函数的概念
1．函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作：y =f (x ) ，x ∈A 。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y =f (x ) ”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g(x ) ”；
（2）函数符号“y =f (x ) ”中的f (x ) 表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x 。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3．两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f 。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 4．区间
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。 5．映射
一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f ：A →B ”。
映射和函数的区别：映射是两个集合之间的对应关系，集合A 所有元素在B 中有元素对应，集合B 中的元素在A 中不一定有对应的元素。但是函数，自变量x 所有的值在因变量y 里面都有对应，而因变量y 的所有元素在自变量x 中也有对应； 6．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 7．复合函数
若y =f (u)，u=g(x ), x ∈(a ，b ) ，u ∈(m,n)，那么y =f [g(x )]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x ) 的值域。
典例解析
题型1：函数概念
⎧2-x , x ∈(-∞,1]1
1. 设函数f （x ）＝⎨，则满足f （x ）=的x 值为 。
4log x, x ∈(1,+∞) ⎩81
x -1
⎧⎪2e , x ＜2，
则f (f (2))的值为（ ） 2. 设f (x ) =⎨2
⎪⎩log 3(x -1) ，x ≥2.
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
题型2：判断两个函数是否相同
1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f （x ）=x 2，g （x ）=x 3；
（2）f （x ）=
|x |
⎧x ≥0, x ，g （x ）=⎨1⎩-1x
（3）f （x ）=2n x 2n +1，g （x ）=（2n x ）2n －
1（n ∈N *）； （4）f （x ）=x
x +1，g （x ）=x 2+x ；
（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。
题型3：函数定义域问题
1. 求下述函数的定义域：
f (x ) =2x -x 2
（1）lg(2x -1)
+(3-2x ) 0；
⎧⎪
2x -x 2≥0解：（1） ⎪⎨2x -1>0
x -1≠1
，解得函数定义域为(1, 1) (1, 3) (3, 2⎪2222].
⎪⎩3-2x ≠0
2. 已知函数f (x )定义域为(0，2) ，求下列函数的定义域：
(1) f (x 2
) +23；
(2)y =2
解：（1）由0＜x 2
＜2， 得
3. 已知函数f （x ）=
x -1
ax 2+ax -3
的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（A ．a ＞
13
B ．－12＜a ≤0
C ．－12＜a ＜0
D ．a ≤
13
解：由a =0或⎧⎨a ≠0,
⎩
Δ=a 2
-4a ⨯(-3)
例5．求下列函数的值域：
（1）y =3x 2
-x +2；（2
）y =；（3）y =
3x +1
x -2
；
）
12323
y =3x 2-x +2=3(x -) 2+≥，
61212
23
∴y =3x 2-x +2的值域为[, +∞) 。
12
解：（1）（配方法）
改题：求函数y =3x 2-x +2，x ∈[1,3]的值域。
解：（利用函数的单调性）函数y =3x 2-x +2在x ∈[1,3]上单调增， ∴当x =1时，原函数有最小值为4；当x =3时，原函数有最大值为26。 ∴函数y =3x 2-x +2，x ∈[1,3]的值域为[4,26]。
（2）求复合函数的值域：
设μ=-x -6x -5（μ≥0）
，则原函数可化为y 又∵μ=-x 2-6x -5=-(x +3) 2+4≤4， ∴0≤μ≤
42
。
[0,2]，
∴y =的值域为[0,2]。
（3）（法一）反函数法： y =
3x +12x +1
的反函数为y =，其定义域为{x ∈R |x ≠3}，
x -3x -2
∴原函数y =
3x +1
的值域为{y ∈R |y ≠3}。 x -2
3x +13(x -2) +77
， ==3+
x -2x -2x -2
（法二）分离变量法：y =∵
77
≠0，∴3+≠3， x -2x -2
∴函数y =
3x +1
的值域为{y ∈R |y ≠3}。 x -2
1x
1
，求f (x ) ； x 3
题型5：函数解析式
3
例6．（1）已知f (x +) =x +
（2）已知f (+1) =lg x ，求f (x ) ；
3解：（1）∵f (x +) =x +
2
x
1x 1131=(x +) -3(x +) ， 3x x x
∴f (x ) =x -3x （x ≥2或x ≤-2）。
3
22
+1=t （t >1），则x =， x t -122
(x >1) 。 ∴f (t ) =lg ，f (x ) =lg
t -1x -1
（2）令
题型6：函数应用
例1．某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：
3600-3000
=12，所以这时租出了88辆车。
50
（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为： f （x ）=（100－
x -3000x -3000
）（x －150）－×50，
5050
x 212
整理得：f （x ）=－+162x －21000=－（x －4050）+307050。
5050
所以，当x =4050时，f （x ）最大，其最大值为f （4050）=307050。
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
函数的性质
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f (x ) 定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x ) ，则称f (x ) 为奇函数；如果对于函数f (x ) 定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x ) ，则称f (x ) 为偶函数。 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○
