2014年中考试题分类汇编（二次函数）含答案
一、选择题
1、（2014天津市）已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示，有下列5个结论：① abc >0；② b 0；④
2c m (am +b ) ，（m ≠1的实数）其中正确的结论有（ ）
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2、（2014南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、（2014广州市）二次函数y =x 2-2x +1与x 轴的交点个数是（ ）B A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、（2014云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y =ax +b 和二次函数 y =ax 2+bx 的图象可能为（ ）A
A
5、（2014四川资阳）已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象开口向上，并经过点(-1，
2) ，(1，0) . 下列结论正确的是( )D
A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小
C. 存在一个负数x 0，使得当x x0时，函数值y 随x 的增大而增大
D. 存在一个正数x 0，使得当x x 0时，函数值y 随x 的增大而增大
6、（2014山东日照）已知二次函数y =x 2-x+a(a ＞0) ，当自变量x 取m 时，其相应的函数值
小于0，那么下列结论中正确的是（ ）B
(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0
(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题
1、（2014湖北孝感）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图8所示，
且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |， 则P 、Q 的大小关系为 . P
2、（2014四川成都）如图9
y =ax 2-3x +a 2-1的图象，那么a 3、（2014江西省）已知二次函数y =-的部分图象如图所示，则关于x -x +2x +m =0的解为．2
x 1=-1，x 2=3；
4、（2014广西南宁）已知二次函数y =第4题
的图象如图所示，则点P (a ，bc ) 三、解答题
1、（2014天津市）知一抛物线与x 轴的交点是A (-2, 0) 、B （1，0），且经过点C （2，8）。
（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标。
解：（1）设这个抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c
由已知，抛物线过A (-2, 0) ，B （1，0），C （2，8）三点，得
⎧4a -2b +c =0⎪
⎨a +b +c =0（3分）解这个方程组，得a =2, b =2, c =-4 ⎪4a +2b +c =8⎩
∴ 所求抛物线的解析式为y =2x +2x -4（6分） （2）y =2x +2x -4=2(x +x -2) =2(x +) -∴ 该抛物线的顶点坐标为(-
2
2
2
12
2
9 2
19, -) 22
，-4) ，且过点B (3，0) ．2、（2014上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A (1
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标． 解：（1）设二次函数解析式为y =a (x -1) -4，
2
0) ，∴0=4a -4，得a =1． 二次函数图象过点B (3，
∴二次函数解析式为y =(x -1) 2-4，即y =x 2-2x -3．
（2）令y =0，得x -2x -3=0，解方程，得x 1=3，x 2=-1．
2
0) 和(-1，0) ． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(3，
∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．
0) 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(4，
，2) 3、（2014广东梅州）已知二次函数图象的顶点是(-1
（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象； （2）求证：对任意实数m ，点M (m ，-m 2) 都不在这个 二次函数的图象上．
解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为y =a (
x +1) 2+2， ······································ 2分
图10 又点 0⎪在它的图象上，可得 所求为y =-
⎛⎝3⎫2⎭
13
=a +2，解得a =-．
22
1
(x +1) 2+2． 令y =0，得x 1=1，x 22
画出其图象如右．
（2）证明：若点M 在此二次函数的图象上，
122
则-m =-(m +1) +2． 得m -2m +3=0．
2
方程的判别式：4-12=-8
2
所以原结论成立．
2
4、（2014贵州省贵阳）二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 答下列问题：
2
（1）写出方程ax +bx +c =0的两个根．（2分） （2）写出不等式ax +bx +c >0的解集．（2分）
（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（22
2
（4）若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 解：（1）x 1=1，x 2=3 （2）12 （4）k
图13
为y =x 2-4x -6．
（2）对称轴为x =2；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m ，m ）代入y =x 2-4x -6，得 m =m 2-4m -6， 解得m 1=-1, m 2=6．∵m ＞0，∴m 1=-1不合题意，舍去．
∴ m =6．∵点P 与点Q 关于对称轴x =2对称，∴点Q 到x 轴的距离为6．
6、（2014四川成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，
3) 和(-3，-12) ． 且过点(2，
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线l :y =kx (k ≠0) 与线段BC 交于点D （不与点B ，C 重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B ，O ，D 为顶点的三角形与△BAC 相似？若存在，求出该直线的函数
表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角
∠PCO 与∠ACO 的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标x p 的取值范围．
3) 和(解：（1） 二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，
⎧b
⎪-2a =1，⎧a =-1，⎪⎪
∴由⎨4a +2b +c =3， 解得⎨b =2，
⎪c =3. ⎪9a -3b +2=-12.
