§1．3 数学教育理论的形成与发展
数学教育理论亦称数学教育学．它的主要理论基础是数学教育哲学和数学教育心理学，本节将简要介绍它们的形成、现状与发展．
一、数学教育学的诞生与现状
在渊源流长的历史长河中，人类的数学教育实践，积累了丰富的数学教育经验；同时人们在实践中又不断地探索和研究，极大丰富了数学教育宝库．这些都是数学教育理论得以形成与发展的社会源泉．
另一方面，经济的变革，社会的进步，科学技术的发展，推动了数学教育不断地改革，促使数学教育要与社会、经济、科技发展的需要相适应．近三十年来，由于科学技术飞速发展，加速了学科之间相互渗透、相互融合、相互为用的进程．数学教育在其发展过程中，不断吸纳了相关学科的成果，它既有哲学思想的更新，又有教育学和心理学新成果的注入，还有思维科学、脑科学，以及数学科学自身发展的新内容的充实，更有信息论、控制论、系统论等三论的科学方法作指导．这些学科理论的渗透、充实、丰富了数学教育理论为数学教育科学奠定了坚实的理论基础．
数学教育理论，来自于社会的数学教育实践，以及相关学科理论的渗透，更来自于对自身长期实践经验总结的升华．
我国最早的数学教育理论学科，叫做“数学教授法”．辛亥革命后更名为“数学教学法”，此名一直延续到20世纪50年代末．无论是“数学教授法”还是“数学教学法”，实际上只是讲授各学科通用的一般教学法，30年代至40年代，我国曾陆续出版了几本“数学教学法”的书，如1949年元月商务印书馆出版了刘开达编著的“中学数学教学法”．但这些书多半是对前人或外国关于教学法研究所得，并根据自己教学实践进行修补而总结的经验，并未上升成理论．
建国后的“中学数学教学法”，在50年代，用的是前苏联伯拉基斯(Bopaдиc) 等编的“数学教学法”，其内容主要介绍中学数学教学大纲的内容和体系，以及中学数学中的主要课题的教学法，这些内容虽然仍停留在经验上，但比以往只学一般的教学方法有所进步，毕竟变成为专门的中学数学教学方法．为深入研究数学教学的一般原理，又将“数学教学法”改名为“数学教材教法”．70年代后期，又演变成新的“中学数学教材教法”．这个时期，把北京师大等十三院校编写的《总论》和《分论》，作为高等师范院校的数学教育理论学科的教材．1990年，北京师大曹才翰教授编著的《中学数学教学概论》问世，标志着我国数学教育理论学科已由数学教学法演变为数学教学论，由经验实用型转为理论应用型．
正当我国教育改革进入新时期之时，国外数学教育已出现了新的改革潮流，早在70年代，国外已把数学教育作为单独的科学来研究．过去从属于数学和教育学的“数学教学法”或“数学教材教法”，已演变成独立的边缘学科——“数学教育学”．
数学教育学是研究数学教育过程客观规律的一门实践性很强的综合性理论学科．它是数学、哲学、逻辑、教育、心理、现代教育技术等多种学科的边缘学科．它是一门正在形成、发展的学科，至于它的研究对象、内容与理论体系众说不一，大体有如下几种学说：
(1)教学中心说
这种学说以教学的一般规律为主线，结合数学教材教法建立数学教学的理论体系，它的内容主要介绍数学教学中的基本问题，如教学目的、内容、原则、方法、组织形式及数学各科的教学法，其代表作为前苏联伯拉基斯、李亚平的《数学教学法》．
(2)数学活动说
这种学说认为“数学教育的对象是数学教学”．所谓数学教学就是数学思维活动的教学，主张按数学思维规律的教学作为主线，建立数学教育的理论体系．其主要内容，在宏观上论述了数学的现代教法，突出了数学思维活动规律的教学；在微观上详述了学校数学中数学思想的形成和发展，并对一些最基本的数学概念、思想、方法进行具体分析，提出了教学参考方案．前苏联著名数学教育家斯托利亚尔所著的《数学教育学》为这一学说的代表作．