2 确定f (－x ) 与f (x ) 的关系； ○
3 作出相应结论： ○
若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x ) －f (x ) = 0，则f (x ) 是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x ) ＋f (x ) = 0，则f (x ) 是奇函数。 （3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；
②设f (x ) ，g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2) ），那么就说f (x ) 在区间D 上是增函数（减函数）；注意：
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1
（2）如果函数y =f (x ) 在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x ) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x ) 的单调区间。
（3）设复合函数y = f[g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f[g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集：
①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f(u ) 在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f[g(x )]在A 上是增函数；
②若u =g(x ) 在A 上是增（或减）函数，而y = f(u ) 在B 上是减（或增）函数，则函数y = f[g(x )]在A 上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f (x ) 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1
2 作差f (x 1) －f (x 2) ； ○
3 变形（通常是因式分解和配方）○； 4 定号（即判断差f (x 1) －f (x 2) 的正负）○；
5 下结论（即指出函数f (x ) 在给定的区间D 上的单调性）○。 （5）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：
增函数f (x ) +增函数g (x ) 是增函数；减函数f (x ) +减函数g (x ) 是减函数； 增函数f (x ) -减函数g (x ) 是增函数；减函数f (x ) -增函数g (x ) 是减函数。 3．最值
（1）定义：
最大值：一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x ) ≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M。那么，称M 是函数y =f (x ) 的最大值。
最小值：一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x ) ≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M。那么，称M 是函数y =f (x ) 的最大值。 注意：
1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M； ○
2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x ) ○
≤M （f (x ) ≥M ）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○
2 利用图象求函数的最大（小）值； ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○
如果函数y =f (x ) 在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x ) 在x =b 处有最大值f (b ) ； 4．周期性
（1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T)= f(x ) ，则称f (x ) 为周期函数；
（2）性质：①f (x+T)= f(x ) 常常写作f (x +
T T
) =f (x -), 若f (x ) 的周期中，存在一个最22
小的正数，则称它为f (x ) 的最小正周期；②若周期函数f (x ) 的周期为T ，则f (ωx ) （ω≠0）是周期函数，且周期为5. 例题
例1．讨论下述函数的奇偶性：
T |ω|
。
(1)f (x ) = 解：（1）函数定义域为R ，
x +1 先化简：f (x ) =+1=4x +4-x +1，显然f (x ) 为偶函数；从这可以看出，x
4
化简后再解决要容易得多。
例2．设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y =－|f （x ）|；②y =xf （x 2）；③y =－f （－x ）；④y =f （x ）－f （－x ）。
必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号） 答案：②④；解析：y =（－x ）f ［（－x ）2］=－xf （x 2）=－y ；y =f （－x ）－f （x ）=－y 。 点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。 例3．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=log 3（1+x ），则f （－2）=____ _。
答案：－1；解：因为x ≥0时，f （x ）=log 3（1+x ），又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）=－f （x ），设x ＜0，所以f （x ）=－f （－x ）=－f （1－x ），所以f （－2）=－lo g 33=－1。 例4．已知定义在R 上的函数y = f (x ) 满足f (2+x )= f (2－x ) ，且f (x ) 是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x ) 的表达式。
解：由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑： ①若x ∈[－2，0]，－x ∈[0，2]， ∵f (x ) 为偶函数，
∴当x ∈[－2，0]时，f (x )= f(－x )=－2x －1,
②若x ∈[－4，－2) ， ∴4+ x∈[0，2) ，
∵f (2+x )= f(2－x ) ， ∴f (x )= f(4－x ) ，
∴f (x )= f(－x )= f[4－（－x ）]= f(4+x )=2（x +4）－1=2x +7； 综上，f (x ) =⎨
⎧2x +7⎩-2x -1
(-4≤x ≤=2)
.