⎩⎪
⎩
∴此二次函数的表达式为 y =-x 2+2x +3．
（2）假设存在直线l :y =kx (k ≠0) 与线段BC 交于点D
B ，O ，D 为顶点的三角形与△BAC 相似．
在y =-x 2+2x +3中，令y =0，则由-x +2x +3=0，解得x 1=-1，x 2=3
2
∴A (-1，，0) B (3，0) ．令x =0，得y =3．∴C (0，3) ．
设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．
0) ，点C 的坐标为(0，3) ，点A 的坐标为(-1 点B 的坐标为(3，
∴BC ==∴AB =4OB =OC =3，∠OBC =45.
要使△BOD ∽△BAC 或△BDO ∽△BAC ， 已有∠B =∠B ，则只需
BD BC
=
BO BA
， ①
或
BO BC
=
BD BA
.
② 成立．
若是①，则有BD =
BO BC BA
=
3⨯
．而∠OBC =45，∴BE =DE ． =
44
2
2222
∴在Rt △BDE 中，由勾股定理，得BE +DE =2BE =BD =．
⎝⎭
993
BE =DE =（负值舍去）．∴OE =OB -BE =3-=． 解得
444
⎛39⎫
∴点D 的坐标为 ⎪．将点D 的坐标代入y =kx (k ≠0) 中，求得k =3．
⎝44⎭
∴满足条件的直线l 的函数表达式为y =3x ．
［或求出直线AC 的函数表达式为y =3x +3，则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为
y =3x ．此时易知△BOD ∽△BAC ，再求出直线BC 的函数表达式为y =-x +3．联立
⎛39⎫
y =3x ，y =-x +3求得点D 的坐标为 ⎪．］
⎝44⎭
若是②，则有BD =
BO BA BC
=
=．而∠OBC =45 ，∴BE =DE ． 2
2
2
2
∴在Rt △BDE 中，由勾股定理，得BE +DE =2BE =BD =2．
解得
BE =DE =2（负值舍去）．∴OE =OB -BE =3-2=1．∴点D 的坐标
，2) ． 为(1
将点D 的坐标代入y =kx (k ≠0) 中，求得k =2．∴满足条件的直线l 的函数表达式为
y =2x ．
∴存在直线l :y =3x 或y =2x 与线段BC 交于点D （不与点B ，C 重合），使得以
⎛39⎫
B ，O ，D 为顶点的三角形与△BAC 相似，且点D 的坐标分别为 ⎪或(1，2) ．
⎝44⎭3) E (1，0) 的直线y =kx +3(k ≠0) 与该二次函数的图象交于点P ． （3）设过点C (0，，
，0) 的坐标代入y =kx +3中，将点E (1求得k =-3． ∴此直线的函数表达式为y =-3x +3．-3x +3) ，并代入y =-x 2+2x +3，得x -5
x =设点P 的坐标为(x ，
解得x 1=5，x 2=0（不合题意，舍去）．∴x =5，y =-12．
2
-12) ．此时，锐角∠PCO =∠ACO ． ∴点P 的坐标为(5，
又 二次函数的对称轴为x =1，
3) ． ∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(2，
∴当x p >5时，锐角∠PCO ∠ACO ．
7、（2014四川眉山）如图，矩形A ’BC ’O ’是矩形OABC(边OA 在x y 轴正半轴上) 绕B 点逆时针旋转得到的．O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3) ． (1)如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0) 的图象经过O 、O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为 —1．求这个二次函数的解析式；
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P ，使得ΔPOM 为直角三角形? 若存在，请求出P 点的坐标和ΔPOM 的面积；若不存在，请说明理由； (3)求边C ’O ’所在直线的解析式．
8、（2014山东日照）容积率t 是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t =
M 建筑面积S 用地面积
，
为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t 不小于1且不大于8. 一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M （m 2）与容积率t 的关系可近似地用如图（1）中的线段l 来表示；1 m 2建筑面积上的资金投入Q （万元）与容积率t 的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c 来表示．
（Ⅰ）试求图（1）中线段l 的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积； （Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c 的函数关系式. 解：（Ⅰ）设线段l 函数关系式为M =kt +b ，由图象得
, 0, ⎧2k +b =2800⎧k =13000
⎨解之，得⎨
6k +b =8000. 0b =2000. ⎩⎩
∴线段l 的函数关系式为M ＝13000t +2000, 1≤t ≤8. 由t =