(3)三角形说
这种学说以数学课程、教师、学生为研究对象，以数学课程论、教学论、学习论为主线组建数学教育学的理论体系，这就是说以教学课程，教师和学生为三角形的三个顶点构成一个三角形的框架．这三个顶点分别对应着课程论，教学论和学习论．这个三角形的三条边反映着三者之间的关系，三角形内部则为教育的内部环境，而三角形的外部则为外部环境．因此，研究三角形上的三个顶点中的三种人(课程编写者，教师、学生) 和对应着的三种理论以及他们之间的关系及其三角形内，外部的影响和制约关系就成了“三角形说”的体系．北京师大曹才翰等著的《数学教育学概论》就是这一学说的典型代表作．
(4)体系说
这种学说认为数学教育学，是一个完整的学科体系．它应以数学为基础，教育为主线，利用科学方法论为指导，综合运用哲学、逻辑、教育、心理、现代教育技术等学科的理论，将各门独立分支学科组成一个完备的学科体系．这个体系的主要分支学科有：“数学思想史”、“数学方法论”、“数学教学论”、“数学学习论”、“数学课程论”、“数学教育评价”、“数学教育史”、“数学教育心理学”、“比较数学教育学”等．
二、数学教育哲学——数学教育学的理论基础之一
60年代席卷欧美，波及世界的“新数运动”，引起了国际数学教育界轩然大波．这是在结构主义数学观指导下，旨在重塑数学知识的逻辑结构，注重数学理解的一场数学教育改革运动．运动遭到挫折后，许多国家的数学家、数学教育家就这场运动作了多视角分析．从哲学来分析和思考，“新数运动”最大的哲学失误，是完全忽视了教师和学生的实际认识过程．随着国际上的数学教育改革运动的蓬勃发展，国际数学教育界愈来愈认识到，哲学对数学教育的指导意义是不可低估的．80年代以来，在多次国际数学教育会议(ICME)上，数学教育哲学，作为一个独立的论题被纳入会议议程，一群有志于研究数学教育哲学的学者组织了国际性的“数学教育哲学团体”(POME)．数学教育哲学作为数学教育学的理论基础，被越来越多的人认可．把它作为一门独立学科来研究也由此应运而生．
什么是数学教育哲学？英国学者P ·Ernest 认为，“这涉及到四个不同的邻域：对象(数学) ，教师和教学，学生和学习，以及社会环境．它们引出了一系列的哲学问题，包括数学哲学，教学的目的和理论，中介物(教材、计算机等) 的应用，学习理论，以及所有这些在整个文化环境中的关系等等”．南京大学郑毓信教授对此作了更具体说明，他认为“数学教育哲学主要包括以下三个问题：第一，什么是数学？这即是所谓的数学观．第二，为什么要进行数学教育？这涉及到了数学教育的目标及其评价标准．第三，应当怎样去进行数学教学？这就是关于数学学习和教学活动的认识论分析”．从数学教育哲学研究的三个主要方面可以看到，它与数学哲学研究的范畴是有一定区别的．数学哲学是对“数学活动”的哲学思考分析，它主要研究
数学对象的性质及存在方式；数学认识过程的特点和规律性；数学思维活动的一般规律和方法．而数学教育哲学是关于数学教育的哲学分析，是“关于数学教育的‘活的哲学’”． 数学教育哲学是一个正处于发展之中的新学科，尚未形成系统的理论．但在数学教育哲学所研究的三个主要方面，已形成了如下一些观点．
(1)关于数学观
数学观的现代发展，已由静态的绝对主义的数学观向动态的拟经验主义数学观转化．前者认为数学是数学知识的简单汇集，而后者则认为数学是人类一种创造性活动，它是一个由数学理论、数学方法、数学问题和数学待有的符号语言等多种成分所组成的复合体．这种复合体即是人类创造性活动的产物．
(2)关于数学教育的目标认识
