2015天津高考数学(理)试题及答案
满分:
班级:_________ 姓名:_________ 考号:_________
一、单选题(共8小题) 1. 已知全集
,集合
,集合
,则集合
( )
A .{2,5} B .{3,6} C .{2,5,6} D .{2,3,5,6,8}
2. 设变量
满足约束条件则目标函数
的最大值为(A .3 B .4 C .18 D .40
)
3. 阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为( )
A .-10 B .6 C .14 D .18
4. 设,则“”是“
”的(A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
)
5. 如图,在圆中,是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点,若
CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE 的长为( )
A .B .3 C .D .
6. 已知双曲线
焦点在抛物线A .B .C .D .
()的一条渐近线过点(),且双曲线的一个
的准线上,则双曲线的方程为( )
7. 已知定义在上的函数
,
A .B .
,则
(m 为实数)为偶函数,记
的大小关系为( )
,
C .D .
8. 已知函数
函数,其中
,若函数
恰有4个零点,则的取值范围是( )
A .B .C .D .
二、填空题(共6小题)
9.i 是虚数单位,若复数
10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为
是纯虚数,则实数a 的值为________.
___________.
11. 曲线
的系数为__________.
与直线
所围成的封闭图形的面积为___________.
12. 在的展开式中,
13. 在
中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 。已知
,则a 的值为__________.
14. 在等腰梯形ABCD 中,已知在线段BC 和DC 上,且
,则
。动点E 和F 分别
的最小值为__________.
的面积为
,
三、解答题(共6小题)
15.
.
已知函数,
(Ⅰ)求
的最小正周期;
(Ⅱ)求在区间
内的最大值和最小值.
16. 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参加比赛。 (Ⅰ)设求事件(Ⅱ)设
17. 如图,在四棱柱
,
(Ⅰ)求证:(Ⅱ)求二面角
,
; 的正弦值;
中,侧棱,且点
和
分别为
,
,
的中点。
为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,发生的概率;
为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量
的分布列和数学期望。
(Ⅲ)设的长。
为棱上的点。若直线和平面所成角的正弦值为,求线段
18. 已知数列
,
满足,
(q 为实数,且
成等差数列。
),
,
,
,且
(Ⅰ)求q 的值和
的通项公式;
(Ⅱ)设,,求数列
的前项和。
19. 已知椭圆于第一象限,直线(Ⅰ)求直线
被圆
的左焦点为,离心率为,点在椭圆上且位。
截得的线段的长为,
的斜率;
(Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点值范围。 20. 已知函数(Ⅰ)讨论(Ⅱ)设曲线
的单调性;
与轴正半轴的交点为
,曲线在点;
处的切线方程为
,
其中
,且
.
在椭圆上,若直线
的斜率大于
,求直线
(
为原点)的斜率的取
求证:对于任意的正实数,都有
(Ⅲ)若关于的方程
.
有两个正实数根
,求证:
答案部分
1. 考点:集合的运算
试题解析:, 所以 答案:A
,选A.
2. 考点:线性规划
试题解析:
不等式
所表示的平面区域如下图所示,
当 答案:C
所表示直线经过点B (0,3)时,Z 有最大值18. 选C
3. 考点:算法和程序框图
试题解析: 输入不成立;不成立成立 输出, 选B. 答案:B
;
4. 考点:充分条件与必要条件
试题解析:, 所以“ 答案:A
”是“
”的充分不必要条件,选A.
5. 考点:圆
试题解析:由相交弦定理可知,, 又因为所以所以答案:A
,选A.
是弦
的三等分点,
,
6. 考点:抛物线双曲线
试题解析: 双曲线由点(
(
)在渐近线上,所以
)的渐近线方程为
, 准线方程,
,选D.
上,
,
双曲线的一个焦点在抛物线所以
,由此可解得
所以双曲线方程为
答案:D
7. 考点:函数综合
试题解析: 因为函数所以
为偶函数,所以
,即
,
所以 答案:C
,选C.
8. 考点:函数综合
试题解析: 由
得
,
所以,
即
, 所以
有4个不同的解, 即函数
与函数
的图象的4个公共点,
恰有4个零点等价于方程
由图象可知. 选D
答案:D
9. 考点:复数概念和向量表示复数综合运算
试题解析:是纯虚数,所以 答案:-2
,即
.
10. 考点:空间几何体的三视图与直观图
试题解析:
由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为, 高为的圆柱,两端是底面半径为,高为的圆锥, 所以该几何体的体积 答案:
.