M 建筑面积S 用地面积
知，当t =1时，S 用地面积=M 建筑面积，
把t =1代入M ＝13000t +2000中，得M =15000 m2. 即开发该小区的用地面积是15000 m2.
（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段c 的函数关系式为Q ＝a ( t －4) 2+k , 把点（4, 0.09）,
1⎧a =, ⎪⎧k =0. 09, ⎪100
（1, 0.18）代入，得 ⎨ 解之，得⎨2
⎩a (1-4) +k =0. 18. ⎪k =9.
⎪100⎩
∴抛物线段c 的函数关系式为 Q ＝
191221
( t－4) 2+, 即Q ＝t -t +, 1≤t ≤8. [1**********]4
9、（2006四川资阳）如图10，已知抛物线P ：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点
A 在x 轴的正半轴上) ，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；
(2) 若点D 的坐标为(m ，0) ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；
(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.
若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分) ： 图10
(2) 若点D 的坐标为(1，0) ，求矩形DEFG 的面积. 解：⑴ 解法一：设y =ax 2+bx +c (a 0) ，
1
任取x , y 的三组值代入，求出解析式y =x 2+x -4， ······································· 1分
2
令y =0，求出x 1=-4, x 2=2；令x =0，得y =-4，
∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A (2，0) ，B (-4，0) ，C (0，-4) . ······················· 3分
55
解法二：由抛物线P 过点(1，-) ，(-3，-) 可知，
22
抛物线P 的对称轴方程为x =-1， ·········································································· 1分 又∵ 抛物线P 过(2，0) 、(-2，-4) ，则由抛物线的对称性可知， 点A 、B 、C 的坐标分别为 A (2，0) ，B (-4，0) ，C (0，-4) . ································ 3分
AD DG
⑵ 由题意，，而AO =2，OC =4，AD =2-m ，故DG =4-2m ， ············· 4分 =
AO OC
BE EF 又 ，EF =DG ，得BE =4-2m ，∴ DE =3m ， ········································ 5分 =
BO OC ∴S DEFG =DG ·DE =(4-2m ) 3m =12m -6m 2 (0＜m ＜2) . ··············································· 6分 注：也可通过解Rt △B OC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. 2 6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D (1，0) ，G (1，-2) ，F (-2，-2) ，E (-2，0) ， ···· 7分
2222
设直线DF 的解析式为y =kx +b ，易知，k =，b =-，∴y =x -，
33331
又可求得抛物线P 的解析式为：y =x 2+x -4
， ·············
·····························
8分
221
令x -=x 2+x -4
，可求出x . 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ，则N 的横坐
2
N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有
FN HE =，
··························································· 9分 =
3DF DE
点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是 k 且k ＞0. ························
···································································· 10分
说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分. 若选择另一问题：
-2-
AD DG
，而AD =1，AO =2，OC =4，则DG =2， ······································ 4分 =
AO OC FG CP 又， 而AB =6，CP =2，OC =4，则FG =3， =
AB OC
∴S DEFG =DG ·FG =6.