数学教育哲学并不具体涉及如何制定数学教育的目标，它的任务只是对数学教育目标提供一个基本的认识框架．由此而提出了关于数学教育目标的“价值性原则”和“时代性原则”．所谓“价值性原则”，通常有两种说法，其一，数学是人们认识和实践活动的一种工具，即人们在日常生活和工作中，以及工程技术和科学研究中都离不开数学，它即是一种语言又是一种技术．其二，数学是思维的体操，能教你思考．数学教育的“时代性原则”是指的数学教育必须与社会的进步相适应；数学教育必须与数学发展相适应；数学教育必须与教育科学的发展相适应等三项原则．
(3)关于数学学习观
数学教学是建立在数学学习活动的基础之上的．因此，我们只有从认识论的角度去揭示数学学习活动及其本质．才可能解决“应当怎样去进行数学教学”的问题．
认知心理学认为，数学学习活动过程，是新的数学学习内容与学生原有数学认知结构中的有关内容相互作用，从而形成新的数学认知结构或扩大原有的数学认知结构的过程．在这个过程中，不应仅仅局限于研究学生的可见的行为，而应深入到认识主体(即学生) 内在的思维活动．按照“建构主义的学习观”认为，数学学习不是一个被动吸收的过程，而是学生以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程．
三、数学教育心理学——数学教育的理论基础之二
教育心理学也是人们在教育实践中发生、发展起来的．古今中外许多教育家、教育思想家，在总结了人类实践中所积累的丰富的经验基础上，概括出了不少教育心理学思想和论点，如孔子的《论语》、荀况的《劝学》、朱熹的《朱子全书》等等，都有关于教育心理学的论述．世界公认自美国心理学家桑代克(Thorndike)1903年撰写的《教育心理学》公开发表，标志着教育心理学已成为一门独立学科．
数学教育心理学作为一个相对独立的、专门的课题来研究，却起源于1972年第二届国际数学教育大会．在这次大会上，以色列、加拿大、德国等国的心理学家，交流了有关数学学习问题的论文，这些论文主要研究方向还是纯心理学的理论，大多数与数学发生的关系不大．于是，与会者发起组织一个工作组，着手综合各国研究的成果，给予评价．到了1976年第三届国际数学教育大会召开之时，以色列的学者(Fischbein)作了题为《关于数学学习过程的研究报告》，这篇报告是数学教育心理学研究发展的一个里程碑．它总结了该专题研究的现状，展望了发展趋势，也促使了数学教育心理学的国际性组织(简称PME) 的成立．这个组织每年都召
开例行的年会，讨论的课题既具体又广泛，有涉及教材内容方面的，也有学习方法研究的，总之，PME 致力于从实际教学中建立和发展数学教育心理学的理论．
数学教育心理学是研究在数学教育过程中的学和教的基本心理规律的学科，它是一门实验科学，以数学教学实际为起点和归宿，用观察、实验、调查、个案研究作为基本方法进行实证性研究．
数学教育心理学是一门新兴的学科，它的理论正逐步形成与完善．当前研究的主要趋势：一是，人们正在逐步放弃行为主义的观点和方法，转而多做认知方面的探索．认知论主要注重深入分析学生学习中大脑的思维过程，研究内部思考的基础、动因和机制，思考的方向、方式以及过程的展开等等．注意培养学生的主动性、创造性和科学的思考方法．二是，数学教育心理学借鉴了建构主义的许多观点．建构主义具有认知理论和方法论的双重身份．从认知理论角度来看，建构主义认为“所有知识都是被建构的”，知识起源于学生的动作、活动，学生通过外部运算的逐步内化，并对运算过程进行反省抽象(即人们对客体操作的内化过程，而不是对客体的一系列观察过程) ，从而建构成数学知识．从方法论的角度来看，建构主义认为，学生在接触数学学习之前，在日常生活中，学生已积累了一些非形式化的数学，在学习之中又接受了形式化的数学内容，它们之间交互作用，形成了个人的认知结构，因此，成功的教学必须是教师的讲授与学生的认知结构的有机结合．