1. 【2015高考新课标1，理7】设D 为∆ABC 所在平面内一点BC =3CD ，则（ ）
4 1 4 1
（A ）AD =-AB +AC (B)AD =AB -AC
3333
4 1 4 1
（C ）AD =AB +AC (D)AD =AB -AC
3333
【答案】A
2015-2016年平面向量真题汇总
1 1 4 1
【解析】由题知AD =AC +CD =AC +BC =AC +(AC -AB ) ==-AB +AC ，故选A.
3333
【考点定位】平面向量的线性运算
【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，是基础
题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量AD 表示为AC +CD ，再用已知条件和向量减法将
CD 用AB , AC 表示出来.
2. 【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC =60 , 则BD ⋅CD =（ ）
（A ）-
3233
a （B ）-a 2 （C ） a 2错误！未找到引用源。 （D ） 244
32
a 错误！未找到引用源。 2
【答案】D
2 3222
【解析】因为BD ⋅CD =BD ⋅BA =BA +BC ⋅BA BA +BC ⋅BA =a +a cos 60=a
2
()()
故选D.
【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.
【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.
3. 【2015高考陕西，理7】对任意向量a , b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A ．|a ⋅b |≤|a ||b | B ．|a -b |≤||a |-|b ||
2 2 2 2
C ．(a +b ) =|a +b | D ．(a +b )(a -b ) =a -b
【答案】B
【解析】因为a ⋅b =a b cos a , b ≤a b ，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a -b ≤a -b 2 2
不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；a +b a -b =a -b ，
()()
所以选项D 正确．故选B ．
【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．
【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即a ⋅b
=a b cos a , b ，
2
a 2=a ．
4. 【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，AB =6，AD =4. 若点M ，N 满足
BM =3MC ，DN =2NC ，则AM ⋅NM =（ ）
（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】
3 1 1
AM =AB +AD , NM =CM -CN =-AD +AB ，所以
443
1 1 2 211
AM NM =(4AB +3AD ) (4AB -3AD ) =(16AB -9AD ) =(16⨯36-9⨯16) =9，选C.
4124848
【考点定位】平面向量.
【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的
已知元素. 本题中，由于AB =6，AD =4故可选AB , AD 作为基底.
5. 【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a
|=（ ） A 、
|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 π
4
B 、
π3π C 、24
D 、π
【答案】A
【考点定位】向量的夹角.
【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.
6. 【2015高考安徽，理8】∆ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB=2a ，
AC =2a +b ，则下列结论正确的是（ ）
（A ）b =1 （B ）a ⊥b （C ）a ⋅b =1 （D ）4a +b ⊥BC
()
【答案】D 【解析】如图，
由题意，BC =AC -AB =(2a +b ) -2a =b ，则|b |=2，故A 错误；|2a |=2|a |=2，所以
2
|a |=1，又AB ⋅AC =2a ⋅(2a +b ) =4|a |+2ab =2⨯2cos 60=2，所以a ⋅b =-1，故B , C 错
误；设B , C 中点为D ，则AB +AC =2AD ，且AD ⊥BC ，而2AD =2a +(2a +b ) =4a +b ，所
以4a +b ⊥BC ，故选D.
()
【考点定位】1. 平面向量的线性运算；2. 平面向量的数量积.
【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点. 当出现线性运算问题时，注意两个向量
的差OA -OB =BA ，这是一个易错点，两个向量的和OA +OB =2OD （D 点是AB 的中点）. 另外，
要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量AB , AC ，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公
式、坐标公式、几何意义等.
1
7. 【2015高考福建，理9】已知AB ⊥AC , AB =, AC =t ，若P 点是∆ABC 所在平面内一点，且
t
AB 4AC
AP =+ ，则PB ⋅PC 的最大值等于（ ）
AB AC
A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 【答案】A
【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则
1
（1，0)+4(0,1)=(1,4)，即B (,0) ，C (0,t ) ，AP =
t
1
P （1，4) ，所以PB =（-1，-4) ，PC =（-1，t-4) ，因此
t
PB ⋅PC
111
=1--4t +16=17-(+
4t ) ，因为+4t ≥=4，
t t t
11
所以PB ⋅PC 的最大值等于13，当=4t ，即t =时取等
t 2
号．
【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实
AB
现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题，本题容易出错的地方是对AB
的理解不到位，从而导致解题失败．
8. 【2015高考北京，理13】在△ABC 中，点M ，N 满足AM =2MC ，BN =NC ．若MN =xAB +y AC ，
则x = 【答案】
；y =
．
11, -
26
【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题. 利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.
9. 【2015高考湖北，理11】已知向量OA ⊥AB ，|OA |=3，则OA ∙OB =【答案】9
【解析】因为OA ⊥AB ，|OA |=3，
222
所以OA ∙OB =OA ∙(OA +AB ) =|OA |+OA ∙OB =|OA |=3=9.
【考点定位】 平面向量的加法法则，向量垂直，向量的模与数量积.
【名师点睛】平面向量是新教材新增内容，而且由于向量的双重“身份”是研究一些数学问题的工具. 这类问题难度不大，以考查基础知识为主.