⑵ ∵
10、（2014山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，2) ，点B 的坐标为
(31)，，二次函数y =x 2的图象记为抛物线l 1．
（1）平移抛物线l 1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．
（2）平移抛物线l 1，使平移后的抛物线过A ，B 两点，记为抛物线l 2，如图②，求抛物线l 2的函数表达式．
（3）设抛物线l 2的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若S △ABK =S △ABC ，求点K 的坐标． （4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．
2
x x x
图① 图② 图③
解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如y =x 2+1，y =x 2+x ，y =(x -1) 2+2或
y =x 2-2x +
3，y =(x
1) 2，y =(x -12．
（2）设抛物线l 2的函数表达式为y =x +bx +c ，
2
2
2) ，B (31)，在抛物线l 2上， 点A (1，
9⎧b =-，⎪⎧1+b +c =2，⎪2解得⎨ ∴⎨
⎩9+3b +c =1⎪c =11.
⎪⎩2
911
∴抛物线l 2的函数表达式为y =x 2-x +．
22
x
911⎛9⎫7⎛97⎫（3）y =x 2-x += x -⎪+，∴C 点的坐标为 ⎪． 22⎝4⎭16⎝416⎭
过A ，B ，C 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，
则AD =2，CF =2753，BE =1，DE =2，DF =，FE =． 1644
∴S △ABC =S 梯形ADEB -S 梯形ADFC -S 梯形CFEB ．
11⎛7⎫51⎛7⎫315=(2+1) ⨯2- 2+⎪⨯- 1+⎪⨯=． 22⎝16⎭42⎝16⎭416
延长BA 交y 轴于点G ，设直线AB 的函数表达式为y =mx +n ，
1⎧m =-，⎪⎧2=m +n ，⎪22) ，B (31)，在直线AB 上，∴⎨解得⎨ 点A (1，⎩1=3m +n . ⎪n =5. ⎪⎩2
15⎛5⎫∴直线AB 的函数表达式为y =-x +．∴G 点的坐标为 0⎪． 22⎝2⎭
设K 点坐标为(0，h ) ，分两种情况：
若K 点位于G 点的上方，则KG =h -5．连结AK ，BK ． 2
15⎫15⎫5⎛⎛S △ABK =S △BKG -S △AKG =⨯3⨯ h -⎪-⨯1⨯ h -⎪=h -． 22⎭22⎭2⎝⎝
S △ABK =S △ABC =5515515⎛55⎫，∴h -=，解得h =．∴K 点的坐标为 0⎪． 1616216⎝16⎭
255-h ．同理可得，h =． 162若K 点位于G 点的下方，则KG =
⎛25⎫∴K 点的坐标为 0⎪． ⎝16⎭
（4）作图痕迹如图③所示．
由图③可知，点P 共有3个可能的位置．
2x
11、（2014浙江省）如图，抛物线y =x -2x -3与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），
直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由。
解：（1）令y=0，解得x 1=-1或x 2=3（1分）
∴A （－1，0）B （3，0）；（1分）
将C 点的横坐标x =2代入y =x 2-2x -3得y=－3，∴C （2，－3）（1分）
∴直线AC 的函数解析式是y=－x －1
（2）设P 点的横坐标为x （－1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不扣分）
则P 、E 的坐标分别为：P （x ，－x －1），（1分）
E （(x , x -2x -3) （1分）
∵P 点在E 点的上方，PE=(-x -1) -(x -2x -3) =-x +x +2（2分） ∴当x =22219时，PE 的最大值=（1分） 24
（3）存在4个这样的点F
，分别是F ,0), F 2(-3,0), F 3(4F 4(4 1(1