函数的单调性
一、函数单调性的证明
题型一：用定义证明函数的单调性
例1、判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0) 上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x ) 是增函数还是减函数？
3解：f (x ) =-x +1在(-∞，0) 上
是减函数，证明如下：
在(-∞，0) 上任取x 1, x 2, 且x 1
f (x 1) -f (x 2) =(-x 13+1) -(-x 23+1)
2=(x 2-x 1)(x 12+x 1x 2+x 2)
x 32⎤⎡=(x 2-x 1) ⎢(x 1+2) 2+x 2 24⎥⎣⎦
又 x 2-x 1>0, x 32 (x 1+2) 2+x 2>024
∴f (x 1) -f (x 2) >0, 即f (x 1) >f (x 2)
所以f(x)在(－∞,0) 上是减函数
练习：1 证明函数f(x)=x{ EMBED Equation.3 |+x在R 上是单调增函数。（配方法） 2 证明函数f （x ）= -在定义域上是减函数。（分子有理化）
3 讨论函数f(x)＝在x(-1,1)上的单调性，其中a 为非零常数 （含字母参数时，要讨论参数范围）
题型二：图象法对单调性的判断
例1：指出下列函数的单调区间：
1)y =x 2-1( (2)y =-x 2+
2x +3
题型三：利用已知函数单调性进行判断
例1：判断函数
2 y = ( x + 2 ) 4 , 在(1，+∞) 上的单调性． 2，x +x （+2) 2-4
而当x >1时，u =(x +2) 2-4
3为正数且增函数，
结论1：y ＝f (x )(f (x ) 恒不为0），与 的单调性相反．
结论2： y ＝f (x ) 与y ＝kf (x ) 当k >0时，单调性相同；当k
结论3：若f (x ) 与g (x ) 在R 上是增函数，则f (x )+g (x ) 也是增函
结论4：若f (x ) 在R 上是增函数， g (x ) 在R 上是减函数，则f (x ) －g (x ) 也是增函数． 结论5：若f (x )(其中f (x )>0)在某个区间上为增函数，则也是增函数．
题型四：抽象函数的单调性
没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究抽象函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常用定义法；还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。
例1 已知函数f(x)对任意x,yR, 总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时，f(x)0,f(1)=--,.
(1) 求证f(x)在R 上是减函数。
(2) 求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值。
练习：
1. 定义域在（0,+）上的函数f(x)满足（:1）f(2)=1; (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) 当xy 时，有f(x)f(y),
若f(x)+f(x-3)2,求x 的取值范围。
2. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f()=2,对任意m ,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x 时，f(x).
(1).求f(-)的值。 （2）求证f(x)在定义域R 上是增函数。
题型五：复合函数f [g (x )]由f (x ) 和g (x ) 的单调性 1、定义：
设y=f(u),u=g(x),当x 在u=g(x)的中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量(即函数)
2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
函数 单调性
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
例1、已知，求的单调性。
例2：设y=f(x ) 的单增区间是(2，6) ，求函数y=f(2－x ) 的单调区间．
解：令t (x ) =2-x , 则由已知得
f (t ) 在t ∈（2，6）上是增函数，
而t (x ) =2-x ∈（2，6） ∴x ∈（－4，0）
∴f (2-x ) 的单减区间是（－4，0）
练习：（1）已知，求函数的单调性。
（2）已知，如果，那么（ ）
A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数
C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数
二、函数单调性的应用
1. 利用函数的单调性比较函数值的大小
例1 如果函数f(x)=x+bx+c,对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。 例2 已知函数y=f(x)在［0,+）上是减函数，试比较f()与f(a-a+1)的大小。
2. 利用函数的单调性解不等式
例3 已知f(x)是定义在R 上的单调函数，且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)
（1）解方程 f(x)=f(1-x)
(2) 解不等式 f(2x)f(1+x)
(3) 求适合f(x)2或f(x)0的x 的取值范围。
3．利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。
例1：已知函数y=x2－2ax ＋a 2－1在(－∞，1) 上是减函数，求a 的取值范围．
解：y =x 2-2ax +a 2-1 的减区间是（－∞，a ]， 显然，（－∞，1) ⊆（－∞，a ]， 即a ≥1
解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化．
练习：1、 已知f(x)=x-2(1-a)x+2在（-，4）上是减函数，求实数a 的取值范围。
2、已知A ＝［1,b ］(b),对于函数f(x)=(x-1)+1,若f(x)的定义域和值域都为A ，求b 的值。
3、已知函数y=f(x)=-x+ax-+在区间[0,1]上的最大值为2, 求实数a 的值。
4、如果f (x )=x 2－(a －1) x +5在区间（0.5，1）上是增函数，那么f (2)的取值范围是什么？
例2：已知：f (x ) 是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)
可转化为不等式组
⎧-1≤x -1≤1 ⎪2⎨-1≤x -1≤1 ⎪x -1
⎧0≤x ≤2 ⎪2∴0≤x ≤2⎨
⎪x 1⎩∴1
注： 在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制．保证实施的是等价转化．
练习： 已知y=f(x)在定义域（-1,1）上是减函数，且f(1-a)f(a-1),求a 的取值范围。
例3：已知f (x ) 在其定义域R ＋上为增函数，f (2)=1，f (xy ) =f(x )+f (y ) 解不等式, f (x )+f (x －2) ≤3 解： f (xy ) =f (x ) +f (y )
∴f (4) =f (2) +f (2) =2
∴f (8) =f (4) +f (2) =3
由题意有f (x 2-2x ) ≤f (8)
f (x ) 为R ＋上的增函数
⎧x >0⎪ ∴⎨x -2>0解得x ∈(2，4] ⎪x 2-2x ≤8 ⎩
解此类题型关键在于充分利用题目所给的条件，本题就抓住这点想办法构造出f (8)=3,这样就能用单调性解不等式了．
练习:
1．若f (x ) ＝x 2＋2(a －1) x ＋2在区间(－∞，4) 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )
A ．a －3 D ．a ≥－3
2．函数f (x ) 在区间(－2,3) 上是增函数，则y ＝f (x ＋5) 的一个递增区间是( )
A ．(3,8) B ．(－7，－2) C ．(－2，－3) D ．(0,5)
2⎧x ＋4x ，x ≥0，3．已知函数f (x ) ＝⎨|若f (2－a 2) ＞f (a ) ，则实数a 的取值范2⎩4x －x ，x ＜0.
围是( )
A ．(－∞，－1) ∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2) ∪(1，＋∞)
4．函数f (x ) ＝－x 2＋|x |的递减区间是________．
k k 5、(2010·深圳) 若函数h (x ) ＝2x －x |＋3|在(1，＋∞) 上是增函数，则实数k 的
取值范围是________．
3－ax (a ≠1) ． a －1
(1)若a >0，则f (x ) 的定义域是________；
(2)若f (x ) 在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 5．已知函数f (x ) ＝
6、证明函数在（1，+∞）上为减函数．
7、定义在（－1，1）上的函数是减函数，且满足：，求实数的取值范围。