10. 【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中, 已知AB //DC , AB =2, BC
=1, ∠ABC =60 , 动点E
1
和F 分别在线段BC 和DC 上, 且, BE =λBC , DF =DC , 则AE ⋅AF 的最小值为 .
9λ
【答案】
29 18
【解析】因为DF =
1 1
DC , DC =AB ，9λ2
1 1-9λ 1-9λ CF =DF -DC =DC -DC =DC =AB ，
9λ9λ18λ
1-9λ 1+9λ AE =AB +BE =AB +λBC ，AF =AB +BC +CF =AB +BC +AB =AB +BC ，
18λ18λ
⎛1+9λ ⎫1+9λ 2 2⎛ 1+9λ⎫
AE ⋅AF =AB +λBC ⋅ AB +BC ⎪=AB +λBC + 1+λ⋅⎪AB ⋅BC
18λ18λ18λ⎝⎭⎝⎭
()
211717291+9λ19+9λ
+λ+≥+= ⨯4+λ+⨯2⨯1⨯
cos120︒=
9λ218181818λ18
212 29
当且仅当. =λ即λ=时AE ⋅AF 的最小值为
9λ2318
=
A
B
【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.
【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式. 运用向量的几何运算求AE , AF ，
体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE ⋅AF ，体现了数学定义的运用，再利用基本
不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力. 是思维能力与计算能力的综合体现.
1
11. 【2015高考浙江，理15】已知e 1, e 2是空间单位向量，e 1⋅e 2=，若空间向量b 满足
2
5
b ⋅e 1=2, b ⋅e 2=，且对于任意x , y ∈R ，b -(xe 1+ye 2) ≥b -(x 0e 1+y 0e 2) =1(x 0, y 0∈R ) ，则
2
x 0=，y
【答案】1，2，
【考点定位】1. 平面向量的模长；2. 函数的最值
【名师点睛】本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题，分析题意可得问
题等价于b -(xe 1+ye 2) 当且仅当x =x 0，y =y 0时取到最小值1，这是解决此题的关键突破口，也是最
小值的本质，两边平方后转化为一个关于x ，y 的二元二次函数的最值求解，此类函数最值的求解对考生 来说相对陌生，此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利用配方的方法求解，关于二元二次 函数求最值的问题，在14年杭州二模的试题出现过类似的问题，在复习时应予以关注.
12. 【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=_________．
【答案】
1 2
⎧λ=k ，1
k a +2b ）【解析】因为向量λa +b 与a +2b 平行，所以λa +b =（，则⎨所以λ=．
2⎩1=2k ,
【考点定位】向量共线．
【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题．
11
k πk πk π
13. 【2015江苏高考，14】设向量a k =(cos,sin +cos )(k =0,1,2, ,12) ，则∑
666k =0
(a k a k+1) 的值
为
【答案】【解析】
a k a k+1=(cos
k πk πk π(k +1) π(k +1) π(k +1) π
,sin +cos ) ⋅(cos,sin +cos ) 666666
k π(k +1) πk πk π(k +1) π(k +1) π
cos +(sin+cos ) ⋅(sin+cos ) 666666k π(k +1) πk π(k +1) πk π(k +1) πk π(k +1) πk π(k +1) π=(coscos +sin sin ) +(sincos +
cos sin ) +cos cos
6666666666π2k π+πk π(k +1) π2k π+πk π1k πk π
=cos +sin +cos cos =sin 2-
cos sin
666666266=cos
=
2k π+πk π1k π2k π+π1(2k +1) π
+sin ++
cos ) -sin =sin +cos
6343626
因为sin 因此∑
k =011
2k π+π1(2k +1) π
cos 的周期皆为6，一个周期的和皆为零， 626
(a k a k+1
) =
12=【考点定位】向量数量积，三角函数性质
【名师点晴】向量数量积在本题中仅是一个表示，实质是三角函数化简求和，首先根据角之间的差别与联系，对通项进行重新搭配，对不可搭配的项再一次展开，重新配角搭配，这样将通项化为一次式，利用三角函数周期性进行求和. 作为压轴题，主要考查学生基础题型的识别与综合应用.
14. 【2015江苏高考，6】已知向量a =(2, 1) ，b=(1, -2) , 若m a +n b =(9, -8) (m , n ∈R ), 则m -n 的值为______. 【答案】-3
【解析】由题意得：2m +n =9, m -2n =-8⇒m =2, n =5, m -n =-3. 【考点定位】向量相等
【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等. 其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示：若标表示：若
a =(x 1，y 1) ，b =(x 2，y 2) ，则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. 向量垂直的充要条件的坐
a =(x 1，y 1) ，b =(x 2，y 2) ，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.
2
15. 【2015高考湖南，理8】已知点A ，B ，C 在圆x +y 2=1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为
(2,0)
，则PA +PB +PC 的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B. 【解析】
【考点定位】1. 圆的性质；2. 平面向量的坐标运算及其几何意义.
【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中 档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的 最值问题，即圆x 2
+y 2=1上的动点到点(6, 0) 距离的最大值.