(-2
例4．（1）求函数y =log 0.7(x 2-3x +2) 的单调区间；
解：（1）函数的定义域为(-∞, 1) ⋃(2, +∞) ，
分解基本函数为y =log 0. 7t 、t =x 2-3x +2
显然y =log 0. 7t 在(0, +∞) 上是单调递减的，而t =x 2-3x +2在(-∞, 1), (2, +∞) 上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：
所以函数y =log 0.7(x 2-3x +2) 在(-∞, 1), (2, +∞) 上分别单调递增、单调递减。 例5．已知偶函数f (x ) 在(0，+∞) 上为增函数，且f (2)=0，解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0。
解：∵f (2)=0,∴原不等式可化为f ［log 2(x 2+5x +4)］≥f (2)。 又∵f (x ) 为偶函数，且f (x ) 在(0，+∞) 上为增函数， ∴f (x ) 在(－∞,0) 上为减函数且f (－2)=f (2)=0。 ∴不等式可化为 log 2(x 2+5x +4)≥2 ① 或 log 2(x 2+5x +4)≤－2 ② 由①得x 2+5x +4≥4，∴x ≤－5或x ≥0 ③ 由②得0＜x 2+5x +4≤
1
得 4
④
-5--5+≤x ＜－4或－1＜x ≤ 22由③④得原不等式的解集为
{x |x ≤－5或
-5--5+≤x ≤－4或－1＜x ≤或x ≥0}。 22
基本初等函数
1．指数与对数运算
（1）根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于a (n >1, 且n ∈N ) ，则这个数称a 的n 次方根。即若
*
x n =a ，则x 称a 的n 次方根n >1且n ∈N *) ，
1）当n 为奇数时，a 的n 次方根记作a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作±a (a >0) 。
②性质：1）(n a ) n =a ；2）当n 为奇数时，a =a ；
n
⎧a (a ≥0)
3）当n 为偶数时，a =|a |=⎨。
-a (a
（2）．幂的有关概念
①规定：1）a =a ⋅a ⋅ ⋅a (n ∈N *；2）a =1(a ≠0) ； n 个
n
3）a
-p
1
=p (p ∈Q ，4）a n =a m (a >0, m 、n ∈N * 且n >1) 。 a
m
②性质：1）a r ⋅a s =a r +s (a >0, r 、s ∈Q ）； 2）(a r ) s =a r ⋅s (a >0, r 、s ∈ Q ）； 3）(a ⋅b ) r =a r ⋅b r (a >0, b >0, r ∈ Q ）。 （注）上述性质对r 、s ∈R 均适用。 （3）．对数的概念
①定义：如果a (a >0, 且a ≠1) 的b 次幂等于N ，就是a b =N ，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N =b , 其中a 称对数的底，N 称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，log 10N 记作lg N ；
2）以无理数e (e =2. 71828 ) 为底的对数称自然对数，log e N ，记作ln N ； ②基本性质：
1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）log a 1=0； 3）log a a =1；4）对数恒等式：a
log a N
=N 。
③运算性质：如果a >0, a ≠0, M >0, N >0, 则 1）log a (MN ) =log a M +log a N ； 2）log a
M
=log a M -log a N ； N
3）log a M n =n log a M (n ∈R ）。 ④换底公式：log a N =
log m N
(a >0, a ≠0, m >0, m ≠1, N >0),
log m a
n
log a b 。 m
n
1）log a b ⋅log b a =1；2）log a m b =
2．指数函数与对数函数
（1）指数函数：
①定义：函数y =a (a >0, 且a ≠1) 称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为(0, +∞) ；
3）当01时函数为增函数。
x
②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当01时，图象向右无限接近x 轴）；
3）对于相同的a (a >0, 且a ≠1) ，函数y =a x 与y =a -x 的图象关于y 轴对称。 ③函数值的变化特征：
（2
①定义：函数
y =log a x (a >0, 且a ≠1
) 称对数函数， 1）函数的定义域为(0, +∞) ；2）函数的值域为R ；
3）当01时函数为增函数；
4）对数函数y =log a x 与指数函数y =a (a >0, 且a ≠1) 互为反函数。 ②函数图像：
1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；
x
