位移
合位移（实际位移）的大小：
物体的总位移s与x轴之间的夹角为：
可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。
而且
（3）平抛运动的几个结论
①落地时间由竖直方向分运动决定：由 得：
②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：
③平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：
（4）轨迹方程：由 和 消去t得到： 。可见平抛运动的轨迹为抛物线。
（5）从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。
4．匀速圆周运动
（1）描述匀速圆周运动的物理量
轨道半径（r）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。
线速度（v）：大小等于物体在一段时间内运动的弧长（s）与时间（t）的比值，方向为圆周的切线方向（注意：线速度是矢量。实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓）。对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。
角速度（ω，又称为圆频率）：大小等于一段时间内转过的角度（θ）与时间t的比值。（注意：弧度的符号为rad，而r通常表示多少转（每转为2π弧度）。角速度也是矢量。）
周期（T）：圆周运动一周所需要的时间
频率（f，或转速n）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。
（2）各物理量之间的关系：
注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。
（3）圆周运动的向心加速度
匀速圆周运动的加速度称为向心加速度，其大小为 （还有其它的表示形式，如： ），表征速度方向改变的快慢，其方向时刻改变且时刻指向圆心。对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度 ，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言， =0）
（4）圆周运动的向心力
匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力 提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力 提供切向加速度。
向心力的大小为： （还有其它的表示形式，如：
）；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。
实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。
例：做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是（ B、C ）
A．速度 B．速率 C．角速度 D．加速度
例：关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（C ）
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C．物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动
D．做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态
例：关于向心力的说法正确的是（ B、C ）
A．物体由于作圆周运动而产生一个向心力
B．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力
D．做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力
例：如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动，则A的受力情况是（ B ）
A．重力、支持力
B．重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．重力、向心力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
例：如图所示，压路机后轮半径是前轮半径的3倍，A、B分别为前轮和后轮边缘上的一点，C为后轮上的一点，它离后轮轴心的距离是后轮半径的一半，则A、B、C三点的角速度之比为
，线速度之比为
，向心加速度之比为
[分析]因B点和C点同是后轮上的点，故它们的角速度相等，而前、后轮在相同时间内在路上压过的距离相等，即前后轮边缘上两点线速度大小相等。
答案：3∶1∶1、2∶2∶1、6∶2∶1
（4）离心运动
当物体受到的合外力 时，物体做匀速圆周运动；
当物体受到的合外力 时，物体做离心运动
当物体受到的合外力 时，物体做近心运动
实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必然改变以适应外力的改变。
4．两类典型的曲线运动的分析方法比较
（1）对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”，运动规律可表示为
；
（2）对于匀速圆周运动这类“变变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解其力和加速度”，运动规律可表示为