11. 考点:积分
试题解析:
两曲线的交点坐标为
,
所以它们所围成的封闭图形的面积. 答案:
12. 考点:二项式定理与性质
试题解析:
展开式的通项为, 由所以 答案:
得r=2,
,所以该项系数为
13. 考点:余弦定理正弦定理
试题解析: 因为又
,所以
, ,
解方程组得
,由余弦定理得
,所以 答案:8
.
14. 考点:数量积的应用
试题解析:
因为
,
,
,
,
答案:
15. 考点:三角函数综合
试题解析:(Ⅰ)解:由题意得
= 所以,
的最小正周期T=
在区间上是增函数,
上是减函数,
(Ⅱ)解:因为在区间
,,.
所以,答案:(Ⅰ)
在区间
;(Ⅱ)最大值
上的最大值为
,最小值
,最小值为
.
16. 考点:概率综合
试题解析:
(Ⅰ)解:由题意得
所以,事件A 发生的概率为.
(Ⅱ)解:随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.
所以,随见变量
的分布列为
随机变量
答案:(Ⅰ)
;(Ⅱ)见解析 的数学期望
17. 考点:立体几何综合
试题解析:
如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,
依题意可得
,
又因为M,N 分别为
和,
. 的中点,得
为平面
=0, ,所以,
.
∥平面
.
,
.
,
,
(Ⅰ)证明:依题意,可得=
又因为直线(Ⅱ)解:
. 由此可得
平面
的一个法向量.
设为平面的法向量,则
即
不妨设,可得.
设为平面DE 法向量,则
又,得
不妨设z=1,可得.
因此有,于是.
所以,二面角
(Ⅲ)解:依题意,可设则又
,从而为平面
的正弦值为。
,
,其中。
的一个法向量,
由已知,得=,
整理得所以,线段
答案:见解析
的长为
,又因为
.
,解得.
18. 考点:数列综合应用
试题解析:(Ⅰ)解:由已知,有即又因为当当
,故
时,时,
.
,所以
,由
. ,得
;
.
,
所以,的通项公式为
(Ⅱ)解:由(I )得. 设的前n 项和为,
则
,
,
上述两式相减,得, 整理得,.
所以,数列的前n 项和为
,
.
答案:见解析
19. 考点:圆锥曲线综合
试题解析:
(Ⅰ)解:由已知有,又由,可得.
设直线的斜率为
,则直线
的方程为
.
由已知,有
+
,解得
.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得椭圆方程为,
直线
的方程为
,
两个方程联立,消去y ,整理得,
解得
,或
.
因为点M 在第一象限,可得M 的坐标为.
有
,
解得,所以椭圆的方程为.
,直线FP 的斜率为,
,
(Ⅲ)解:设点P 的坐标为得
,即
与椭圆方程联立消去,
整理得.
又由已知,得,
解得设直线
,或的斜率为
,得
. ,即
. ,
,
与椭圆方程联立,整理可得①当
时,有
因此,于是,得.
②当时,有,
因此,于是,得.
综上,直线
答案:(Ⅰ)
的斜率的取值范围是
.
;(Ⅱ);(Ⅲ)
20. 考点:导数的综合运用
试题解析: (Ⅰ)解:由可得其中
=,且
==.
,
,
下面分两种情况讨论: (1)当为奇数时. 令
=0,解得
,
,或
.
当变化时,的变化情况如下表:
所以,
在
,
上单调递减,在
内单调递增。
(2)当为偶数时. 当当所以,
,即,即在
时,函数时,函数
单调递增; 单调递减.
上单调递减.
上单调递增,在的坐标为
.
,
(Ⅱ)证明:设点则曲线即
,在点
处的切线方程为.
,
令
则 由于故又因为所以当所以
在在
,即. 在上单调递减. , 时,
,当
时,
上单调递减,
,
,
内单调递增,在上单调递减,
, .
所以对于任意的正实数,都有即对于任意的正实数
,都有(Ⅲ)证明:不妨设由(Ⅱ)知设方程当
时,在
的根为
,可得上单调递减.
,可得
在原点处的切线方程为.
.
,
又由(II )知类似地,设曲线可得当
即对于任意的设方程
的根为, ,
,,可得
.
. ,
, .
因为且由此可得因为故
答案:见解析
在上单调递增, ,因此
.
.
,所以
. 所以,
.
,