2）对数函数都以y 轴为渐近线（当01时，图象向下无限接近y 轴）；
4）对于相同的a (a >0, 且a ≠1) ，函数y =log a x 与y =log 1x 的图象关于x 轴对称。
a
③函数值的变化特征：
典例解析
题型1：指数运算
211
--3-240.50.25
例1．（1）计算：[(3) 3-(5) +(0.008)3÷(0.02)2⨯(0.32)2]÷0.0625；
89
（2）化简：
a -8a b 4b +2ab +a
2
4313
2323
÷(a
-
23
23b a ⋅a 2-) ⨯。
3a a ⋅a
2
1
[1**********]254
解：（1）原式=) 3-() 2+() ÷50⨯]÷()
[1**********]
1
471421172
=[-+25⨯⨯]÷=(-+2) ⨯2=； 932995210
a [(a ) -(2b ) ](a ) +a ⋅(2b ) +(2b )
1
32
13
13
132
13
133
133
（2）原式=
÷
a -2b (a ⋅a )
⨯111 a
(a 2⋅a 3) 5
23
13132312
=a (a -2b ) ⨯
12
12
131313
a a -2b
13
13
⨯
a a
5616
=a ⨯a ⨯a =a 2。
13
例2．已知x +x
12
-
=3，求
x 2+x -2-2x +x
32
-32
的值。
-3
解：∵x +x
-
12
=3，
∴(x +x ) =9，
∴x +2+x -1=9，
∴x +x -1=7，
∴(x +x -1) 2=49，
∴x 2+x -2=47， 又∵x +x
∴32-3212-122=(x +x ) ⋅(x -1+x -1) =3⋅(7-1) =18， =47-2=3。 18-312-12x 2+x -2-2x +x 3
2-3
2-3
2例3．计算 （1）(lg2)+lg2⋅lg50+lg25；（2）(log32+log 92) ⋅(log43+log 83) ；
解：（1）原式=(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+1)lg2+2lg5 =(1+1)lg 2+2lg5=2(lg2+lg5) =2；
（2）原式=(lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3+) ⋅(+) =(+) ⋅(+ lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2
3lg 25lg35⋅=； 2lg36lg 24 =
题型3：指数、对数方程
例4．方程log 2(x -1) =2-log 2(x +1) 的解为。
解：考察对数运算。原方程变形为log 2(x -1) +log 2(x +1) =log 2(x -1) =2，即2
⎧x -1>0x 2-1=4，得x =±5。且⎨有x >1。从而结果为。
⎩x +1>0
x -1⎧⎪2e , x ＜2，则f (f (2))的值为（ ） 例5．设f (x ) =⎨2⎪⎩log 3(x -1) ，x ≥2.
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
-1f (logx ) =x +x (a >0, 且a ≠1) 试求函数f (x ) 的单调区间。 a 例6．已知
解：令log a x =t ，则x =a t ，t ∈R 。
-t x -x 'f (t ) =a +a f (x ) =a +a 所以即，（x ∈R ）。
因为f (－x )=f (x ) ，所以f (x ) 为偶函数，故只需讨论f (x ) 在[0，+∞）上的单调性。 任取x 1，x 2，且使0≤x 1≤x 2，则
f (x 2) -f (x 1)
=(a x 2+a -x 2) -(a x 1+a -x 1)
(a x 1-a x 2)(1-a x 1+x 2) =a x 1+x 2
x 1x 2x 1+x 2>1，（1）当a >1时，由0≤x 1≤x 2，有00，
即f (x ) 在[0，+∞]上单调递增。
（2）当0
(x 2) -f (x 1) >0，即f (x ) 在[0，+∞]上单调递增。
综合所述，[0，+∞]是f (x ) 的单调增区间，（－∞，0）是f (x ) 的单调区间。 题型6：对数函数的概念与性质
例7．函数y =log 2x -2的定义域是（ ）
A ．(3, +∞) B ．[3, +∞) C ．(4, +∞) D ．[4, +∞) 例8．当a >1时，函数y =loga x 和y =(1－a ) x 的图象只可能是( )
例8．已知函数f (x ) =log a (ax -x )(a >0, a ≠1为常数）
（1）求函数f (x ) 的定义域；
（2）若a =2，试根据单调性定义确定函数f (x ) 的单调性。
解：（1）由ax -x >0x
∵a ＞0，x ≥0 ∴⎧⎨x ≥0⇒x >1
⎩x
∴f (x ) 的定义域是x ∈(1
a 2, +∞) 。
（2）若a =2，则f (x ) =log 2(2x -x ) 设x 1>x 2>1
4 ， 则
(2x 1-x 1) -(2x 2-x 2) =2(x 1-x 2) -(x 1-x 2) =(x 1-x 2)[2(x 1+x 2) -1]>0 ∴f (x 1) >f (x 2) 故f (x ) 为增函数。 （幂函数） 所以